精品解析：安徽省宿州市泗县第三中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

泗县三中2025—2026学年度第一学期九年级阶段质量检测 数学试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若，其中a，b，p均为整数，则p的值不可能为（　　） A. B. 6 C. 5 D. 1 2. 直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于( ) A. 13 B. 12 C. 10 D. 5 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（ ） A 且 B. C. D. 且 4. 若，代数式的值为，则当时，代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图所示，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF最小值是（ 　　） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 8. 如图，矩形中，顶点，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第70秒旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 11. 已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为___________. 12. 如图（1），将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则的值是___． 13. 已知矩形中，点在直线上，点在直线上，且当时，________________． 14. 如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则的长为 ___________． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 16. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得________，________； （2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空：________________； （3）若，且均为正整数，求的值． 17. 为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）． （1）填写下表： 每条边上摆放盆数（n） 2 3 4 5 6 … 需要的鲜花总盆数（y） 3 6 9 _____ _____ … （2）写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：__________ （3）能否用盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由． 18. 保定市的西大街是具有民国风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，今年十一小长假第一天西大街游客人数为6000人次，第三天游客人数达到7260人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某商店推出了特色木质团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价x元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子___________把（用含x的代数式表示）； ②若该商店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 19. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）填空：用含t的代数式表示AQ＝　 　，AP＝　 　． （2）如图2，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值； （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 20. 如图，在边长为的正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作交于，垂足为，连接． （1）当点为的中点时， ①求的值； ②求证：； （2）如图，若是的中点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗县三中2025—2026学年度第一学期九年级阶段质量检测 数学试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若，其中a，b，p均为整数，则p的值不可能为（　　） A. B. 6 C. 5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 由，可得，然后分情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵a，b，p为整数， ∴当a的值是时，b的值是， 则p的值是， ∴p的值不可能为6． 故选：B． 2. 直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于( ) A. 13 B. 12 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，然后根据勾股定理即可求出另一直角边的长． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5， ∴其斜边长为2×6.5=13， ∴另一条直角边长==12． 故选B． 【点睛】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，且 ∴且， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根于系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 4. 若，代数式的值为，则当时，代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将等式变形可得，然后利用非负数性质得出，然后将当时，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，代数式的值为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，代数式． 故选择D． 【点睛】本题考查完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值，掌握完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值是解题关键． 5. 如图所示，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，由勾股定理得BD、AC的长，再求得OD、OC的长，根据三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例可得OE：EC=OD：DC，即而可求得OE的长． 【详解】∵AB=2 ∴BD=AC=2，OD=OC= ∵DE平分∠ODC交OC于点E， ∴OE：EC=OD：DC ∴OE：（-OE）=：2 ∴OE=2-． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质及角平分线的定理，根据角平分线定理得到OE：EC=OD：DC是解决本题的关键. 6. 已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，，再根据，求出，，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根是，， ，， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 故选：A． 7. 如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（ 　　） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值． 【详解】作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2， 连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°， ∴Rt△BHC中，BH=CH=， ∴HG=3-2=， ∴Rt△BHG中，BG=， ∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短）， ∴PE+PF的最小值是2． 故选C． 【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 8. 如图，矩形中，顶点，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第70秒旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，图形的旋转，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第70秒旋转后矩形的位置是解题的关键． 过点A作轴于E，过点D作轴于F，根据已知条件求出点D的坐标，再根据旋转的性质求出前6次旋转后点D的坐标，发现规律：旋转4次一个循环，进而求出第70秒旋转结束时，点D的坐标． 【详解】解：过点A作轴于E，过点D作轴于F，如图， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转， ∴第1次旋转结束时，点D的坐标为， 第2次旋转结束时，点D的坐标为， 第3次旋转结束时，点D的坐标为， 第4次旋转结束时，点D的坐标为， 第5次旋转结束时，点D的坐标为， 第6次旋转结束时，点D的坐标为， … ∴旋转4次一个循环， ∵， ∴第70秒旋转结束时，点D的坐标与旋转第2次旋转结束时，点D的坐标相同，即为， 故选：D． 9. 如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】解二元一次方程组求出x，y的值，根据x>y得到关于m的不等式，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围，取交集，找出符合条件的所有整数m，即可求解． 【详解】解：解方程组得， ∵ x>y， ∴， ∴， 解不等式组得， ∴， ∵关于x的不等式组有且只有4个整数解， ∴， ∴， ∴， ∴整数m为5和6， ∴符合条件的所有整数m的和为11． 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和解二元一次方程组，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围是解题的关键． 10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可判断①正确；先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断②正确；在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，则结论②正确； 如图，在上截取，连接， 和中， ， ∴， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，过点作于点，作于点， 由上已得：，即平分， ∴， ∴， 由上已证：，， ∴，， ∴，则结论④正确； 综上，结论中正确的有4个， 故选：A． 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 11. 已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为___________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， 若等腰三角形ABC的三边分别为，则，不能构成三角形； 若等腰三角形ABC的三边分别为，则此三角形周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键． 12. 如图（1），将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则的值是___． 【答案】 【解析】 【分析】等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平行四边形，则等腰直角三角形的面积和平行四边形的面积相等，可得，求出和之间的关系即可得出结论． 【详解】解：如图，等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平行四边形， ∴等腰直角三角形的面积等于平行四边形的面积， 由图（1）可知：等腰直角三角形的直角边的长为，由图（2）可知：平行四边形的底边长为，高为， ∴， ∴， ∴ 解得：或（舍去）， ∴的值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了图形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平行四边形的面积公式．解决本题的关键是利用转化思想，剪拼前后两个图形的面积相等． 13. 已知在矩形中，点在直线上，点在直线上，且当时，________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点在直线上，点在直线上，分两种情况：1.P、Q点位于线段上；2.P、Q点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解. 【详解】解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时: ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC ∵ ∴ ∴PC=AB=，BP=BC-PC=3-= ∴AP== 当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时: ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC ∵ ∴ ∴PC=AB=，BP=BC+PC=3+= ∴AP== 故答案为：或 【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键. 14. 如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则的长为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于，首先证明，再，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）分式方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和分式方程的解法．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等；解分式方程要注意检验．掌握这些是解题的关键． （1）二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法解方程即可； （2）根据分式方程的解法：去分母化为整式方程，解整式方程，再检验即可． 小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解： ， 方程两边乘，得： ， 解得： ， 检验：当时，因此不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． 16. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得________，________； （2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空：________________； （3）若，且均为正整数，求的值． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） （3）13或7． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，认真读题，理解题意是解题关键． （1）根据完全平方公式展开，得，得，即可作答． （2）由（1）得，取，分别求出a，m，n的值，即可作答． （3）先得，因为，且m，n均为正整数，故或，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∵a，b，m，n均为正整数，且， ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 由（1）得， ∵，为正整数， ∴当时，则， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【小问3详解】 依题意，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或； 当时， ； 当时， ． 答：a的值为13或7． 17. 为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）． （1）填写下表： 每条边上摆放的盆数（n） 2 3 4 5 6 … 需要的鲜花总盆数（y） 3 6 9 _____ _____ … （2）写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：__________ （3）能否用盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）12，15； （2）； （3）不能，见详解． 【解析】 【分析】（1）结合图形，发现：每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，依此可得出答案． （2）结合（1）中的规律即可求出每条边上摆n盆小菊花时需要小菊花的总盆数y； （3）根据题意把代入中，求出n的值后，即可作出判断． 小问1详解】 解：由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，，， 故答案为：12，15； 【小问2详解】 解：每条边摆两个，则， 每条边摆3个，则， 每条边摆4个，则， … 每条边摆n个，则， 故答案为：． 小问3详解】 解：把代入，则，，， ∵不是整数， ∴不能用盆鲜花作出符合要求的摆放． 【点睛】本题主要考查的是图形规律等内容，注意培养由一般总结特殊规律的能力，认真对比前后图形，研究图形变化特性，准确总结规律是解题的关键． 18. 保定市的西大街是具有民国风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，今年十一小长假第一天西大街游客人数为6000人次，第三天游客人数达到7260人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某商店推出了特色木质团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价x元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子___________把（用含x的代数式表示）； ②若该商店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）0.1 （2）①；②6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设从假期第一天到第三天平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 19. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）填空：用含t的代数式表示AQ＝　 　，AP＝　 　． （2）如图2，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值； （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 【答案】（1）t；5-t （2） （3）当 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而求得结果； （2）当时，四边形是菱形，作于，根据，表示出，根据列出方程求得结果； （3）分为，，三种情形，当可得：，当时，作于，，由，可得，进而得到方程求得结果，当时，作于，可得，根据，表示出，进而得出方程求得结果． 【小问1详解】 解：（1）在中， ， ， 故答案是：，； 【小问2详解】 （2）如图1， 作于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 （3）当时， ， ， 如图2， 当时， 作于， ， ， ． ， ， 如图3， 当时， 作于， ， ， ， ， ， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类并列方程． 20. 如图，在边长为的正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作交于，垂足为，连接． （1）当点为的中点时， ①求的值； ②求证：； （2）如图，若是的中点，连接，求的最小值． 【答案】（1）①；②证明见解析； （2）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）①利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；②延长交的延长线于点，利用全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质解答即可； （2）取的中点，连接，，取的中点，过点作于点，延长交于点，连接，，利用全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，勾股定理求得，的长度，再利用两点之间线段最短的性质解答即可． 【小问1详解】 ①解：正方形的边长为，为的中点， ，，． ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②证明：延长交的延长线于点，如图， 由①知：， 点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：取的中点，连接，，取的中点，过点作于点，延长交于点，连接，，如图， 则， ，， ， 为的中点， 为的中位线， ，，． ，，， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、三角形的中位线的性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题关键是添加恰当的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $