26.1-2 特殊二次函数的图形（1）学案 2025-2026学年 沪教版九年级数学上册

二次函数图像与性质（1） 【学习目标】 1. 理解二次函数的概念；能判断是否为二次函数； 2. 掌握描点法画二次函数及的图像； 3. 掌握二次函数及的图像及性质. 【学习过程】 二次函数的概念 1、 一般地，形如 （ a、b、c为常数，a ）的函数称为 的二次函数，其中 x为自变量，y 为因变量，a 分别为二次函数的二次项系数、b一次项系数和c常数项． 2、 任何二次函数都可以整理成 （ a、b、c为常数，a ）的形式． 3、 判断函数是否为二次函数的方法： 1 含有一个变量，且自变量的______________； 2 二次项系数__________； 3 等式两边都是____________． 4、 二次函数自变量的取值范围是全体实数． 【例1】 例1、下列函数中是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【例2】 下列说法正确的是（ ） A．二次函数的自变量的取值范围是非零实数 B．圆的面积公式中，是的二次函数 C．不是二次函数 D．中一次项系数为1 【例3】 若函数为二次函数，则的值为__________ 【例4】 写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为6cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 巩固练习： 1、 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． ⑴；⑵；⑶；⑷；⑸ 2、 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A． B．(为常数) C． (为常数) D． 3、 已知函数（为常数） 1 为何值时，此函数为二次函数？ ⑵当为何值时，此函数为一次函数？ 4、 扇形的面积S的计算公式是，其中是扇形的半径，是圆心角，下列语句正确的是（ ） ． A．当是常量时，S不是的函数； B．当是常量时，S是的二次函数； C．当是常量时，S是的一次函数； D．当是常量时，S是的二次函数． 5、下列函数中，一定是x的二次函数的有哪些？一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能是x的二次函数的请补充条件，使它一定是二次函数。 （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）为常数）。 6、取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？这个函数能否为一次函数或常值函数？如果可能，写出这个函数的表达式。 二次函数图像与性质： 对于二次函数(其中是常数，且)图像的研究，我们从特殊形式的二次函数开始. 操作：在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像. （1）列表：取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … [来源:Zxxk.Com] （2）描点：分别以所取的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点. （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像. 二次函数的图像是一条曲线，分别向_______和_________无限延展. 它属于一类特殊的曲线，这类曲线称_____________. 归纳总结：（1）抛物线的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是轴，即直线. （2）抛物线与轴的交点是原点；除了这点外，抛物线上所以的点都在轴的上方，这个交点是抛物线的最低点.[来源:学#科#网Z#X#X#K] （3）抛物线与它对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点是原点 例1 在同一直角坐标系中. （1）画出下列函数的图像;①②③④ ( 2 )说出四个函数图像的区别与联系. 解：（1）①列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … … … … … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5[来源:学+科+网Z+X+X+K] 2 … … … … … ②描点 ③连线 【练习】 1. 在同一直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图像：①；②；③ （1）列表： x … -2 -1 0 1 2 … … … … … … … (2)指出它们的对称轴、顶点、开口方向，并指出开口最小的抛物线 总结 二次函数的图像的性质 （1）二次函数的图像是一条抛物线，它关于轴即直线对称；它的顶点坐标是（0,0）. （2）时，抛物线开口_____；在对称轴的左边，曲线自左向右_____，在对称轴的右边，曲线自左向右______；顶点是抛物线的_______. （3）时，抛物线开口_____；在对称轴的左边，曲线自左向右_____，在对称轴的右边，曲线自左向右______；顶点是抛物线的_______. （4）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大； 例2 如图所示，四个二次函数的图像分别对应的是：①；②；③；④.则、、、的大小关系为………………………………………………………………………….( ) A. B. C. D. 【练习】2.函数与的图像可能是……………………………………………………( ) A. B.C. D. 例3 如图所示，已知抛物线上的点C、D与x轴上的点A（-5,0）和B（3,0）构成平行四边形ABCD，DC与y轴交于点E（0,6）. （1）求a的值； （2）求直线BC的解析式. 【练习】3. 函数与直线交于点（1，b），求： （1）a与b的值； （2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）求抛物线与直线的两交点及顶点所构成的三角形的面积 巩固练习 1、二次函数的图像一定过点………………………………………………………………( ) A. (1,-2) B. (-1,-2) C. (-1,2) D. (1,0) 2、已知在自由落体运动中，物体下落高度h关于时间t的函数关系式，其中g为重力加速度（是一个常数），那么这个函数的图像是下图中的…………………………………………..…………..( ) A. ( h O t ) B.C.D. 3、对于二次函数，下列说法错误的是……………………………………………………………( ) A. 开口向下 B. 顶点坐标（0,0） C. 对称轴是y轴 D. 当时，y随x的增大而增大 4、在同一直角坐标系中，二次函数，，的图像的共同点是……………….( ) A. 关于y轴对称，开口向上 B. 关于y轴对称，x<0时，y随x的增大而减小 C．关于y轴对称，顶点坐标都是（0,0） D. 关于y轴对称，最高点都是原点 5、函数和函数的图像在同一直角坐标系中的图像大致是………………………….( ) A.B.C.D. 作业 一、填空题 1、函数的图像是一条________________. 2、函数图像的开口方向是________;图像的对称轴是_________;图像的顶点是最______点；顶点坐标是_______. 3、若点A（m，-9）是抛物线上一点，则m=___________. 4、若二次函数的图像经过点P（2，-8），则函数的表达式是____________. 5、二次函数①；②；③的开口大小从大到小排列为____________. 6、当m=______时，二次函数的开口向下. 二、选择题 7、下列说法正确的是………………………………………………………………………………………....( ) A. 抛物线的开口向上，抛物线的开口向下 ( y = x 2 B A y O x ) B. 二次函数的对称轴是y轴 C. 二次函数的值随x的增大而减小 D. 当x<0时，二次函数的值随x的增大而增大 8、如图，A、B分别是上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为………( ) A. y=3 B. y=6 C. y=9 D. y=36 9、若a是不为0的实数，对于二次函数的图像有如下判断： ①开口方向向上；②与函数形状相同；③以y轴为对称轴；④以原点为顶点；⑤无论x为何实数，函数值y总非负. 其中判断正确的个数是…………………………………………………………….( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 三、解答题 10、k为何实数时，是关于x的二次函数？并指出它的开口方向、顶点坐标和对称轴. 11、函数（a≠0）与直线y=2x-3的图像交于点（1，b）. （1）求a和b的值； （2）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）作的草图. 12、 函数（a≠0）与直线交于A、B两点，若A、B、O三点组成的三角形为 ⑴等边三角形；⑵等腰直角三角形；⑶顶角为120°的等腰三角形。 求出的值. 九年级·数学·暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $