第3期 一元二次不等式及其解法-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

高考数学第一轮复习第1~5期 教理括 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第1~5期(2025年7月) 而由cosC>0不能推出△ABC为锐角三角形， 第1期2版 所以在△ABC中，“sin Asin B>cos Acos B”是“△ABC为 考题预测 锐角三角形”的必要不充分条件 1.B;2.C;3.C;4.A;5.A;6.D 5.由关于x的不等式f(x)=x2-ax+1<0有解， 7.D;8.C;9.-1;10.[2,4);11.120. 得4=（-a)2-4>0,解得a<-2或a>2, 所以只有(D)选项符合题意 第1期3,4版 6.结合图1可知，集合A∩B有3个元素， 高考数学一轮总复习达标检测(1)】 所以集合A∩B的真子集的个数为23-1=7. 一、单项选择题 1~4 DBDB 5~8 DCCA x2+y2=1 =lx】 提示： l.由Venn图可知阴影部分表示集合(CA)nB, 由A=x1x<-4或x≥5}， 图1 得CA=x1-4≤x<5}, 7.设A=xla≤x≤a2+1}, 则(CA)∩B={xI-3<x<5}. B={xI-2≤x≤5{. 2.因为命题p:x<-1,2-x-1<0, 若“a≤x≤a2+1”是“-2≤x≤5”的充分不必要条件， 所以p为：x<-1,2-x-1≥0. a≥-2， 则AB,则 等号不同时成立， 3.对于(A),因为集合M=1,2},所以0M,故(A)错 a2+1≤5， 误； 解得-2<a≤2. 对于(B),因为集合M={1,2},且0是一个集合，所以0 8.若集合A只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1 SM或OM,故(B)错误； 年A,5生B,即5∈A,1∈B,此时有1个有序集合对， 对于(C),因为集合M={1,2},所以集合{0,1}与集合M 同理，若集合B中只有1个元素，则集合A中只有5个元 不存在包含关系，故(C)错误； 素，有1个有序集合对； 对于(D),因为集合M={1,2},且任何集合都是它本身 若集合A中只有2个元素，则2A,4B,即4∈A,2∈ 的子集，所以{1,2}CM,故(D)正确 B,此时有4个有序集合对， 故选(D). 同理，若集合B中只有2个元素，则集合A中只有4个元 4.因为sin Asin B>cos Acos B, 素，有4个有序集合对； 所以cos(A+B)<0, 若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3 所以-cosC<0,即cosC>0. A,3B,不满足条件， 由△ABC为锐角三角形，可得cosC>0. 所以满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 高考数学第一轮复习第1~5期 1+1+4+4=10. 提示： 二、多项选择题 12.集合A={x1(m-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个 9.ABC:10.ABC:11.ACD. 子集，则集合A只有一个元素， 提示： 当m=1时，A= 有且仅有两个子集，符合题意； 9.A∩B=B等价于BCA, 若a=0,则B=☑，符合题意； 当m≠1时，4=9+8(m-)=0,此时m=-名，符合 若a≠0，则B= 2 la ,而A={1,2}, 题意。 所以名=1或2=2，解得a=2或a=, 综上m=令或m1 故选(A)(B)(C). 13.若命题“3x∈R,x2+1≤m”是假命题， 10.0={x1x<10,x∈N}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 则“Vx∈R,x2+1>m”是真命题， 结合条件画出Venn图， 又当x=0时，函数y=x2+1取得最小值1， 由图2可得A={1,3,9},B=2,3,5,8}, 所以m<1恒成立， 所以8∈B,故(A)正确； 故实数m的取值范围是(-∞，1). U 14.由题意可知，当n=3时，Un=1,2,3}. A B 1,9 13 2,5,8 当集合A中最大数为1，即A={1}时， 无满足题意的集合B; 4,6,7 图2 当集合A中最大数为2，即A={2}或A={1,2}时， 集合A中有3个元素， 只有一种满足题意的集合B=1, 所以集合A的真子集个数为2-1=7，故(B)正确； 此时“兄弟集合对”有2×1=2（对）： {9}CA,故(C)正确： 当集合A中最大数为3， C(AUB)=(CA)n(CB)={4,6,7}, 即A=3}或A={1,3}或A=2,3}或A=1,2,3}时， 所以7∈C(AUB),故(D)错误 满足题意的集合B有{1}，{2}和1,2}三种可能， 故选(A)(B)(C). 此时“兄弟集合对”有4×3=12（对）. 11.命题“Vx∈[-2,1]，ax2+2ax<1-3a”为真命题 故当n=3时，这样的“兄弟集合对”有2+12=14（对）. 等价于ax2+2ax<1-3a在x∈[-2,1]上恒成立， 若集合A中最大数为m, 即a(x2+2x+3)<1在xe[-2,1]上恒成立， 集合A的个数为{1,2,3，…，m-1}的子集个数， 因为x2+2x+3=(x+1)2+2>0, 即2m-I个， 所以a<2+2x+3 1 在x∈[-2,1]上恒成立 此时集合B的个数为{1,2,3，…，m-1}的非空子集个数， 即(2-1-1)个， 设f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2∈[2,6]， 因此这样的“兄弟集合对”有2-(2m-1-1)对， 1 .1 故当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有 结合题意，(,石) 2°×(2°-1)+2×(2-1)+…+2-1·(2-1-1) 应是正确选项的真子集。 =40+4+…+4-1-(2°+21+…+2m-1) 故选(A)(C)(D): =1×(1-4)-1×(1-2") 三、填空题 1-4 1-2 12-g或1,13.(-x,:1414,2-2 =4+2-2”(对). 3 3 —2 高考数学第一轮复习第1~5期 四、解答题 所以BCA, 15.解：(1)因为a=5时，A={x1x<5}, 当B=☑时，则m+1>2m-1,解得m<2, B={x|1<x<6}, ,m+1≤2m-1, 所以A∩B={xI1<x<5}, 当B≠⑦时，则m+1≥-2，解得2≤m≤3， A UB=xIx<6. 2m-1≤5， (2)由题知CRA=xlx≥a}, 综上，m的取值范围是(-∞，3] CB={xlx≤1或x≥6， (2)因为命题q:3x∈A,x∈B是假命题， 因为CRA CRB,所以a≥6， 所以A∩B=0, 故实数a的取值范围是[6，+∞). 当B=☑时，m+1>2m-1,解得m<2, 「m+1≤2m-1,「m+1≤2m-1, 16.解：(1)A= 当B≠0时，则 或 m+1>5 l2m-1<-2, ={x1-1≤x≤2}， 解得m>4, 因为a+b<0,所以a<-b, 综上，m的取值范围是(-o,2)U(4,+0). 所以B={xI(x-a)(x+b)≤0 19.(1)解：当n=3时，A。={1,2,3,4,5,6},4n+1=13. =x1a≤x≤-b}, ①对于A6的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 又因为A=B,所以a=-1,b=-2. 因为2+3+4+5>13， (2)因为a+b=2,所以B={-b≤x≤2-b}. 所以5不是集合A。的“相关数” 因为B是A的子集，所以-b≥-1且2-b≤2， ②A。的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 解得0≤b≤1， 因为1+3+4+5=13， 故实数b的取值范围是[0,1]. 所以6是集合A6的“相关数” 17.解：(1)解不等式x2-2mx+m2-1≤0 (2)证明：考察集合A2m的含有n+2个元素的子集 即(x-m)2≤1， B={n-1,n,n+1,…,2n. 解得m-1≤x≤m+1, 因为B中任意4个元素之和一定不小于 所以B=xlm-1≤x≤m+1}. (n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2, 由于p是q的必要不充分条件，则BA, 所以n+2一定不是集合A2.的“相关数” m-1≥-1， 所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2m的“相关数”. 所以 等号不同时成立， m+1≤2， 因此若m为集合A2.的“相关数”，必有m≥n+3. 解得0≤m≤1， 即若m为集合A2n的“相关数”，必有m-n-3≥0. 因此，实数m的取值范围是[0,1] (3)解：由(2)得m≥n+3. (2)由HxeA,x2+m≥4+3x恒成立， 先将集合A2n的元素分成如下n组： 得m≥-x2+3x+4,x∈[-1,2]， C,=(i,2n+1-i)(1≤i≤n). 令y=-x2+3x+4 对于A2的任意一个含有n+3个元素的子集P, =-(x-）+e[-1.21. 必有三组C.,C,C,同属于集合P. 再将集合A2m的元素剔除n和2n后，分成如下n-1组： 当x=号时，y取最大值为空，所以m≥空 D=(j,2n-j)(1≤j≤n-1). 对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P, 因此，实数m的取值范围是[孕，+）】月 必有一组D,属于集合P. 18.解：(1)因为命题p:Hx∈B,xeA是真命题， 这一组D,与上述三组C,C,C.中至少一组无相同元素， 一3 高考数学第一轮复习第1~5期 不妨设D,与C.无相同元素。 则-4x+5-x-2)2+1 x-2 x-2 此时这4个元素之和为[u+(2n+1-u)]+[t+(2n-t)] =4n+1. =(x-2)+22, 所以集合A2的“相关数”m的最小值为n+3. 当且仅当x2,2即龙=3时，等号成立 第2期2版 所以函数f(x)有最小值2. 考题预测 4因为g,gy成等比数列， 1.C;2.D:3.C;4.D:5.A;6.D. 所以()'-(Gg, 第2期3,4版 因为x>1,y>1, 高考数学一轮总复习达标检测(2) 所以lgx>0,gy>0, 一、单项选择题 1gx+1g)≥20g00g万=7 1 ~4 CADB 5~8 CACC 提示： 即g对≥分y≥而， 1.对于(A),当a=-4,b=3时，满足a<b, 当且仅当x=y时，等号成立 但1al>1b1,故(A)错误； 5.3a +b=x(a-b)+y(a+b) 对于(B),当a=-1,b=1时，满足a<b, =(x+y)a+(y-x)b, 但日<合，故(B)错误： x+y=3, 得 「x=1, 解得{ y-x=1, ly=2, 对于(C),因为a<b<0, 所以3a+b=(a-b)+2(a+b). 所以b-a>0,a+b<0,ab>0, 所以2-g.公4.b-6+ù<0， 因为0<a-b<2,2<a+b<4, a b ab ab 所以4<2(a+b)<8, 即合<号，故(C)正确： 4<(a-b)+2(a+b)<10, 所以3a+b的取值范围是(4,10). 对于(D),因为a<b<0,所以a2>ab且ab>b2, 6.因为正实数a,b满足a+2b=1, 即a2>ab>b2,故(D)错误 故选(C). 则1=a+2h≥22d,解得山≤名 2.对于(A),当a=2,b=1时，a>b但a=b+1,必要性 当且仅当a=2b=号时，等号成立 不成立，因为a>b+1,所以a>b,故充分性成立； 7.设1AB1=x米(x>0), 对于(B),当a=-2,6=-1时，满足分>1，但a<b,故 则种植花卉区域的面积 充分性不成立； 对于(C),当a=-2,b=-1时，满足a2>b2,但a<b,故 s=-4(10-2 充分性不成立； =-2x-720+1808. 对于(D),当a>b时，由不等式的基本性质得a3>b,故 因为x>0,所以2x+7200≥21440=240. 必要性成立，反之也成立，故充分性成立 故选(A) 当且仅当2x:720,即=60时：等号成立. 3因为x≥号，所以x-2≥分>0， 则S≤-240+1808=1568， 4 高考数学第一轮复习第1~5期 即当1AB1=60米，1BC1=30米时， 当且仪当9”即y时等成立 种植花卉区域的面积取得最大值，为1568平方米. lx +y=2, 8.由正实数a,b,c满足a2-2ab+962-c=0, 所以xG+）的最大值是}，故(D)错误 得g-2+6-1≥4地， 故选(A)(B). 当且仅当号-发，即0=36时，史取得最大值子 10.对于(A),AP=mAB+nA元=mAB+3nAD, 因为B,P,D三点共线，所以m+3n=1,(A)错误； 又因为a2-2ab+962-c=0, 对于(B),因为m+3n=1, 所以此时c=12b2, 所足+6是6(2-云） 以m=方(s宁x(巴产)-古 当且仅当m=3n时，等号成立，(B)正确； 仿+2) 对于(c,是+片=（片+）m+3 =1, 7+0+只 n 当且仅当=2-，即6=1时，等号成立， ≥7+2mn 12n.m 故最大值为1. 二、多项选择题 =7+45, 9.AB;10.BD;11.CD. 当且仅当2m=”,即m=25n时，等号成立， m n 提示： 9.因为正数x,y满足x+y=2, (C)错误； 所以片+片=+)（任+）】 对于(D.m+97≥m+n:之 2 当且仅当m=3n时，等号成立，(D)正确。 =×(2++) 故选(B)(D). 11.由x+y=1,y>0,x≠0， 得y=1-x>0,则x<1且x≠0. =2, 当0<x<1时， 当且仅当x=y”即x=y=1时，第名除 1.1x1 21x+y+1=2元+2- x+y=2, 所以+的最小值是2，故(A)正确： ++2 4x y≤ )=()= 2 122+2x =4+4x 当且仅当x=y=1时，等号成立， 1 2-x.x ≥4+2V4·2x 所以xy的最大值是1，故(B)正确； 5 ()e,得+≥2， =4 当且仅当x=y=1时，等号成立， 当且仅当=2亡即号时，等号成立 所以x+y2的最小值是2，故(C)错误； 当x<0时 y+)≤（任）=(2）= 1 I xl 1 21x+y+1=-2+2-x -5 高考数学第一轮复习第1~5期 -2+2 -4x 所以2x2√4, 子+2+ 可得M≥2，当且仅当a=b=c=1时，等号成立； -+22 2-x.- ②当0<c<1时，0<1+bc<1+b, 3 4 只需考虑M≥C+6,M≥号+c, 当且仅当安=产即-2时，等号成立 所以n≥（品+6）（台+】 综上2★≥是 1 故选(C)(D). =2ax+2W 三、填空题 =4, 12.(-2,6)；13.8;14.2. 可得M≥2，当且仅当a=1,bc=1时，等号成立. 提示： 综上所述，M的最小值为2. 12.因为-2<b<1,则-1<-b<2, 四、解答题 又-1<a<4,所以-2<a-b<6. 15.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 13.设矩形的一组邻边长为a,b, 则(100-x)万元投入B产品，则 则该矩形的周长为2(a+b), 且a2+62=8. y=+8=18-0+0 5 a2+b2=(a+b)2-2ab =38-180 00-号.0<x<100 =(a+-2() (2)由(1)得，y=38-180-x x+10-5 =宁a+b只， =40- (180+x+10 x+10 5 即a+b≤2(a2+b)=4, 180 当且仅当a=b=2时，等号成立， ≤0-2V0×专严 5 所以2(a+b)≤8， =28, 即该矩形周长的最大值为8. 当组仅当190=专即x=20时，等号成立， 14设M={品+6，合+c,分+} 所以当x=20时，公司利润最大 由题得M≥+b>0,M≥ +c>0,M≥+e>0 16.(1)证明：因为a,b为正实数， ac a 所以不等式”光≤√号 a2+6 因为（品+6小e=合+c,所以 a ①当e≥1时+c≥+6>0， 价于： 2 只需考志M=。+kc,M三号+e (）些-s0. 2 4 a2+62 所越M≥+c≥}+≥2√ 当a=b时，等号成立. M≥+e≥+1=2√只 (2)解：由题意，得a2+b2=c2=4. —6 高考数学第一轮复习第1~5期 +E=22, 由(1)的结论，a+b≤2√2 ②由x+y=xy-1,得(x-1)(y-1)=2. 由①的解答可知y>1,则x>1. 当a=b=2时，等号成立 +2,石= 所以L 又a+b>c=2, 所以4<a+b+c≤2√2+2. 当日仅当，且x-y-)=2, 所以直角△ABC周长I的取值范围是 即x=y=2+1时，等号成立 {l14<1≤22+2}. 故+，的最小值为万 r a b ≥10%， 17.解：(1)由题得 。1 a+b=220, b a 所以6≤0元=10， =a+6+a+6=1. (2)因为abc=1, 所以a+b=220≤a+10a,解得a≥20. 所以原方程可化为 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. 5ax 5bx 5bcx (2)由题知0<a<b,n>0, ab +a+abe beca+c+1= +日-号=60+的-化：丹 5bx 5bcx b(b+n) b(b+n)’ 即，+++预++1+61， 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 所以1+b+c)x=1, 1+b+bc 又因为a<b,所以n(b-a)>0, 即5x=1,解得x=了 1 因此+-云>0，脚+日>合 6M=+。++2 1 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采光条件变好 了 =中。++2 1 18.解：(1)当a=0时，x+y=2≥2√xy, 得y≤1，当且仅当x=y=1时，等号成立. =1+6+1+26 故xy的最大值为1. =26+26+1 2b+3b+1 (2)①当a=1时，x+y=xy-1, b 即x(y-1)=y+1, =126+36+1 当y=1时显然不合题意，故y≠1， 1 =1- 期x=>0,则)>1或y<-1含去小 2++3 因为a>0.6>0所以2沙+方=2√w于=2万 1 则+2y=+2=1+, y1+2 =3+,2+2,-) 当且仅当6=公即6号a一：方时，等号成立 ≥3+2V20g-=7 所以26+。的最小值为2万， 1 当组仅当，名=2)-少，即，=2 此时 26* —有最大值3-22， 6+3 此时x=3时等号成立， 从而1- 1 故x+2y的最小值为7. 26+ 有最小值22-2， 6+3 高考数学第一轮复习第1~5期 即M=+。++2的最小值为2万-2 则tan20=-5,又0e(7,m）, 第3期2版 所以8：吾 考题预测 6.由定义知，不等式 1.B;2.A;3.B;4.D;5.B;6.D. 等价于2-x-(a2-a-2)≥1， 第3期3,4版 所以x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立 高考数学一轮总复习达标检测(3) 为+1=(+产= 一、单项选择题 3 1~4 BDAA 5~8 CDBC 所以G-a≤子解得-宁≤u≤子 提示： 则实数a的最大值为子 1.不等式可化为1x2+1x1-6<0,即-3<1x1<2, 7.选择用丙的方法 解得-2<x<2. 因为xy≤ax2+2y2,xe[1,2],y∈[2,3]， 2.因为关于x的不等式mx>n的解集是x|x<2}, 所以m<0,n=2m, 所以y-2≤ar2等价于y二2Y≤a. 所以(mx+n)(x-3)>0可化为m(x+2)(x-3)>0, 即(x+2)(x-3)<0,所以-2<x<3, 所以关于x的不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是 令Y=t,则te[1,3]. {x|-2<x<3. 原问题即为t-2≤a对任意t∈[1,3]恒成立， 3.由x2-a≤0，可得a≥x2, 当xe[1,2]时，(x2)m=4,所以a≥4， 因为-2-2-)°+日 即实数a的取值范围是[4，+∞). 所以当t=1时，(t-2)ms=-1. 4.p:m2-8m<0,即p:0<m<8. 所以-1≤a,即实数a的取值范围是[-1，+∞). 因为关于x的不等式x2+(m-4)x+9>0的解集为R, 8.因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0，+o), 所以4=(m-4)2-36<0, 所以f(x)=x2+ax+b=0只有一个根， 即m2-8m-20<0,解得-2<m<10. 因为m10<m<8}是{ml-2<m<10}的真子集， 即4=。46=0，则6=子 所以p是q的充分不必要条件. 又不等式f(x)<c的解集为(m,m+6), 5.设方程x2-45cos20·x+2=0的两根分别为x1,x2, 即2+a+子<c的解集为(m,m+6). 「x1+x2=45c0s20, 则有 则x2+ax+ 4 -c=0的两个根为m,m+6, 1x2=2, 设方程2x2+4sin20·x+1=0的两根分别为x3,x4, 所以1m+6-ml= 。2-44 a- -c=6, rx3+x4=-2sin20, 解得c=9. 则有 1 34=2 二、多项选择题 9.AC10.CD;11.BC. 由对偶不等式的定义可得西+无，=+华 x12 提示： 所以-2sin20=25cos20, 9.不等式[x]2-3[x]-10≤0可化简为 —8 高考数学第一轮复习第1~5期 ([x]-5)(x]+2)≤0， 三、填空题 解得-2≤[x]≤5，所以-2≤x<6, 12{x13a<x<-a};13.(-6,-25];14.[-4,+). 即x的值可以是区间[-2,6)内的任何实数， 提示： 故选(A)(C) 12.由x2-2ax-3a2<0,得(x-3a)(x+a)<0, 10.不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0可化为 因为a<0,所以3a<-a, (ax+1)(x-2a）<0. 故由(x-3a)(x+a）<0,得3a<x<-a, 当a=0时，不等式(ax+1)(x-2a)<0可化为x<0, 则不等式x2-2ax-3a2<0的解集为 不符合题意， xl 3a <x<-a. 当a<0时，不等式(ax+1)(x-2a)<0的解集中有无数 13.令f(x)=x2+(m-2)x+6-m, 个正整数解，不符合题意。 其图象的对称轴方程为x=2、严 2 当a>0时，- <0,2a>0,不等式(ax+1)(x-2a）< a 2-m>2, 2 0的解袋为。<x<2} 由题意得 f(2)>0, 由不等式(a+1)(x-2a)<0的解集中恰有3个正整数解， 4≥0， 得这3个正整数一定为1,2,3， 2-m>2, 2 则3<2a≤4，解得号<a≤2 即 4+2m-4+6-m>0, 所以a的值可以为子和2 (m-2)2-4(6-m)≥0， 解得-6<m≤-25， 故选(C)(D). 11,对于选项(A)f(1,3)=1×(1-3)=-2,f(3,1)= 即m的取值范围是(-6，-25]. 3×(1-1)=0,所以f(1,3)≠f(3,1),则(A)错误： 14.由x2-2x-3≤0解得-1≤x≤3. x2-2x-3≤0， 对于选项(B),f(a,a)=a(1-a)=a-a2=-a2-a 若不等式组{ 的解集是空集， x2+4x-(1+a)≤0 +)+子=-(a)广+子≤子则()正确： 则x2+4x-(1+a)>0在[-1,3]上恒成立. 令f(x)=x2+4x-(1+a), 对于选项(C),f(x-a,x)=(x-a)(1-x)=-x2+(a 则f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x=-2, +1)x-a≤-a+4恒成立，即x2-(a+1)x+4≥0恒成立， 所以f(x)在[-1,3]上单调递增， 则4=(a+1)2-16≤0，解得-5≤a≤3，所以实数a的取 所以要使f(x)>0在[-1,3]上恒成立， 值范围是[-5,3]，则(C)正确； 则f(-1)=-4-a>0,解得a<-4. 对于选项(D),由(C)可得x2-(a+1)x+4≥0恒成立， -2x-3≤0， 令y=-ax+x2-x+4(a>0),当x>0时，该函数看成关于 故若不等式组 的解集不是空集， +4x-(1+a)≤0 a的一次函数，此时函数单调递减，不可能恒大于0；当x=0 则实数a的取值范围是[-4，+o). 时，y=4≥0成立；当x<0时，该函数看成关于a的一次函数， 四、解答题 此时函数单调递增，当a=0时，y=2-x+4=2-x+4 15.解：(1)由题意得 1+a+1>0, 解得a≥ 9-3a+1≤0， 31 +=（x-)+>0,所以y≥0成立，综上所述实数 x的取值范围是(-0,0]，则(D)错误 故实数a的取值范围是 故选(B)(C) (2)由题意得x2+ax+1>0在R上恒成立， 高考数学第一轮复习第1~5期 则4=2-4<0，解得-2<a<2, 当组仅当m=2,且+=子 m 故实数a的取值范围是(-2,2) 即m=12,n=6时，等号成立， 16.解：(1)因为a:x2-x+1<0的解集为非空集合 此时a=18>16,符合条件，则m+4n≥36. x1b<x<2b}, 综上，当且仅当a=18时，m+4n取得最小值36. 所以方程a2-x+1=0的两个根为b,2b,且b>0,a>0. 18.解：(1)已知f(x)=ax2-(2a+1)x+2, [b+2b=a 1 ①当a=0时f(x)=-x+2>0,即x<2: 由根与系数关系得 6×2b= a ②当a≠0时f()=a(-）(x-2), 解得6=2或6=0（合 若a<0f()>0,解得。<x<2. 放6的值为子 若0<a<f)>0,解得x<2或>日 (2)关于x的不等式a2-x+1<0的解集为☑曰 若a=分()>0，解得x≠2。 关于x的不等式ax2-x+1≥0恒成立 当a=0时，不等式化为-x+1≥0，不恒成立， 若a>分时f()>0,解得x<日或x>2 a 不符合题意； 综上所述：当a<0时f(x)>0的解集为 当a≠0时， 22小： 因为关于x的一元二次不等式ax2-x+1≥0恒成立， 当a=0时，f(x)>0的解集为(-∞，2)； 所以 a>0, 当0<a<时f()>0的懈集为(-02)U(日，+x): 4=1-4a≤0， 解得a≥4 综上，实数a的取值花图是{如口≥士} 当a=子时f()>0的解集为(-0,2)U(2,+x)5 17.解：(1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a), 当a>子时f()>0的解集为(-0，日)U(2, 所以y<0,即(x-4)(x-a)<0. +∞). 当a=4时，不等式y<0的解集为0； (2)若a=1,则f(x)=x2-3x+2, 当a>4时，不等式y<0的解集为{xl4<x<a}; 当a<4时，不等式y<0的解集为x|a<x<4}. 所以5(）+3=-婴+2 (2)由题意， 令t=,原题等价于3e[1,],me[1,4, 关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的正根， 使得t2-2mt+2≤b2-2b-2恒成立， 4=a2-16a>0, 令g(m)=-2tm++2, 由韦达定理知{ m+n=a>0,解得a>16. 所以g(m)是关于m的减函数， mn=4a>0. 所以Hm∈[1,4]，g(m)≤2-2b-2恒成立， 1 m nm 即62-2b-2≥g(m)m=g(1)=t-2t+2, m+4n=4(m+4n(信+) 又3te[1,3],b2-2b-2≥t-2t+2, 即62-2b-2≥(-2t+2)mim=12-2×1+2=1, =45+0+只) 故62-2b-3=(b-3)(b+1)≥0， 因为m>0,n>0, 解得b≤-1或b≥3， 即b的取值范围为(-∞，-1]U[3,+∞). 所以+只≥2√份·元 4n.m=4, m n 19.解：(1)当m=1,n=0时f(x)=x2-x-8. 1017.(15分)已知函数y=x2-(a+4)x+4a. 18.(17分)若函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2. 19.(17分)对于函数f(x),若存在x。∈R,使∫(x)=x成立， (1)解关于x的不等式y<0; (1)讨论∫(x)>0的解集； 则称xo为f(x)的不动点.已知函数f(x）)=mx2+(n-1)x+n- (2)若关于x的不等式y+4x<0的解集为{x|m<x<n}(m (2)若a=1时，3xe[兮，1小，Yme[1,4],使得f()+ 8(m≠0) >0,n>0),求m+4n的最小值 (1)当m=1,n=0时，求函数f(x)的不动点； 3-2m≤2-2b-2恒成立，求实数b的取值范围， (2)若对任意实数n,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数 m的取值范围； (3)若f(x)的两个不动点为x1,x,且∫(x)+f(x)= m一当m>1时，求实数n的最小值 m --c------------- 高考数学一轮总复习达标检测 高考数学一轮总复习达标检测 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数评橘 2025年7月15日·星期= 高考数学 第 3期总第1147期 第一轮复习 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-284 钱学森： 国之脊梁，航天之父 专题辅导 命题趋势 钱学森，中国航 天事业的奠基人，被 无二次不等式及其解法 一元二次不等式经常与数列、函数、解析几何相结合考查参数的取值范围， 誉为“中国航天之 这类问题常转化为求函数在某一区间上的最值问题求解.此外，三个“二次”之间 父”“中国导弹之 专题解读 的联系的综合应用等问题也是高考的热点.预计2026年高考中，一元二次不等 父” 式及其解法的考查仍是热点和重点之 ⊙河北李妍 他早年留学美 国，在学术上取得了 解析：因为“3x∈R,-x2+mx-1>0”是 考点精析 则g)<0即-x-1<0, 卓越成就新中国成 真命题，所以函数y=-x2+mx-1的函数值中 lg(2)<0, 2x2-2x-1<0 立后，钱学森毅然决 考点一、一元二次不等式的解法 有正值，因此△=m2-4>0,解得m>2或m 解得 定回国，为祖国的建 例1已知xeR,则不等式2-2x-3<0<-2,故选(A). 2 <x<1+ 2 设贡献自己的力量 的解集为 点评：本题主要考查二次函数与一元二次 即实数的取值范围是(，，生)】 然而，他的回国之路 解析：方程x2-2x-3=0的解为x=-1或 不等式的关系、存在量词命题，意在考查学生的 充满了艰难险阻.美 逻辑思维能力和运算求解能力： 点评：本题主要考查一元二次不等式在给定 x=3,则不等式x2-2x-3<0的解集为 国政府百般阻挠，甚 例5已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R) 参数范围的恒成立问题，要充分结合函数图象进行 {x|-1<x<3 至将他囚禁起来.但 的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f代x)<m的 分类讨论，也可采用分离参数的方法求解 点评：本题考查一元二次不等式的解集，考 钱学森始终没有放 () 例8若x∈x10<x≤1{，不等式x2- 查运算求解能力. 解集为(n,n+10),则实数m的值为 弃回国的信念，经过 (B)-25 4x≥m恒成立，则有 (A)25 多方努力，终于回到 考点二、含参一元二次不等式的解法 (A)m≤-3 (B)m≥-3 (C)50 (D)-50 了祖国的怀抱. 例2解关于x的不等式：2-(a+a2)x+a (C)-3≤m<0 (D)m≥-4 解析：由函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R) 回国后，钱学森 >0(a∈R). 解析：作出函数y=x2-4x=(x-2)2- 4 的值域为[0，+∞)知，4=2-8c=0,所以c 立即投身于国防科 解析：由题得(x-a)(x-a2)>0, 的图象，并截取在0<x≤ b b2 2-4x 技事业.他带领着科 当a<0或a>1时，不等式的解集为 8不等式八x)<m,即2x2+bx+ 8 <m,1内的部分如右图所示 研团队，克服了重重 (实线部分)， {x|x<a或x>a2}; 即2x2+bx+ -m<0的解集为(n,n+l0). 困难，从无到有，逐 8 由图象知，当x= 1 3 当a=0时，不等式的解集为 步建立起中国的航 时，y取得最小值-3，所以 3 {xIx∈R,且x≠0}； 设方程2x2+bx+ -m=0的两根为x1,x2, 天工业，在艰苦的条 m≤-3，故选(A) 当0<a<1时，不等式的解集为 件下，他废寝忘食地 则1+2=- b b2 点评：本题主要考查一元二次不等式恒成 {xlx<2或x>a; x=16 -21 工作，凭借着卓越的 立，通过求二次函数的最小值，进而确定m的范 当a=1时，不等式的解集为 智慧和顽强的毅力 所以1x1-x21=√1+2)2-4x4 围，考查数形结合思想 {xIx∈R,且x≠1. 成功研制出了中国 例9/a∈{a|-1≤a≤1{，不等式x2+ 点评：本题主要考查含参数的一元二次不 = 第一枚导弹、第一颗 (a-4)x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围 等式的解法，讨论两根的大小，同时考查分类讨 人造地球卫星 =2m 为 钱学森不仅是 论思想. 由题意知1x,-x21=1n+10-n|=10, (A){x|x<2或x>3 一位杰出的科学家， 例3解关于x的不等式：2x2+ax+2>0. 所以m=50. (B){x1x<1或x>2 更是一位具有高尚 解析：由题得4=a2-16, 点评：本题考查含参数的一元二次不等式 (C){xx<1或x>3 爱国情怀的人.他把 当a<-4或a>4时，不等式的解集为 问题，同时考查学生的逻辑思维能力和运算求 (D){xI1<x<3 自己的一生都奉献 xx<4 -a-层-16)或x>子(-a+解能力 解析：把不等式的左端整理成关于a的一次 给了祖国，为了国家 式，即(x-2)a+x2-4x+4>0,则由一次函数 的富强和民族的振 Va-16)}: 考点四、一元二次不等式恒成立问题 的图象知，对于任意的a∈{a|-1≤a≤1}， 兴，不惜牺牲个人利 例6若Hx∈R,不等式x2-2ax+a>0恒 当a=-4时，不等式的解集为x|x≠1}； 不等式(x-2)a+x2-4x+4>0恒成立 益.他的精神激励着 成立，则a的取值范围是 当-4<a<4时，不等式的解集为R； 等价于当a=-1及a=1时， 无数后人，为实现中 解析：由“Hx∈R,不等式x2-2ax+a>0 当a=4时，不等式的解集为xlx≠-1}. 不等式(x-2)a+x2-4x+4>0成立， 华民族伟大复兴的 恒成立”，可得4=(-2a)2-4a<0,解得0< 点评：本题主要考查含参数的一元二次不 即x2-5x+6>0,且x2-3x+2>0, 中国梦而努力奋斗 a<1,即a的取值范围是(0,1). 等式的解法，讨论A的符号，同时考查分类讨论 解不等式组 x2-5x+6>0, 钱学森，国之脊 点评：本题主要考查一元二次不等式在R Lx2-3x+2>0 思想 梁，他的功绩将永载 上的恒成立问题，一定要搞清楚谁是自变量，谁 得x<1或x>3,故选(C). 史册，他的精神将永 考点三、三个“二次”之间的关系 是参数，考查学生的运算求解能力 点评：本题主要考查一元二次不等式恒成 远熠熠生辉 例4若“3x∈R,-x2+mx-1>0”是真 例7若mx2-mx-1<0对任意m∈[1， 立，将不等式变形为关于a的一元一次不等式 命题，则实数m的取值范围是 ( )2]恒成立，则实数x的取值范围是 结合一次函数的图象，通过解不等式组求得x的 (A)m<-2或m>2(B)-2<m<2 解析：设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m 取值范围，考查学生的转化与化归能力和运算 (C)m≠±2 (D)1<m<3 -1,me[1,2],其图象为一条线段， 求解能力 素养专练 解集为x1x<-1或x>4},则下列说法正确 考题预测 的是 ◎数理报社试题研究中心 (A)a>0 1.设集合A={x1x2-x-6≤0，B= (B)不等式ax2+cx+b>0的解集为 xIx-1<2},则A∩B= ()x12-万<x<2+万 (C)a+b+c<0 (A){x1-2<x<3} (D)不等式ax+b>0的解集为{xlx>3} (B){xI1≤x≤3} 4.已知对任意1≤m≤3，mx2-mx-1<-m (C){xl1≤x<3} +5恒成立，则实数x的取值范围是 (D){x|-2≤x≤3} 2.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0) (w{✉>} 有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是 () (A){ala>0} (B){ala>2} (c{<} (C){a1a>1 (D){a1a>-1} 3.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的 {,<<1告到 第2期2版参考答案 又a+b>c=2, 所以4<a+b+c≤22+2. 1.C;2.D;3.C;4.D;5.A;6.D 所以直角△ABC周长I的取值范围是 第2期3版参考答案 {l14<1≤22+2. 一、单项选择题 17.解：1)）由题得片≥10%， 1~4 CADB 5~8 CACC a+b=220 二、多项选择题 9.AB;10.BD;11.CD. 所以b≤109% =10a, 三、填空题 所以a+b=220≤a+10a,解得a≥20 12.(-2,6):13.8:14.2 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米， 四、解答题 (2)由题知0<a<b,n>0, 15.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 号+日-号-b业 则(100-x)万元投入B产品，则 b(b+n) y=1+为2=18-180+100-x x+10+ =888 5 =38-180 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, t+10-芳，0<x<10. 又因为a<b,所以n(b-a)>0, (2)由(1)得，y=38- 190-青 因岭+”行>0，听片>云 =40-90+专0） 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采 5 光条件变好了. 18.解：(1)当a=0时，x+y=2≥2√， ≤40-2 180x+10 √x+10×5 得y≤1，当且仅当x=y=1时，等号成立. =28, 故xy的最大值为1. 当且仅当180 (2)①当a=1时，x+y=xy-1, x+10 =+10,即x=20时， 5 即x(y-1)=y+1, 等号成立， 当y=1时显然不合题意，故y≠1， 所以当x=20时，公司利润最大 16.(1)证明：因为a,b为正实数， 则->0则y>1或-1哈大 所以不等式≤√ a2+b2 则+2=1+， -1+2 等价于()≤， 2, ✉3+子+2y (0. 2 4 3+22120g-0=7. 当且仅当，2=2，-1)，即，-2. 此时x=3时等号成立， 当a=b时，等号成立 故x+2y的最小值为7. (2)解：由题意，得a2+2=c2=4. ②由x+y=xy-1,得(x-1)(y-1)=2. 主1)的猫论a+6≤22-22 由①的解答可知y>1,则x>1. 当a=b=√2时，等号成立. 所以1 数理极 5.在R上定义运算⑧：x⑧y=x(1-y),若 不等式(x-a)⑧(x+a)<1对任意的实数x恒 成立，则实数a的取值范围是 ( ) (A)(-1,1) ()(3) (c(2) (D)(0,2) 6.设函数f(x)=21x-11+x-1,g(x) = 16x2-8x+1,若f(x)≤1的解集为M,g(x) ≤4的解集为N,则当x∈MnN时，函数F(x) =xf(x)+x[f(x)]2的最大值是 (A)0 (C (D)4 参考答案见下期 3 当且仅当，，且(x-1g-0=2, 即x=y=2+1时，等号成立 故+，的最小值为E 19解：寸安+ 1 中e+ab中 ab b (2)因为abc=1, 所以原方程可化为 5ax 5bx 5bex ab +atabe*becac+= 5x 5bx 5bcx 即。++be+e中6+++c+Bl 所以51+6+bc）x=1, 1 +b+bc 即5x=1,解得x=5 ab (3)M=1+a+1+2b=ab+a+1+26 “中6+口6签 b 1 =1-2B2+36+11-1 2b++3 因为a>0,b>0 个 所以26+古≥2√2b=22, b 当且仅当26=，即6=巨。 1 川 b b =2时， 等号成立， 所以26+6的最小值为22， R 此时1 2b+* 有最大值3-22， 从而1-1 26++3 有最小值22-2， 1 即M=+a+1+26的最小值为25-2 (A)[1,+∞) (B)[-1,+o) 第I卷选择题（共58分) (C)[-1,4) (D)[-1,6] 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 8.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0，+o), 1.不等式-x2-1x1+6>0的解集为 若关于x的不等式∫(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为 (A){x1-2<x<3} (B){xI-2<x<2} ( ) (C){xIx<-2或x>3}(D)xlx<-3或x>2 (A)3 (B)6 (C)9 (D)10 2.已知关于x的不等式mx>n的解集是x1x<2},则关于x 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 的不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是 ( 9.[x]表示不超过x的最大整数，则满足不等式[x]2-3[x]- 高 (A){x1x<2或x>3} (B){xI2<x<3 10≤0的x的值可以是 高 考 (C){x1x<-2或x>3} (D){x|-2<x<3} 数 (A)3 (B)-2.5 (C)5.5 (D)8 考 学 3.命题“对任意的x∈[1,2]，x2-a≤0”为真命题，则实数a的 10.关于x的不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0的解集中恰有3 数学 取值范围是 ( ) 个正整数解，则a的值可以为 ( 轮 (A)[4,+∞) (B)(-∞，4] 轮 总 (A)-1 (C)(5,+∞) (D)(-0,5] ( (C)2 16.(15分)已知关于x的不等式ax2-x+1<0. 4 (D)2 复 (1)若这个不等式的解集为非空集合{x|b<x<2b},求实数 总 复 习 4.已知p:m2-8m<0,9:关于x的不等式x2+(m-4)x+9> 11.已知两个变量x,y的关系式为f(x,y)=x(1-y),则下列说 b的值； 习 西 0的解集为R,则p是q的 ( 法正确的是 (2)若这个不等式的解集为☑，求实数a的取值范围 标 检 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (A)f(1,3)=∫(3,1)=0 达标 检 测 (C)既不充分也不必要条件 (D)充要条件 (B)对任意实数a,都有f(a,a)≤4成立 测 5.若关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b) (C)若对任意实数x,不等式f(x-a,x)≤-a+4恒成立，则实 利（公），则称这两个不等式为“对偶不等式”若不等式一 数a的取值范围是[-5,3] 45cos20·x+2<0和不等式2x2+4sin20·x+1<0为“对偶不 (D)若对任意正实数a,不等式f(x-a,x)≤-a+4恒成立，则 等式”，且0∈（牙，m),则0= 实数x的取值范围是(-∞，0) ( () (B)3m 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 4 (C)5m 6 (D)1x 12 6.在R上定义运算： b) ad bc. 若不等式 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 c 12.已知a<0,则不等式x2-2ax-3a2<0的解集为 (。2≥1对任意实数x恒成立，则实数的最大值为 a+1 x 13.若方程x2+(m-2)x+6-m=0的两根都大于2，则m的 取值范围是 (A)-7 (B)-3 (c)2 (D) 14.若不等式组-2x-3≤0， 的解集不是空集，则实 lx2+4x-(1+a)≤0 7.三位同学合作学习，对问题“已知不等式y≤ax2+2y2对任：数a的取值范围是