24.1-2相似形与比例线段(2课时) 学案 2025--2026学年沪教版(上海)九年级数学第一学期

该初中数学导学案围绕相似与比例线段展开，引导学生掌握相似多边形的判定和性质，理解比例线段概念及性质，学习黄金分割。通过观察图形共同点导入，从放缩运动引出相似定义，结合例题从三角形到复杂图形，构建递进式知识支架。 资料注重几何直观与推理意识的培养，通过观察测量、例题分层设计及黄金分割作图实践，帮助学生形成抽象能力和应用意识。习题覆盖选择解答与实际应用，助力学生用数学思维解决问题，提升学习效率与学科素养。

相似与比例线段 学习目标 1. 掌握相似多边形的判定和性质； 2. 理解两条线段的比和比例线段的概念； 3. 掌握比例的性质，了解黄金分割的概念，并能画出线段的黄金分割点. 学习过程 1、 放缩与相似 观察以下几组图形，你能发现每组图形都有什么共同点吗？ 每组图形大小不同，但形状相同. 图形的放大或缩小称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形. 我们把形状相同的两个图形，说成是_____的图形，简称为_____形． 相似的图形，它们的大小_______相同，对于大小相同的两个图形，它们可以重合，这时它们是全等形． 你还能举出哪些图形，它们一定是相似的？ 例1 对于下图的△A'B'C'和△A''B''C''观察和测量，∠A''与∠A'、∠B''与∠B'、与∠C''与∠C'的大小有何关系？A''B''与A'B'、B''C"与B'C'、A"C''与A'C'这三组边长的比值之间有何关系？ P A' B' C' B'' C'' A'' 通过测量及计算，可以得到：∠A"＝∠A'，∠B"＝∠B'，∠C''＝∠C'；＝＝． 我们可以发现，三角形的形状相同，它们的对应角_____，对应边的长度_______． 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似多边形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例． 例2 已知下列各组图形中的两个三角形都是相似的，请写出其中的对应角和比例线段 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例3 如图，△ABC和△ADE是相似形，顶点A、B、C分别与点A、D、E对应，已知∠A＝35°，∠B＝65°，AE＝1.2，AB＝2.5，AC＝2，ED＝1．求AD、BC的长和∠AED的度数． A E D B C 例4 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC的边上有一点E，沿AE将△ABE向上翻折，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_________ 例5 已知△ABC中，∠ABC=90o,BD⊥AC,且△ABC和△ABD相似，若AB=9，AD=4，求CD长 例6 已知△ABC中，∠ABC=90o,BD⊥AC,且△ABD和△BDC相似，若AD=3，DC=6，求BD长 例7 已知△ABC中，E为AC上一点且∠BEC=∠B，△ABC和△BEC相似，若AE=5，BC=6，求EC长 练习： 1．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( )． (A)图形中线段的长度与角的大小都保持不变 (B)图形中线段的长度与角的大小都会改变 (C)图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 (D)图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 2．用放大镜将图形放大，应该属于( ) (A)相似变换 (B)平移变换 (C)对称变换 (D)旋转变换 3．已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8，乙三角形其中一边的长为2，求乙三角形的另外两边的长． 4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD上的一点，且EF∥AD，如果梯形AEFD相似于梯形EBCF，且AD=4，BC=9，则AE：EB等于 _______ 5. 已知△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，D为AC上一点且AD=3，E为AB上一点，且△ADE和△ABC相似，求DE长 2、 比例线段 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量. 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 如果a、b、c、d是比例线段，即a：b=c：d（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项，线段d是a、b、c的第四比例项. 例1. 已知：a、b、c、d是四条线段，它们的长度分别是a＝1mm，b＝0.8cm， c＝0.2cm，d＝0.4cm，它们是不是成比例线段？ 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积， 即如果，那么____＝_____.（还可得到— = —，— = —，— = —……） 例2. 已知：（b±d≠0），求证. 例3. 已知a、b、c是非零实数，且满足，求的值. 三、黄金分割比 1.探究：已知线段AB的长度是l，点P是线段AB上的一点，，求线段AP的长. 2. 知识梳理 在比例式中，线段AP是线段AB与线段PB的比例中项. 如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB与PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的_________. AP与AB的比值称为黄金分割数（简称黄金数）. 一般来说，一条线段的黄金分割点有两个. 如图，若点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP＝AB，BP＝AP，BP＝AB，AB＝AP. 1. 试一试 （1）作顶角为36°的等腰三角形ABC； （2）作∠B的平分线，交AC于点D， 若△ABC的腰长为1，求AD的长度 所以我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质： 2. 求已知线段的黄金分割点. （1）已知一条线段AB，过点B作AB的垂线； （2）用圆规在垂线上截取BC=AB，连接AC； （3）用圆规以C为圆心,以CB的长度为半径画弧,交CA于点D； （4）用圆规以A点为圆心,以AD的长度为半径画弧,交AB于点E,则点E为线段AB的黄金分割点。 请说明为什么？ 练习 1. 把（）写成比例式，写错的是（ ） A．； B．； C．； D．． 2. 在一张比例尺为的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度应为（ ） A．750cm； B．75000cm； C．3000cm； D．300cm． 3. 已知，，则、的比例中项_________； 4. 已知线段cm，cm，则线段、的比例中项_________； 5. 已知线段cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段_______cm，较短线段________cm． 6. 若（其中b＋d≠0），求的值. 7. 若≠0，求的值. 8.若＝m，求m的值. 9. 如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM＝.求AD的长. 10.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，对角线AC、BD交于点O. ⑴图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？ ⑵求证：. 作业 1. 判断题： ⑴两个直角三角形一定是相似图形．( ) ⑵两个等边三角形一定是相似图形．( ) ⑶有一个角是30度的等腰三角形一定是相似形．( ) ⑷对于任意两个边数大于3的相似图形，它扪的各对应边相等、对应角也相等．( ) ⑸两个图形全等也可以说这两个图形是相似的．( ) 2. 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） 3. 已知△ABC的三边长分别是，与其相似的△A'B'C'有两边长为1和，则 △A'B'C'的第三边边长为___________． 4. 若，则的值为________. 5. 线段、、的第四比例项是______________. 6. 某市有一体育馆，在比例尺为1:100000的地图上其面积为，则实际面积为________ 7. ，，则___________. 8. 长为20，宽为的矩形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形重复上面的操作，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第次操作后，剩下的矩形为与原来的矩形相似，则操作停止．当时，的值为_________. 9. 某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪外部四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由. 10. 宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面以宽为边画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论. 11. 如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式. 九年级·数学·暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $