第7期 导数在研究函数中的应用-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

高考数学第一轮复习第6~9期 教评柄 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第6~9期(2025年8月) 第6期2版 ≥3+2√2·0 b.4=3+2万， 考题预测 当且仅当a=√2b时等号成立. 1.C;2.C;3.C;4.B;5.A;6.C. 故+公的最小值为3+2,2 第6期3版 5.因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x), 求导得f(x)]'=[f(-x)]' 高考数学一轮总复习达标检测(6) f'(x)=f'(-x)·(-x)'曰f'(x)=-f'(-x) 一、单项选择题 又f(x)在(1f(1)处的切线方程为x-2y+1=0, 1~4 ADCD 5 ~8 AABA 提示： 则'1)=所以f(-1)=-f'(D=-2 1.h'(t)=3-2t,h'(3)=3-2×3=-3, 6.由f(x)=x4-x,得f'(x)=4x3-1, 故所求的瞬时速度为-3m/s. 则f'(0)=-1f'(1)=3, 2.因为曲线y=f(x)在(5f(5)处的 则曲线y=f()在点0处的切线的倾斜角为。 切线方程是y=-x+5, 设曲线y=f(x)在点A处的切线的倾斜角为a,则tana=3. 所以切线的斜率为f'(5)=-1, f(5)=-5+5=0. 3.设切点为(，xono) 因为y=xlnx,所以y'=lnx+1, 所以y1,=0=n0+1. 易知曲线在点(xo,xlnx)处的切线的斜率为2， 由上图可知，am0PA=tam(-a）=-am -1 tano 所以nxo+1=2,所以x。=e, 所以切点的坐标为(e,e) -1-3=2. 1-3 把点(e,e)代人切线方程，得e=2e+b,所以b=-e. 4.由题意知f'(x)=a+2bx, 7由题意可得点(-之，0）不在曲线y=2nx+3上， 设切点为(x,少o),因为y'=2nx+2, 则f'(1)=a+2b,而f(1)=b, 所以所求切线的斜率片=21n。+2=6 20 所以函数f(x)在x=1处的切线是 x0+2 =2+T' y=(a+2b)(x-1)+b=(a+2b)x-(a+b), 因为切线与直线x-y-2e=0平行， 所以y%=2 Koln xo+2xo+ln0+1. 因为点(xo,yo)是切点，所以y%=2xln+3, 所以a+2b=1且a>0,b>0. 所以2 oln x。+2x+lnx+1=2 xoln %o+3, 所+=（+古）a+26)=3++号 a 即2x0+nxo-2=0.设f(x）=2x+nx-2(x>0), 高考数学第一轮复习第6~9期 明显f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f1)=0, 条，故(C)正确； 所以2x0+lnx。-2=0有唯一解x=1, 对于(D),因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点(，e0), 则所求切线的斜率k=2, 则切线方程为y-e0=eo(x-), 故所求切线方程为y=2(x+分）=2x+1, 因为点(0,0)在切线上，所以e0=xoeo,解得x。=1, 所以过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1 即2x-y+1=0. 条，故(D)错误 8.由y=x3求导得y=3x2, 故选(A)(C). 设曲线y=x上的任意一点(x。,x)处的切线方程为 y-x号=3x(x-0), 令0=eo,》 将点(1,0)代人方程得。=0或。=子 因为f'(x)cosx+f(x)sinx<0, g(x)=f'()cosf ()sin0 当x。=0时，切线方程为y=0, 所以a2+-9=0仅有一解，得a=-积： 25 故g()在[0，受上单调递减， 当%=子时，切线方程为-2头-头。 因为f(0)=0,则g(x)≤g(0)=0, 4一 4 2727 「y= 4、 4 甜合法项知》>引从而有， 由 2 y ax2+ 5 4 -9 即f(）>(子)，故()错误： 得a2-3x-9 4 =0仅有一解，解得a=-1. 因为1n号>0，结合g(x)在[0，罗)上单调递减可知 综上知a=-1或a=高 (1n)<0,从而有 (n) 二、多项选择题 <0. 9.BD;10.AC;11.CD. a(n号） 提示： 由co(h牙)>0可得f(n牙）<0，故(B)错误； 9.(e3)'=3e“,故(A)错误； (2simx-3)'=2cosx,故(B)正确： 导从月，心 (2x+）=2+D:+业-2x+1-2 1 2 (2x+1)2 (2x+1)2 (2x+1),故(C)错误； 即f(）>财()）>2f(号)，故(C)正确： (cosx)'=x'cosx+x(cosx)'=cosx-xsin x,故(D)正确. (平）>（罗），从而有 )、() 故选(B)(D): 2 2 10.因为函数f(x)=e,所以f'(x)=e. 对于(A),令f'(x)=e=1,得x=0, 即f(牙)>（号），故(D)正确， 所以曲线y=f(x)的切线斜率可以是1，故(A)正确； 故选(C)(D) 对于(B),令f'(x)=e=-1,无解， 三、填空题 所以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1，故(B)错误； 12.24;13.x+y-2=0;14.1+√2. 对于(C),因为点(0,1)在曲线上，所以点(0,1)是切点， 提示： 则f'(0)=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1, 12.因为f(x)=f'(1)x3-3x2+3, 所以过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1 所以f'(x)=3f'(1)x2-6x,所以f'(1)=3f'(1)-6, 2 高考数学第一轮复习第6~9期 解得f'(1)=3,所以f'(x)=9x2-6x, f(x)=-x2+bx+c,g(x)=x, 所以f'(2)=9×4-6×2=24. 所以f'(x）=-2x+b,g'(x）=3x2-1. 13.由f(x)=e-2x+1,得f'(x)=e-2, 又函数f(x)和g(x)在点(1,0)处有公共切线， 故f'(0)=e°-2=-1，又f(0)=e°+1=2， 所以f'(1)=g'(1),即-2+b=2,解得b=4,c=-3. 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-2=-x, 所以f(x）=-x2+4x-3,g(x)=x3-x 即x+y-2=0. (2)由(1)得f'(x）=-2x+4,设切点P(xoy), 14.由y=ln(x-a)+2得x=e-2+a, 则切线斜率k=f'(x)=-2x。+4, 所以y=ln(x-a)+2的反函数为y=e-2+a. ryo -1 =-2x0+4, 由点B(x2,)在曲线y=ln(x-a)+2上可知 所以 又点P(0o)在第三象限， 点B,(5,2）在其反函数y=e-2+a上， y0=-x后+4x-3, 所以du=√(x-y2)2+(-y)了相当于y=e2+a 故解得。2， 即点P的坐标为(-2，-15) 上的点B,(y2,x2)到曲线y=ln(x-a)+2上的点A(x11)的 y=-15, 17.解：(1)设曲线y=f(x)上的点A(xo,yo)到直线l的 距离，即dB,=dB=√（x1-2)2+(x2-1), 距离最短，则函数f代x)在点A处的切线与直线（平行， 利用反函数的性质可得y=e-2+a与y=ln(x-a)+2 关于y=x对称，所以当AB,与y=x垂直时，dB=dB取得最 因为(6）=大=1，所以。=1，求得%=1， 小值2，此时A,B两点到y=x的距离都为1. 所以函数代x)在点A处的切线方程为y=x, 因为曲线y=ln(x-a)+2在点A(x1,y)处的切线平行 所以曲线y=f(x)上的点到直线l的最短距离即 于直线y=所以y=。则。=1，解得=a+1, 点4到直线1的距离等于1-+2L:2. y1=ln(a+1-a)+2=2,即A(a+1,2).点A到直线y=x 的距离d=1a+-2L=1,解得a=1±万. (2)由题意得g)=宁-(a++lnx+10<x<3到. 2 所以g'(x)=x-(a+1)+↓=父-(a+1)x+1 当a=1-2时，y=ln(x-1+2)+2与y=x相交， 因为曲线y=g(x)上存在两个不同的点，使得在这两点 不合题意.所以a=1+√2. 处的切线都与x轴平行， 四、解答题 所以关于x的方程g'(x)=0, 15.解：(1)因为f(x)=(3x+1)21n(3x), 即x2-(a+1)x+1=0在(0,3)上有两个不同的根， 所以f"()=2(3x+1)×3n(3x)+(3x+1)2×3 x 设h(x)=x2-(a+1)x+1, =6(3x+1)n(3x)+(3x+1)2 4=(a+1)2-4>0, h(0)=1>0, (2)由f'(x)=6(3x+1)n(3x)+(3x+1)2 则 0<+<3. 解得1<a<3 2 得f'(3)=6×(3×方+1）×1(3×号)+ h(3)=9-3(a+1)+1>0, 所以实数a的取值范围是(1，子)） 18.解：(1)因为f(x)=a(x+lnx), 3 所以f(x)的图象在（兮0）处的切线方程为 所以f"()=a(1+）,所以f"'()=2a,又f)=a, 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为 y=2(x-）即y=12x-4 y-a=2a(x-1）,即y=2ax-a. a+b+c=0, [y =2ax-a, 16.解：(1)由题得 解得a=-1,b+c=1, 由 消去y整理得x2-2ax+a=0, 1+a=0, 一3 高考数学第一轮复习第6~9期 则△=4a2-4a=0,解得a=1. =子--2+0<1<5. (2)由条件可知f(x2)-g(x2)<f(x1)-g(x1)(x1<x2), F(x)=f(x)-g(x)=a(x Inx)x, 设n(e)=--2x+?(0<1<万). 则由条件可得F(x)在[1,2]上单调递减， 则p'(t)=t-3t-2<0, 所以F'(x)=a(x+）-22≤0在[1,2]上恒成立， 所以函数p(t)=4 --2+号在05)上为减函数。 爷在1,2上饲减立， 且-25<)<是所以-25<a<是 9 所以a≤ 因为2x 2 x+1 ≥1， 即实数a的取值范围是 -25,) 当x=1时等号成立， 第7期2版 所以a≤1，又由条件知a>0,所以0<a≤1. 考题预测 所以实数a的取值范围是(0,1]， 1.D;2.D:3.B:4.A;5.3,57;6.(-,2) r2x+3,x<0. 19.解：(1)由题得h'(x)= 第7期3版 12, x>0, 高考数学一轮总复习达标检测(7)》 则h'(x1)=2x1+3=1,解得x1=-1,即A(-1,-2+a), 一、单项选择题 ()无名=1解得5=1，即(1，- 1 ~4 CBAC 5 ~8 CCBB 所以。=a-2-=1,解得a=-1 提示： -1-1 1.对于(A),(B),x=a不是函数y=f(x)的极值点； (2)设A(x1,h(x)),B(x2,h(x2)为函数h(x)图象上的 对于(C),x=a是函数y=f(x)的极小值点； 两点，且x1<2, 对于(D),x=a是函数y=f(x)的极大值点 当x1<2<0或0<x<2时，h'(x1)≠h'(x2), 故选(C). 所以x<0<2 2对于(A),f"()=2o2,因为f'(号）=-1<0， 函数h(x)在点A(x1,h(x))处的切线方程为 y-(x7+3x1+a)=(2x1+3)(x-x), 故(A)错误； 对于(B),由于x>0,所以f'(x)=(x+1)e>0, 即y=(2x1+3)x+a-x, 故(B)正确： 函数h(x)在点B(x2,h(x2)处的切线方程为 1 y+ 12 安x=),即y= 对于(C)f"()=3x-1,因为f(兮）=-号<0， 故(C)错误： 2x1+3=1 ① 两切线重合的充要条件是 对于(D)f"()=-1+士，因为'(2)=-方<0， la-=-2 故(D)错误， 3.设商品的利润为f(x)(单位：元)， 由①及x<0<得0< 上<5， 则f(x)=(x-4)e,x>0, 令4=1，则0<t<5. 所以f'(x)=e-(x-4)e=(5-x)e, 2X2 当x>5时f'(x)<0f(x)单调递减： 由①得名=2-3)， 当0<x<5时f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=5时f(x)取得极大值，也是最大值. 由②得a:听- =-2=4t-6d+9)-21 4.由题得f'(x）=sinx+xcos x-sinx=xcos. 4 高考数学第一轮复习 第6~9期 当xe（-,0）时f'(x)<0f(x)单调递减， 所，o=f后)所以=f信）， 当xe(0,受)时f"()>0f(x)单调递增， 因为0 1 当xe(受，π时f"()<0f(单调递减， 所以()>f(号)>f(号)，放e>a>a 又f(-受）=受-1>00)=0， 8.函数y=2ax2(x<0)的图象关于原点对称的图象所对 应的函数解析式为y=-2ax(x>0),f(x)的图象上恰好有两 f()=牙-1>0f(m=-2<0, 个匹配点对等价于函数y=名≥0)与丽数)：-2ar: 则f()=sinE+eosx-1(xe[-牙，m]）】 的草图 0)的图象恰有两个交点，即方程-2a2=(x>0)有两 如图1所示， 个不等的正实数根，即-2a=专(x>0)有两个不等的正实数 (x) 根设g)=(x>0),则函数g()=(x>0)的图象 图 与两数y:-2a的图象有两个交点g()-。兰，当0<< 由图象可知，函数f(x)的零点个数为2. 1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0,g(x) 5.由题意知f(1)=-2,即alh1+2=-2, 单调递减，所以g()≤g(1)=。,且x一0时，g()→0， 解得6=-2，所以f(x)=alnx-2 x→+0时，g(x)→0.在平面直角坐标系中作出g(x)的大致 其定义城为(0，+0)，故”()=兰+ 2 图象，如图2所示，数形结合可知，当0<-2a<。时，8() 因为当x=1时，函数f(x)取得最大值， 兰(x>0)的图象与函数y=-2血的图象有两个交点，解得 所以x=1是f(x)的极大值点， 1 2e <a<0. 故f'(1)=a+2=0,解得a=-2, 经检验，a=-2满足题意 y=-2a g(x)=式(x>0) 6.f(x)是定义在R上的偶函数， e 当x>0时，对'(x)f>0, 图2 所以y=f(在(0，+0）上单调递增， 二、多项选择题 x 9.CD;10.BD;11.ACD. 且y=D是奇函数， 提示： 由题意知f(-2)=f(2)=0, 9.根据函数f(x)的导函数f'(x)的图象与表格，作出函数 所wf2=0,f二2=0， f(x)的大致图象，如图3所示. 所以不等式>0的解集是(-2.，0)U(2,+0)。 7.由题意得f'(=(（1+)nx+1- 图3 当x∈(0,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减， 对于(A),f(x)在区间[-1,0]上单调递减，故(A)错误： 因为f()=(-xn文=(x）n=f(, 对于(B),f(x)有1个极大值点，2个极小值点，故(B)错 5 高考数学第一轮复习第6~9期 误； 故选(A)(C)(D). 对于(C),根据函数f(x)的极值和端点值可知，f(x)的值 三、填空题 域为[1,3]，故(C)正确； 2(-,:133,4eu1e) 对于(D),根据图3函数f(x)的大致图象易知，满足题意 的t的最大值为4，故(D)正确. 提示： 故选(C)(D). 12由题意得/")=12士=兰x<2) 10.原不等式等价于x+1血≤a-1(xe[1,2]), 令f"()>0,即2>0，解得x<1, 令p(a)=x+1)血x(xe[1,2]), 所以f(x)的单调递增区间为(-，1). 则p'(x)=1+x-nx 13.由题意得f'(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1 =(2c0sx-1)(c0sx+1), 令h(x)=1+x-lnx(xe[1,2])→hr(x)）=-1≥0， 因为c0sx+1≥0，所以当号<cosx≤1时，f'()>0, 所以h(x)在x∈[1,2]上单调递增， 当-1≤cosx<分时'()<0， 则h(x)≥h(1)=2>0, 所以p'(x)>0,则p(x)在xe[1,2]上单调递增， 即当2m-号<x<26m+号，keZ时f()单调递增， 故p(x)≤o(2)=32≤a-1,即a≥2+3n2 2 2 当2hm+号<x<26m+,keZ时，f()单调递减故() 由1n2≈0.69知，3>2+3n2>2>3-n2 2 2 在x=2m+号，k∈Z处取得极大值，也是最大值， 故选(B)(D) 11.f (x)=ax+bx2+c(a >0,b,c E R), 所以=血号+i2×号）=+分×号 则f'(x)=x(3ax+2b), 35 当a=b=2时f'(x)=2x(3x+2), 4 在区间(-子0）上5"()<0， 14.根据题意f(x)=a(a>0,a≠1)与g(x)=-x2在 实数集R上有且只有3个“关联数”等价于f(x)=-g(-x)仅 所以f()在(-子0）上单调递减，(A)正确，(B)错误： 有3个解，即a=x2仅有3个解.x=0显然不是该方程的解， 要使函数f(x)恰有两个不同的零点， 则lna=ln,即lna=nx仅有3个解。 则f(x有一个极值为0，所以(-碧) 26 =0或f(0)=0, 设h()=山(：≠0)，定义域关于原点对称， 因为c=-4a,所以f(0)=0时，a=0,不满足题意， 且满足h(-)=血父=-h(x),则h()为奇函数 (-验）=0时，-器+搭-如=0化得台-3， -x a (C)正确； 考虑当x>0时的情况，h()=2nx x 当b=c=0时，f(x)>nx恒成立，即a>n恒成立， h'(x)=21-ln 3 3 令A()=则()=1，故h(0)=0, 当0<x<e时，h'(x)>0,即h(x)在(0，e)上单调递增； 当x>e时，h'(x)<0,即h(x)在(e,+o)上单调递减， 当x∈(0，ē)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以函数A(:)的极大值为A(©)=子 当x∈(E,+o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 且当0<x<1时，h(x)<0;当x>1时，h(x)>0. 所以h()m=A(而)=0放a>0(D)正确 作出函数h(x)的大致图象如图4所示， 6 高考数学第一轮复习第6~9期 h(x) 所以a≤-子，即实数a的取值范固是(-“，-子] y=ln a 17.解：(1)当入=1时fx)=e-x,则f'(x)=e*-1, y=In a 令f'(x)<0,得x<0,令f'(x)>0,得x>0, 所以f代x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 图4 增， 因为na=血亡仅有3个解， 故f代x)无极大值，只有极小值，且极小值是f0)=1. 所以y=na与函数h(x)=nx的图象仅有3个交点， (2)对任意的x>0,f代x)≥0恒成立曰A≥ ( 结合图象可得-2<na<0或0<ha<名. 令g)=则g()=1n 解得e是<a<1或1<a<e 由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e, 四、解答题 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 15.解：(1)f'(x)=3ax2-b, 所以g()=g(e)= e, f'(-2)=0, ,12a-b=0 则由题意得 -2)=2 即 -8a+2b+4= 28 即入≥。，故入的最小值是。 3 18.证明：f'(x)=e+cosx+sinx, 解得a= 号，6=4，经检验，满足题意 当x≥0时，要证f'(x)≥2， (2)由()知)=子-4+4，所以'()=2-4， 只要证2-sinx-cosx≤1(x≥0). e 由f'(x)>0,得x<-2或x>2;由f'(x)<0,得-2<x<2, 设h(x)）=2-sinx-cos(x≥0)， e 所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-2)，(2，+0)， 单调递减区间是(-2,2). 则h'(x)=2(sim-D≤0(x≥0)， 16.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-nx,x>0. 所以h(x)在[0，+o)上单调递减，h(x)≤h(0)=1, 所以f”(x)=2+1-1=2x+x-1 所以当x≥0时，f'(x)≥2. =(2x-1)(x+12 (2)g(x)=f (x)-2x-1=e*sinx-cosx-2x-1, g'(x)=e*cosx sinx-2 =f'(x)-2, 当0<x<号时f()<0: ①由(1)知，当x≥0时，g(x)=f'(x)-2≥0， 所以g(x)在[0，+∞)上单调递增， 当x>时()>0 又g(0)=-1<0,g(π)=e"+0+1-2m-1>0, 所以f(x)在(0,2）上单调递减，在（分，+）上单测 所以g(x)在[0，+∞)上有且仅有1个零点. ②当x<0时，可证g(x)<0,g(x)在(-0,0)上单调递减 递增，所以f()=f(合)=-ln分=子+n2 4 证明如下：欲证g'(x)=e*+cosx+sinx-2<0(x<0), (2)由已知得f'(x)=2x+a-于≤0在[1,2]上恒成立， 只要证2-sinx-cosx>1(x<0). e 所以a≤1-2x在[1,2]上恒成立. 设m(x）=2-sinx-c0s(x<0), 令g)=士-2，e1,2],则g(x)=-子-2<0， 则m'(x）=2(simx-1山≤0(x<0). e 所以g(x)在[1,2]上单调递减， 所以m(x)在(-o,0)上单调递减， 所以g=82)=-子 m(x)>2-sino-cos0=1. e 7 高考数学第一轮复习第6~9期 故当x<0时，g(x)<0,得g(x)在(-0,0)上单调递减， 所以ln(t1+t2)e(ln2-1,0), 又g(0)=-1<0,g(-T)）=e+0+1+2m-1>0, 故压+石=i1+5∈ 所以g(x)在(-0,0)上有且仅有1个零点 综上所述，g(x)有且仅有2个零点 第8期3版 19.解：(1)K= 高考数学一轮总复习达标检测(8) 一、单项选择题 1~4 BBCB 5 ~8 CDCB 提示： 2x+1>0 1.由题意得{ 3-4x≥0 0解得子<≤ 4 则y1,万=- 故定义域为（分] 2 所以K= :16万 491 2.(A)中函数为偶函数，不符合题意； (B)中函数既是奇函数，又是增函数，符合题意； (3f'()=hx-1)= (C)中函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意； (D)中函数是奇函数，但不是增函数，不符合题意 所以e)=251y1=22 22 1+y)(a可27n其中=派 3.由y=+hx得y=1+子 令t==,则n1=tln2, 当x=1时，切线的斜率k=2, 即1=0其中1=车>1（不坊设<） 切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1. 因为该切线与抛物线相切， p(x)=xlnx,p'(x)=1 +Inx. 所以ax2+（a+2)x+1=2x-1有唯一解， 当0<x<。时p()<0,即p()在(0，。）上单调递减： 即ax2+ax+2=0有唯一解， 当x>。时，p()>0,即p()在（日，+）上单调递增 放英0， 解得a=8. e la2-8a=0, 且x→0时，p(x)→0，p(1)=0, 4.由题意得f'(x)=(x2+2x-a)e, 画出p(x)的大致图象如图5. 令f'(x)=0,则x2+2x-a=0,4=4+4a. 若4=4+4a≤0，即a≤-1，则f'(x)≥0恒成立， 所以f(x)为增函数，故f(x)无极值； 若4=4+4a>0,即a>-1,则f(x)有两个极值. 图5 所以“a≥-1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件 h(t)In(+)=In[(t+1)] 5.f'(x）=snx-xcos,令g()）=int-C0, sinx =ln(t+l)）-nt g'(x)cos x -cos x xsin x xsinx, t-1: 因为g'(x)>0在(0，π)上恒成立， 则0=-2,]>0, 所以函数g(x)在(0，π)上单调递增， (自行补证1nt>2t-D(1>1) 所以g(x)>g(0)=0,即f'(x)>0, t+1 所以函数f(x)在(0，π)上单调递增。 则h(t)在(1，+o)上单调递增， 6.因为函数f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+∞)， lim h(t)=In 2 -1,lim h(t)=0, ++0 且f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数， 一8 高考数学第一轮复习第6~9期 其图象关于y轴对称，所以(B)错误； 解得a=6或a=1. 当x>0时f(x)=Inl xl 1x| .xlnx, 故选(A)(D). 所以f'(x)=nx+1,令f'(x)=0,可得x= 10对于()，因为f(-子)=-f(, e 当0<<。时()）<0： 所以f(x-3)=-f(x-子)=f). 所以3是函数y=f(x)的一个周期，故(A)正确； 当x>日时f()>0 对于(B),因为f(:+子)为奇函数。 所以函数f(x)在(0，）上单调递减， 所以f(-x+子）=-f(x+子)： 在（合，+）上单满递增，所以(A),(C)错误，(D)正确 所以点（子，0）是y=f()图象的对称中心，故(B)错误： 7f'(x)=a+ =aE+2,x>0, 2x 对于(C),因为f(x+)为奇函数， 当a≥0时f'(x)>0恒成立，此时f(x)单调递增，不符 合题意； 所以财(-x+子)=-时(x+子） 当a<0时，若x>手则/()<0，)单调递诚， 所以(-+子）=-f(). 若0<<÷则)>0，)单调递增， 又因为f(-是）=-f), 故当x=号时，函数f(✉)取得极大值，也是最大值， 所以(+子)=f(-子)： 放手=1，解得a=-2(a=2合去). 所以f(-x)=f(x),所以y=f(x)是偶函数，故(C)正确： 对于(D),由(C)知，y=f(x)是偶函数， 8.由“躺平点”的定义，可得g(a)=g'(a), 所以f(1)=f(-1)=-1, 又g'(x)=e-1,所以e-a=e-1,解得a=1. 又3是函数y=f(x)的一个周期， 因为)=N()()=士，所以h6=方 所以f(2)=f(-1)=-1f(3)=f(0)=2, 令m()=nx-(x>0),则m()= 1 所以f(1)+f(2)+f(3)=0, 克+文>0， 又f(2026)=f(1)=-1,所以f(1)+f(2)+f(3)+… 即m(x)在(0，+∞)上单调递增， +f(2026)=2025×0-1=-1,放(D)错误 3 又m(1)=-1<0,m(e）=1-1>0 故选(A)(C). 所以m(x)在(1，e)上有唯一零点，即b∈(1，e). 11.对于(A),当xe[0,1]时，fx)=1x2-1「=1-x2, 因为p(c)=p'(c),p'(x)=2026, 则其值域为[0,1]，满足定义域与值域的范围相同，因而满足 所以2026c+2026=2026,解得c=0. “完美区间”定义，所以(A)正确： 所以b>a>c. 对于(B),因为函数f代x)=1x2-11≥0，所以其值域为 二、多项选择题 9.AD;10.AC;11.AC. [0,+0),而25<0，所以不存在定义蚊与值拔范围相同 提示： 的情况，所以(B)错误； 9.令f(x)=0,得x=3-a 对于(C),由定义域为[a,b],可知0≤a<b,当b≤1时， 令g(x)=(x+3)(x-a-1)=0, [a,b]≤[0,1]，此时fx)=1x2-11=1-x2,所以fx)在[a, 得x=-3或x=a+1. 6上单调递减，则满足代a）=1-口=6， 化简可得a2-a 依题意可得，3-a=-3或3-a=a+1, fb)=1-b2=a,17.(15分)已知函数f(x)=nx+1. 18.(17分)已知函数f(x)=a(x+lnx)(a>0),g(x)=x2. 19.(17分)对于函数y=代x),如果其图象上存在不同的两点 (1)直线l:x-y+2=0,求曲线y=∫(x)上的点到直线的最 (1)若∫(x)的图象在x=1处的切线恰好也是g(x)图象的切 A(x1,(x1)),B(x2(x2),x1<x2,使得这两点处的切线重合，那么 短距离； 线.求实数a的值； 我们称函数y=(x)存在“双切点切线”.已知函数h(x)= (2)若曲线g(x)=2-(a+1)x+f(x)(0<x<3)存在 (2)对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2且x< +3x+a,x<0, x2,都有八x)-f(x)<g(x2)-g(x)成立.试求实数a的取值范 两个不同的点，使得在这两点处的切线都与x轴平行，求实数α的取 x>0 ⑧ 值范围。 (1)若函数h(x)的一条“双切点切线”的斜率等于1，切点A,B的 横坐标满足x1<0<x2,求实数a的值； (2)如果函数h(x)存在“双切点切线”，求实数a的取值范围. 高考数学一轮总复习达标检测 高考数学一轮总复习达标检测 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年8月5日·星期二 高考数学 报纸发行质量反馈电话： 教理橘 6期总第1150期 0351-5271248 第一轮复习 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-284 高考数学编辑计划 专题辅导 第1期集合与常用逻 命题趋势 辑用语 第2期 不等关系与基 导数的概念与运算 1.通过分析近三年的高考题可以看出，对导数概念及其运算的考查，主要以导数的 本不等式 运算公式和运算法则为基础，以导数的几何意义为重，点.最常见的问题就是求曲线上某 第3期 元二次不等 专题解读 点的切线的斜率、切线方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标，或以平行、垂直时直线 式及其解法 斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题， 第4期函数及其表 2.预计在2026年的高考中，考查方式和内容不会有大的变化，在保持稳定的基础上 示、函数的基本性质 可能对题设条件的情景进行创新，以导数的几何意义为背景，设置导数与其他知识交汇 第5期基本初等函数 的综合题，对题设条件的情景进行创新，以导数的几何意义为背景，设置导数与其他知 (幂、指、对数函数)、 数与方程 识交汇的综合题，这是这几年命题的一个特点， 河北刘婷 装不谷谷不会不谷谷谷不会不谷不会谷谷余谷谷谷不会以 第6期导数的概念与 运算 所以切线与两坐标轴所围成的 的切线 第7期导数在研究函 考点精析 数中的应用 三角形的面积为×1×= 所以关于x的方程x号+ax。-a=0有两个 6 第8期函数与导数综 考点一、导数的运算 不同的根， 故选(A) 所以4=a2+4a>0, 第9期三角函数的概 例1当x=1时，函数fx)=alnx+ b取 点评：本题主要考查导数的几何意义，考查 解得a<-4或a>0, 念、公式及三角恒等变 换 得最大值-2，则f'(2)= 运算求解能力 即a的取值范围是(-∞，-4)U(0, 第10期三角函数的 例3若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线 图象与性质 (A)-1 +∞) (B)- 也是曲线y=ln(x+l)+a的切线，则a= 第11期平面向量与 点评：本题主要考查导数的几何意义、切线 解三角形 (o号 (D)1 方程，关键是把曲线有两切线问题转化为方程 第12期复数与三角 解析：由题令f(x)=e+x, 解析：由题意知， 有两根问题，进而求出参数的取值范围，考查学 函数、解三角形、平面向 则f'(x)=e+1,所以∫'(0)=2， 量综合 f1)=aln1+b=b=-2, 生的逻辑思维能力和运算求解能力， 第13期数列的概念 所以曲线y=e+x在点(0,1)处的 ()=兰-0(x>0 考点三、原函数与导函数之间的关系 等差与等比数列 切线方程为y=2x+1. 第14期数列综合问 令g(x)=ln(x+1)+a, 例5函数y=f(x)的导函 题（数列求和、递推数列 所以f'(1)=a-b=0,即a=-2, 则g0= 数y=∫'(x)的图象如右图所 等) 以2)=-1+=-分 1 第15期空间几何体 示，则函数y=f(x)的图象可 及点、线、面位置关系 设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于能是 第16期空间向量与 故选(B) 立体几何 点评：本题主要考查导数的运算和函数的 点(o),则十=2，得分 第17期直线与方程 最值，意在考查学生的运算求解能力 第18期圆的方程及 则0=2x+1=0, 点、线、圆的位置关系 考点二、导数的几何意义及其应用 第19期椭圆及其性 所以o=h(分+)+a, 例2设函数f()）=+2m,则曲线 所以a=ln2. 第20期双曲线及其 1+x2 性质 y=∫(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围 点评：本题主要考查导数的几何意义，考查 第21期抛物线及其 成的三角形的面积为 学生的运算求解能力 性质 第22期解析几何 例4若曲线y=（x+a)e有两条过坐标原 解析：根据题意，已知导函数的图象有三个 第23期计数原理、排 a号 点的切线，则a的取值范围是 列组合、二项式定理 (e方 零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反， 解析：由题得y'=(x+1+a)e. 第24期概率、离散型 设切点为(x,), 因此函数(x)在这些零点处取得极值，排除 随机变量及其分布列 解析：由题得∫'(x)= 第25期统计与统立 (A),(B); 案例 (e*+2cosx)(1+x2)-(e*+2sinx).2x 则0=(x0+a)e0, 记导函数∫'(x)的零点从左到右分别为x1 第26期第一轮综合复 (1+x2)7 y'lx=o=(x0+1+a)e0, 2,x3,又在(-∞，x1)上f'(x)<0,在(x1,x2) 所以f'(0)=3, 切线方程为 第2744期：专项提分 上f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞，x)上单调递 所以曲线y=∫(x)在点(0,1)处的 (合刊) y-(x+a)e0=(x0+1+a)e*o(x-x). 减，排除(C), 第4552期：满分冲刺 切线方程为y-1=3(x-0), 因为切线过坐标原点，所以 合刊) 故选(D) 即3x-y+1=0, -(x0+a)e0=(x0+1+a)eo(-xo), 点评：本题主要考查函数与导函数的图象 切线与两坐标轴的交点分别为 整理得x号+ax0-a=0. 与性质，函数的单调性等基础知识，考查学生分 0,1),(-30 因为曲线y=(x+a)e有两条过坐标原点 析问题、解决问题的能力. 2 素养专练 数理极 (A)0 考题预测 (B)1 5若点P是曲线)=子2-2nx上任意一点，则 (C)2 (D)3 ©数理报社试题研究中心 3.设曲线f(x)=alnx+bx3在点(1，-1)处 点P到直线y=x-3的距离的最小值为() 1.设f(x)为R上的可导函数，且m的切线经过点(0,1)，则a+b= ( (w2要 f1)-∫(1+2△x)=-2,则曲线y=∫(x)在点 (A)-2 ()3 (B)-1 △x (C)0 (D)1 (C)2 (D)5 (1,∫(1))处的切线的斜率为 () (A)2 4.已知函数f代x)=x2e2-2,则曲线y=fx)在 6.若函数f(x)=lnx+ax的图象存在斜率为 (B)-1 (D)- x=1处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 2的切线，则实数a的取值范围是 () (C)1 (A)(-0,2] (B)[2,+∞) ( 2.设函数f(x)在R上可导，且f(lnx)=x+ (C)(-0,2) (D)(2,+∞) lnx,则f'(0)= (A)子 (c) (D)9 参考答案见下期 第5期2版参考答案 解得a= 所以为=-F++2在[0，]上单调递增。 1.D;2.C;3.A;4.C;5.D;6.A 以a0-5(), 在[分，多】上单调递诚 第5期3版参考答案 当t=10时，m≈12.4，不符合题意， 一、单项选择题1~4CBDB5~8CBBC 因此m与t的关系更符合函数模型①， 由图可得2≤会<号， 二、多项选择题9.AC;10.AD;11.BC 其解析式为m=分+子(1≤1≤30，且L为整数) 解得g<m≤1 三、填空题12.x=2；13.4;14.4. 四、解答题 (2)记日销售利润为y百元， 所以m的取值范围是（多，] 5解由w40,心 当1≤t≤15，且t为整数时，y=m听i(t) 19.()证明：当xe(0,1)时，g(x)>7>0, 解得好<x≤宁即4=（行分]， =(宁+2）(-+)多+孕+12， 其图象的对称轴为直线1-召。 当x>0,名>0，出+名2<1时。 所以CA=(-,4]U(3,+） g+)=(属+)2+7 故当t=13时，y取得最大值，为392 即最大利润为3.92万元： g(x1)+g(x2)=x+x行+1， 当m=1时，0<x≤1， 当16≤t≤30，且t为整数时 因为2√x≤x1+x2<1,所以4xx<1, 所以好<4≤1，即B=(，小 所以(C)nB=(分，] 财)=（台+2）g2）=08++ 则g(x1)+g(x2）-g(x1+2) t =云+后+1-（任+）-方 当16≤t≤30时，y=303+1+90单调递减， (2)因为B= (行4] 故当t=16时，y取得最大值，为375.25 =分-2x6=1-4>0, 2 若存在实数m,使得A=B, 即最大利润为3.7525万元. 所以g(x)+g()>g(x1+), 必有4=宁解得m=分 所以这30天内日销售利润均未能超过4万元， 所以g()=2+子为L型函数 该公司需要考虑转型. (2)解：当x∈(0,1)时， 故存在实数m=分，使得A=B 18.解：(1)由题易知函数f(x)的定义域为R 因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1), 由p(x)>ln(0+b)≥0得b≥1. 16.解：(1)因为幂函数f(x)=(2-4k+5)xm2+4m 5 当x1>0,x2>0,x1+x2<1时， 即log子-m=log5+m,解得m=-1. 所以2-4k+5=1,解得k=2. p(x1+x2)=n(x1+x2+b), 又因为幂函数f(x)在(0，+0)上单调递增， 经检验当m=-1时， p(x)+p(x)In(x +6)+In(x+b). 所以-m2+4m>0,解得0<m<4, f(x)=log2(4+1）-log22*=1og2(2+2), 由p(1+x3)<p(x1)+p(2), In(b)<In(i+b)+In(x+b), 因为meZ,所以m=1或m=2或m=3, f(-x)=log2(2+2)=f(x), 当m=1或m=3时f(x)=x3,图象关于原点对称， 则函数f(x)是偶函数， 即x1+2+b<(x1+b)(2+b), 不合题意； 所以m=-1. 即x1+名+b<x名+b(x1+x)+, 当m=2时，f(x)=x4,图象关于y轴对称，符合题意 (2)当m>0时，函数f(x)=log2(4"+1)+mx在R 即62+6（无+-1）+名-(x+)>0. 综上，m=2,k=2. 上单调递增，且f(0)=1. 令h(b)=b2+b(x1+x2-1)+xx2-(x1+x2）, (2)由(1)可得m=2 所以(2a-1)-3<(a+2)3, 则/8oe+2e(）+年-4]=1=f0, 对称轴6-1-（+e(o,分） 2 而函数y=x3在(-0,0)和(0，+∞)上均单调递减， 所以h(b)在[1，+o)上的最小值为h(1) 且当x>0时，y=x3>0, 所以(P+2s(付）+-4=0 只要h(1)>0,则h(b)>0. 当x<0时，y=x3<0, 即2(1og2x)2-210g,x+4-4=0, 因为h(1)=12+1×(x1+x2-1)+x1x2-(+） 所以满足不等式的条件为0<a+2<2a-1或a+2 =x1x2>0, <2a-1<0或2a-1<0<a+2, 即(1og2x)2-l0g2x+2-2=0. 所以b的取值范围是[1，+0). m 解得-2<a<分或a>3, 令t=log2x, (3)解：存在，举例：r(x)=log5(x+1). 理由如下：当x∈(0,1)时，r(x)∈(0,4)，符合r(x) 故满足不等式(2a-1)3<(a+2)罗的a的取值范 因为xe[1,22]所以=loxe[0,号] >0. 当x1>0,2>0,x1+2<1时， 围是(-2,2)U(3,+0) 所以F-t+名-2=0在t∈[0，多]有两个不同 r(x1+x2）=log5(x1+x2+1), 17.解：(1)若选择模型①， 的实数根 r(x1)+r(x2)=log5(x1+1)+log5(x2+1). 将12.63代A可同{6。 因为(1+1)(2+1)=1x2+1+x2+1 即品=-f+:+2在：e[0,2]有两个不同的实数 >x1+x2+1, 解得=6= 根， 所以log5(x1+x2+1)<log5(x1+1)+log5(x2+1), 即r(x1+x2）<r(x1)+r(x2), 所以m()=子+子，经验正，符合题意： 即函数：品与函数为 即y=r(x)是L型函数. =-t2+t+2的图象有两个交点， 且对任意的m∈(0,4)，都存在x,∈(0,1)，使得等式 若选择模型②， 如右图，因为函数y2=-t子+ r(x）=m成立. 将12.83人可 +2的对称轴为。=2， 1 -2-1011321 由此可知存在L型函数y=r(x)满足：对于任意的m -122 ∈(0,4)，都存在xo∈(0,1)，使得等式r(x)=m成立. (c号 高考数学一轮总复习 号 的最小值为2，则实数a的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分 7.曲线)=2n:+3过点(-分0)的切线方程是（ 15.(13分)已知函数f(x)=(3x+1)21n(3x). 达标检测（六） (A)2x+y+1=0 (B)2x-y+1=0 (1)求∫(x)的导数； 考试范围：导数的概念与运算 (C)2x+4y+1=0 (D)2x-4y+1=0 (2)求f(x)的图象在（兮，0）处的切线方程 ⊙数理报社试题研究中心 8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ 15 4t-9 第I卷选择题（共58分) 都相切，则实数a= 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 (A)-1或-器 64 (®)-1 1.一个物体做直线运动，其位移h(单位：m)与时间t(单位：s) (0)-子或-点 7 (D)-子或7 之间的关系为h(t)=3t-2,该物体在t=3s时的瞬时速度是 ( 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (A)-3m/s (B)3 m/s 9.下列求导正确的是 ( (C)2 m/s (D)6 m/s (A)(e3)'=3e2a (B)(2sinx -3)'=2cosx 高 2.已知曲线y=f(x)在(5f(5)处的切线方程是y=-x+5, (c(2x+）=2+ -1 (D)(xcosx)'=cosx -xsinx 高 考 考 数 则f(5)与f'(5)分别为 ( 10.已知函数f(x)=e,则下列结论正确的是 ( 学 (A)5,-1 (B)-1,5 数学 (A)曲线y=∫(x)的切线斜率可以是1 (C)-1.,0 (D)0,-1 轮 (B)曲线y=∫(x)的切线斜率可以是-1 轮 总 3.直线y=2x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则b= 16.(15分)已知函数∫(x)=ax2+bx+c(a≠0)与g(x)= (C)过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条 总 复 x3+ax的图象都过点(1,0)，且在点(1,0)处有公共切线， 习 (D)过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条 (A)2e (B)e (1)求f(x),g(x)的表达式； 复习 达 达 标 (C)-e (D)-2e 11.已知定义在[0，)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且 (2)过点(0，I)作曲线y=∫(x)的切线，使切点P在第三象限， 标 衣 4.设函数f(x)=alnx+bx2(a>0,b>0),若函数f(x）)的图 f(0)=0∫'(x)cosx+∫(x)sinx<0,则下列判断中正确的是 求点P的坐标 检 测 测 象在x=1处的切线与直线-y-2=0平行，则日+名的最小值 a ) (a(）<() (B)r(ln牙）)>0 (A)1 (cr(）)>2() (D(）)>f(） (C)3-22 (D)3+22 5.已知函数∫(x)为偶函数，其图象在点(1∫(1))处的切线方 第Ⅱ卷非选择题（共92分）》 程为x-2y+1=0,记(x)的导函数为∫'(x),则f'(-1)= ( 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (0-号 12.已知函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)=∫'(1)x3-3x2 +3,则f'(2)= (C)-2 (D)2 13.已知函数f(x)=e-2x+1,则曲线y=f(x)在x=0处 6.已知函数∫(x)=x-x的图象在原点0处的切线与在点 的切线方程为 A(1,0)处的切线的交点为P,则tan∠OPA= 14已知点A(x),B(22),定义d=√(x1-2)+(x2-y (A)2 为A,B的“镜像距离”.若点A,B在曲线y=ln(x-a)+2上，且d