精品解析：上海市吴淞中学2025-2026学年高三上学期第一次学科调研数学试卷

吴淞中学 2025 学年第一学期高三数学第一次学科调研 一. 填空题 1. 函数的最小正周期为_____. 2. 若 （其中 为虚数单位），则 _____ 3. 抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_______． 4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______． 5. 直线，直线，若，则________． 6. 设，则方程的解集为________. 7. 记为数列的前项和，若，则_____________． 8. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 9. 在平面直角坐标系中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为 1，则实数的取值范围是_____ 10. 随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是_________ （默认每月天数相同，结果精确到）． 11. 在△ABC中，已知，设0为△ABC的内心，且.则λ+μ=________． 12. 设 ，任意 ，都有 ，则 _____ 二.选择题 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 已知事件A和B相互独立，且，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 16. 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题:本题共 5 小题，共 78 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图,棱锥的底面是矩形,PA平面ABCD，,. (1)求证: 平面; (2)求点到平面的距离. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值，进而再求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 20. 设椭圆过点，且直线过的左焦点. （1）求的方程； （2）设为上的任一点，记动点的轨迹为，与轴的负半轴、轴的正半轴分别交于点，的短轴端点关于直线的对称点分别为、，当点在直线上运动时，求的最小值； （3）如图，直线经过的右焦点，并交于两点，且在直线上的射影依次为，当绕转动时，直线与是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由. 21. 已知函数，满足，. （1）若为上的增函数，求的取值范围. （2）证明：与的图象关于一条直线对称. （3）若，且关于的方程在内有解，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴淞中学 2025 学年第一学期高三数学第一次学科调研 一. 填空题 1. 函数的最小正周期为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简原函数，再结合余弦函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由二倍角公式得， 则该函数的最小正周期为. 故答案为： 2. 若 （其中 为虚数单位），则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长公式可求. 【详解】， 故答案为：. 3. 抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______． 【答案】 【解析】 【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得的值. 【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为， 甲、乙两组数据的中位数相同，甲组数据的中位数为，即，解得：. 故答案为：. 5. 直线，直线，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 6. 设，则方程的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】分四种情况讨论，去绝对值符号解方程即可. 【详解】当时，， 所以原方程可化为： ， 即恒成立， 所以是方程的解； 当时，， 所以原方程可化为： ， 即，满足， 所以方程的解为：； 当时，， 所以原方程可化为： ， 即，不满足， 所以方程此时无解； 当时，， 所以原方程可化为： ， 即恒成立， 所以方程的解为； 综上所述方程的解集为：， 故答案为：. 7. 记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 8. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 9. 在平面直角坐标系中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为 1，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得圆心到直线的距离，代入公式计算即得结果. 【详解】因圆 的圆心到直线的距离为， 由题意，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，易知圆的半径为， 则，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 10. 随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是_________ （默认每月天数相同，结果精确到）． 【答案】 【解析】 【详解】设事件A为“至少有2位同学在同一月份出生”， 则A的对立事件为“所有人出生月份均不相同”， 则P(A)＝1－P()＝1－ ＝1－ ≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985. 11. 在△ABC中，已知，设0为△ABC的内心，且.则λ+μ=________． 【答案】 【解析】 【详解】设AO与BC交于点D. 由角平分线定理知. 于是，. 又，则 . 因此，. 故答案为 12. 设 ，任意 ，都有 ，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意先判断，由推出，推理可得，即得，根据可得关于的不等式组，分析得出，求解即得. 【详解】依题意，，因，由，可得， 又由题意，（否则时，在时，得不到），则， 因，故有且， 则得，故 由解得，故. 故答案为：. 二.选择题 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】举例说明判断ABC，利用不等式性质推理判断D. 【分析】对于A，由，得，取，显然，A错误； 对于B，由，取，显然，B错误； 对于C，由，取，显然，C错误； 对于D，由，得，则，而， 因此，所以，D正确. 故选：D 14. 已知事件A和B相互独立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案. 【详解】依题意可． 故选：A 15. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】 由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 16. 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，知对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数，再结合指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 三、解答题:本题共 5 小题，共 78 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图,棱锥的底面是矩形,PA平面ABCD，,. (1)求证: 平面; (2)求点到平面的距离. 【答案】17. 证明如下： 建系如图所示的空间直角坐标系, 则,,, 在中, ,, ∴,∴,, ∴,,. ∵,,即,.又, ∴平面. 18. 【解析】 【分析】（1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直； （2）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）由（1）题得,, 设平面的法向量为,则,, 即,∴. 故平面的法向量可取为.∵, ∴到平面的距离为. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值，进而再求的取值范围． 【答案】（1） （2），的取值范围是 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的图象与性质运算即可得解. （2）利用正弦定理、二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的图象与性质运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，， 由， 解得：， ∴单调递增区间为． 【小问2详解】 解：∵， ∴由正弦定理，， ∵在中，则， ∴，即， ∴ 当时，； 当即时，． ∵，∴． 由（1）知，则， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围是. 综上知，，的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论和去绝对值解方程即可求解； （2）由题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 当时，，舍去； 当时，，即， 令，则，解得：或（舍）， 所以，可得：. 【小问2详解】 当时，，即， 即. 当时，，所以对于恒成立， 所以， 当，，，所以 故的取值范围是. 20. 设椭圆过点，且直线过的左焦点. （1）求的方程； （2）设为上的任一点，记动点的轨迹为，与轴的负半轴、轴的正半轴分别交于点，的短轴端点关于直线的对称点分别为、，当点在直线上运动时，求的最小值； （3）如图，直线经过的右焦点，并交于两点，且在直线上的射影依次为，当绕转动时，直线与是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由. 【答案】（1）（2）（3）当绕转动时，直线与相交于定点 【解析】 【分析】（1）由题设知a＝2，进一步求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求； （2）求出轨迹为Γ的方程，端点G、H的坐标，得到GH所在直线方程，设P的坐标，利用数量积的坐标运算把转化为P的纵坐标的二次函数求最值； （3）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N（，0），猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N（，0）．设出直线方程及A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N（，0），再证点N（，0）也在直线lBD上，可得当l绕F转动时，直线AE与BD相交于定点（，0）． 【详解】解：（1）由已知得a＝2，在直线x﹣5y+1＝0中，取y＝0，得x＝﹣1，可得c＝1． ∴b2＝a2﹣c2＝3， ∴椭圆C的方程为； （2）由为C上的点，得， ∴Γ：，则G（﹣2，0），H（0，1）， ∴GH：，即x﹣2y+2＝0． 椭圆C的短轴两端点分别为（0，），（0，）， 两点关于直线y＝x的对称点分别为F1（，0）、F2（，0）， 设P（x0，y0），则x0﹣2y0+2＝0， ，， 则， ∴的最小值为； （3）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形， 由对称性知，AE与BD相交FK的中点N（，0）， 猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N（，0）． 证明：设直线l方程y＝k（x﹣1）， 直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），则D（4，y1），E（4，y2）， 联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， ∴，， 当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N（，0）， ∵AE：•（x﹣4），当x时，y•（） 0， ∴点N（，0）在直线lAE上， 同理可证，点N（，0）也在直线lBD上． ∴当l绕F转动时，AE与BD相交于定点（，0）． 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化，是中档题． 21. 已知函数，满足，. （1）若为上的增函数，求的取值范围. （2）证明：与的图象关于一条直线对称. （3）若，且关于的方程在内有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：因为，， 所以 即 ，所以， 函数关于对称的函数为， 再把向右方平移2个单位得到， 所以函数与关于对称； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用对恒成立，可求的取值范围； （2）求得的解析式，根据可得结论； （3）可得，结合已知可得在内有解，结合（1）的单调性可得，构造函数可得的取值范围. 【小问1详解】 由，可得， 因为为上的增函数，所以对恒成立， 所以对恒成立，所以对恒成立， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以，所以的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得， 又因为在内有解， 所以在内有解， 所以在内有解，， 由（1）可知时，为上的增函数， 所以，所以在内有解， 令，求导可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，又，， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于有解问题，往往利用函数的单调性转化为两自变量的值相等问题解决，从而转化为函数的值域问题或两函数图象有交点问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $