第2期 不等关系与基本不等式-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

高考数学第一轮复习第1~5期 教理括 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第1~5期(2025年7月) 而由cosC>0不能推出△ABC为锐角三角形， 第1期2版 所以在△ABC中，“sin Asin B>cos Acos B”是“△ABC为 考题预测 锐角三角形”的必要不充分条件 1.B;2.C;3.C;4.A;5.A;6.D 5.由关于x的不等式f(x)=x2-ax+1<0有解， 7.D;8.C;9.-1;10.[2,4);11.120. 得4=（-a)2-4>0,解得a<-2或a>2, 所以只有(D)选项符合题意 第1期3,4版 6.结合图1可知，集合A∩B有3个元素， 高考数学一轮总复习达标检测(1)】 所以集合A∩B的真子集的个数为23-1=7. 一、单项选择题 1~4 DBDB 5~8 DCCA x2+y2=1 =lx】 提示： l.由Venn图可知阴影部分表示集合(CA)nB, 由A=x1x<-4或x≥5}， 图1 得CA=x1-4≤x<5}, 7.设A=xla≤x≤a2+1}, 则(CA)∩B={xI-3<x<5}. B={xI-2≤x≤5{. 2.因为命题p:x<-1,2-x-1<0, 若“a≤x≤a2+1”是“-2≤x≤5”的充分不必要条件， 所以p为：x<-1,2-x-1≥0. a≥-2， 则AB,则 等号不同时成立， 3.对于(A),因为集合M=1,2},所以0M,故(A)错 a2+1≤5， 误； 解得-2<a≤2. 对于(B),因为集合M={1,2},且0是一个集合，所以0 8.若集合A只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1 SM或OM,故(B)错误； 年A,5生B,即5∈A,1∈B,此时有1个有序集合对， 对于(C),因为集合M={1,2},所以集合{0,1}与集合M 同理，若集合B中只有1个元素，则集合A中只有5个元 不存在包含关系，故(C)错误； 素，有1个有序集合对； 对于(D),因为集合M={1,2},且任何集合都是它本身 若集合A中只有2个元素，则2A,4B,即4∈A,2∈ 的子集，所以{1,2}CM,故(D)正确 B,此时有4个有序集合对， 故选(D). 同理，若集合B中只有2个元素，则集合A中只有4个元 4.因为sin Asin B>cos Acos B, 素，有4个有序集合对； 所以cos(A+B)<0, 若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3 所以-cosC<0,即cosC>0. A,3B,不满足条件， 由△ABC为锐角三角形，可得cosC>0. 所以满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 高考数学第一轮复习第1~5期 1+1+4+4=10. 提示： 二、多项选择题 12.集合A={x1(m-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个 9.ABC:10.ABC:11.ACD. 子集，则集合A只有一个元素， 提示： 当m=1时，A= 有且仅有两个子集，符合题意； 9.A∩B=B等价于BCA, 若a=0,则B=☑，符合题意； 当m≠1时，4=9+8(m-)=0,此时m=-名，符合 若a≠0，则B= 2 la ,而A={1,2}, 题意。 所以名=1或2=2，解得a=2或a=, 综上m=令或m1 故选(A)(B)(C). 13.若命题“3x∈R,x2+1≤m”是假命题， 10.0={x1x<10,x∈N}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 则“Vx∈R,x2+1>m”是真命题， 结合条件画出Venn图， 又当x=0时，函数y=x2+1取得最小值1， 由图2可得A={1,3,9},B=2,3,5,8}, 所以m<1恒成立， 所以8∈B,故(A)正确； 故实数m的取值范围是(-∞，1). U 14.由题意可知，当n=3时，Un=1,2,3}. A B 1,9 13 2,5,8 当集合A中最大数为1，即A={1}时， 无满足题意的集合B; 4,6,7 图2 当集合A中最大数为2，即A={2}或A={1,2}时， 集合A中有3个元素， 只有一种满足题意的集合B=1, 所以集合A的真子集个数为2-1=7，故(B)正确； 此时“兄弟集合对”有2×1=2（对）： {9}CA,故(C)正确： 当集合A中最大数为3， C(AUB)=(CA)n(CB)={4,6,7}, 即A=3}或A={1,3}或A=2,3}或A=1,2,3}时， 所以7∈C(AUB),故(D)错误 满足题意的集合B有{1}，{2}和1,2}三种可能， 故选(A)(B)(C). 此时“兄弟集合对”有4×3=12（对）. 11.命题“Vx∈[-2,1]，ax2+2ax<1-3a”为真命题 故当n=3时，这样的“兄弟集合对”有2+12=14（对）. 等价于ax2+2ax<1-3a在x∈[-2,1]上恒成立， 若集合A中最大数为m, 即a(x2+2x+3)<1在xe[-2,1]上恒成立， 集合A的个数为{1,2,3，…，m-1}的子集个数， 因为x2+2x+3=(x+1)2+2>0, 即2m-I个， 所以a<2+2x+3 1 在x∈[-2,1]上恒成立 此时集合B的个数为{1,2,3，…，m-1}的非空子集个数， 即(2-1-1)个， 设f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2∈[2,6]， 因此这样的“兄弟集合对”有2-(2m-1-1)对， 1 .1 故当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有 结合题意，(,石) 2°×(2°-1)+2×(2-1)+…+2-1·(2-1-1) 应是正确选项的真子集。 =40+4+…+4-1-(2°+21+…+2m-1) 故选(A)(C)(D): =1×(1-4)-1×(1-2") 三、填空题 1-4 1-2 12-g或1,13.(-x,:1414,2-2 =4+2-2”(对). 3 3 —2 高考数学第一轮复习第1~5期 四、解答题 所以BCA, 15.解：(1)因为a=5时，A={x1x<5}, 当B=☑时，则m+1>2m-1,解得m<2, B={x|1<x<6}, ,m+1≤2m-1, 所以A∩B={xI1<x<5}, 当B≠⑦时，则m+1≥-2，解得2≤m≤3， A UB=xIx<6. 2m-1≤5， (2)由题知CRA=xlx≥a}, 综上，m的取值范围是(-∞，3] CB={xlx≤1或x≥6， (2)因为命题q:3x∈A,x∈B是假命题， 因为CRA CRB,所以a≥6， 所以A∩B=0, 故实数a的取值范围是[6，+∞). 当B=☑时，m+1>2m-1,解得m<2, 「m+1≤2m-1,「m+1≤2m-1, 16.解：(1)A= 当B≠0时，则 或 m+1>5 l2m-1<-2, ={x1-1≤x≤2}， 解得m>4, 因为a+b<0,所以a<-b, 综上，m的取值范围是(-o,2)U(4,+0). 所以B={xI(x-a)(x+b)≤0 19.(1)解：当n=3时，A。={1,2,3,4,5,6},4n+1=13. =x1a≤x≤-b}, ①对于A6的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 又因为A=B,所以a=-1,b=-2. 因为2+3+4+5>13， (2)因为a+b=2,所以B={-b≤x≤2-b}. 所以5不是集合A。的“相关数” 因为B是A的子集，所以-b≥-1且2-b≤2， ②A。的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 解得0≤b≤1， 因为1+3+4+5=13， 故实数b的取值范围是[0,1]. 所以6是集合A6的“相关数” 17.解：(1)解不等式x2-2mx+m2-1≤0 (2)证明：考察集合A2m的含有n+2个元素的子集 即(x-m)2≤1， B={n-1,n,n+1,…,2n. 解得m-1≤x≤m+1, 因为B中任意4个元素之和一定不小于 所以B=xlm-1≤x≤m+1}. (n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2, 由于p是q的必要不充分条件，则BA, 所以n+2一定不是集合A2.的“相关数” m-1≥-1， 所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2m的“相关数”. 所以 等号不同时成立， m+1≤2， 因此若m为集合A2.的“相关数”，必有m≥n+3. 解得0≤m≤1， 即若m为集合A2n的“相关数”，必有m-n-3≥0. 因此，实数m的取值范围是[0,1] (3)解：由(2)得m≥n+3. (2)由HxeA,x2+m≥4+3x恒成立， 先将集合A2n的元素分成如下n组： 得m≥-x2+3x+4,x∈[-1,2]， C,=(i,2n+1-i)(1≤i≤n). 令y=-x2+3x+4 对于A2的任意一个含有n+3个元素的子集P, =-(x-）+e[-1.21. 必有三组C.,C,C,同属于集合P. 再将集合A2m的元素剔除n和2n后，分成如下n-1组： 当x=号时，y取最大值为空，所以m≥空 D=(j,2n-j)(1≤j≤n-1). 对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P, 因此，实数m的取值范围是[孕，+）】月 必有一组D,属于集合P. 18.解：(1)因为命题p:Hx∈B,xeA是真命题， 这一组D,与上述三组C,C,C.中至少一组无相同元素， 一3 高考数学第一轮复习第1~5期 不妨设D,与C.无相同元素。 则-4x+5-x-2)2+1 x-2 x-2 此时这4个元素之和为[u+(2n+1-u)]+[t+(2n-t)] =4n+1. =(x-2)+22, 所以集合A2的“相关数”m的最小值为n+3. 当且仅当x2,2即龙=3时，等号成立 第2期2版 所以函数f(x)有最小值2. 考题预测 4因为g,gy成等比数列， 1.C;2.D:3.C;4.D:5.A;6.D. 所以()'-(Gg, 第2期3,4版 因为x>1,y>1, 高考数学一轮总复习达标检测(2) 所以lgx>0,gy>0, 一、单项选择题 1gx+1g)≥20g00g万=7 1 ~4 CADB 5~8 CACC 提示： 即g对≥分y≥而， 1.对于(A),当a=-4,b=3时，满足a<b, 当且仅当x=y时，等号成立 但1al>1b1,故(A)错误； 5.3a +b=x(a-b)+y(a+b) 对于(B),当a=-1,b=1时，满足a<b, =(x+y)a+(y-x)b, 但日<合，故(B)错误： x+y=3, 得 「x=1, 解得{ y-x=1, ly=2, 对于(C),因为a<b<0, 所以3a+b=(a-b)+2(a+b). 所以b-a>0,a+b<0,ab>0, 所以2-g.公4.b-6+ù<0， 因为0<a-b<2,2<a+b<4, a b ab ab 所以4<2(a+b)<8, 即合<号，故(C)正确： 4<(a-b)+2(a+b)<10, 所以3a+b的取值范围是(4,10). 对于(D),因为a<b<0,所以a2>ab且ab>b2, 6.因为正实数a,b满足a+2b=1, 即a2>ab>b2,故(D)错误 故选(C). 则1=a+2h≥22d,解得山≤名 2.对于(A),当a=2,b=1时，a>b但a=b+1,必要性 当且仅当a=2b=号时，等号成立 不成立，因为a>b+1,所以a>b,故充分性成立； 7.设1AB1=x米(x>0), 对于(B),当a=-2,6=-1时，满足分>1，但a<b,故 则种植花卉区域的面积 充分性不成立； 对于(C),当a=-2,b=-1时，满足a2>b2,但a<b,故 s=-4(10-2 充分性不成立； =-2x-720+1808. 对于(D),当a>b时，由不等式的基本性质得a3>b,故 因为x>0,所以2x+7200≥21440=240. 必要性成立，反之也成立，故充分性成立 故选(A) 当且仅当2x:720,即=60时：等号成立. 3因为x≥号，所以x-2≥分>0， 则S≤-240+1808=1568， 4 高考数学第一轮复习第1~5期 即当1AB1=60米，1BC1=30米时， 当且仪当9”即y时等成立 种植花卉区域的面积取得最大值，为1568平方米. lx +y=2, 8.由正实数a,b,c满足a2-2ab+962-c=0, 所以xG+）的最大值是}，故(D)错误 得g-2+6-1≥4地， 故选(A)(B). 当且仅当号-发，即0=36时，史取得最大值子 10.对于(A),AP=mAB+nA元=mAB+3nAD, 因为B,P,D三点共线，所以m+3n=1,(A)错误； 又因为a2-2ab+962-c=0, 对于(B),因为m+3n=1, 所以此时c=12b2, 所足+6是6(2-云） 以m=方(s宁x(巴产)-古 当且仅当m=3n时，等号成立，(B)正确； 仿+2) 对于(c,是+片=（片+）m+3 =1, 7+0+只 n 当且仅当=2-，即6=1时，等号成立， ≥7+2mn 12n.m 故最大值为1. 二、多项选择题 =7+45, 9.AB;10.BD;11.CD. 当且仅当2m=”,即m=25n时，等号成立， m n 提示： 9.因为正数x,y满足x+y=2, (C)错误； 所以片+片=+)（任+）】 对于(D.m+97≥m+n:之 2 当且仅当m=3n时，等号成立，(D)正确。 =×(2++) 故选(B)(D). 11.由x+y=1,y>0,x≠0， 得y=1-x>0,则x<1且x≠0. =2, 当0<x<1时， 当且仅当x=y”即x=y=1时，第名除 1.1x1 21x+y+1=2元+2- x+y=2, 所以+的最小值是2，故(A)正确： ++2 4x y≤ )=()= 2 122+2x =4+4x 当且仅当x=y=1时，等号成立， 1 2-x.x ≥4+2V4·2x 所以xy的最大值是1，故(B)正确； 5 ()e,得+≥2， =4 当且仅当x=y=1时，等号成立， 当且仅当=2亡即号时，等号成立 所以x+y2的最小值是2，故(C)错误； 当x<0时 y+)≤（任）=(2）= 1 I xl 1 21x+y+1=-2+2-x -5 高考数学第一轮复习第1~5期 -2+2 -4x 所以2x2√4, 子+2+ 可得M≥2，当且仅当a=b=c=1时，等号成立； -+22 2-x.- ②当0<c<1时，0<1+bc<1+b, 3 4 只需考虑M≥C+6,M≥号+c, 当且仅当安=产即-2时，等号成立 所以n≥（品+6）（台+】 综上2★≥是 1 故选(C)(D). =2ax+2W 三、填空题 =4, 12.(-2,6)；13.8;14.2. 可得M≥2，当且仅当a=1,bc=1时，等号成立. 提示： 综上所述，M的最小值为2. 12.因为-2<b<1,则-1<-b<2, 四、解答题 又-1<a<4,所以-2<a-b<6. 15.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 13.设矩形的一组邻边长为a,b, 则(100-x)万元投入B产品，则 则该矩形的周长为2(a+b), 且a2+62=8. y=+8=18-0+0 5 a2+b2=(a+b)2-2ab =38-180 00-号.0<x<100 =(a+-2() (2)由(1)得，y=38-180-x x+10-5 =宁a+b只， =40- (180+x+10 x+10 5 即a+b≤2(a2+b)=4, 180 当且仅当a=b=2时，等号成立， ≤0-2V0×专严 5 所以2(a+b)≤8， =28, 即该矩形周长的最大值为8. 当组仅当190=专即x=20时，等号成立， 14设M={品+6，合+c,分+} 所以当x=20时，公司利润最大 由题得M≥+b>0,M≥ +c>0,M≥+e>0 16.(1)证明：因为a,b为正实数， ac a 所以不等式”光≤√号 a2+6 因为（品+6小e=合+c,所以 a ①当e≥1时+c≥+6>0， 价于： 2 只需考志M=。+kc,M三号+e (）些-s0. 2 4 a2+62 所越M≥+c≥}+≥2√ 当a=b时，等号成立. M≥+e≥+1=2√只 (2)解：由题意，得a2+b2=c2=4. —6 高考数学第一轮复习第1~5期 +E=22, 由(1)的结论，a+b≤2√2 ②由x+y=xy-1,得(x-1)(y-1)=2. 由①的解答可知y>1,则x>1. 当a=b=2时，等号成立 +2,石= 所以L 又a+b>c=2, 所以4<a+b+c≤2√2+2. 当日仅当，且x-y-)=2, 所以直角△ABC周长I的取值范围是 即x=y=2+1时，等号成立 {l14<1≤22+2}. 故+，的最小值为万 r a b ≥10%， 17.解：(1)由题得 。1 a+b=220, b a 所以6≤0元=10， =a+6+a+6=1. (2)因为abc=1, 所以a+b=220≤a+10a,解得a≥20. 所以原方程可化为 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. 5ax 5bx 5bcx (2)由题知0<a<b,n>0, ab +a+abe beca+c+1= +日-号=60+的-化：丹 5bx 5bcx b(b+n) b(b+n)’ 即，+++预++1+61， 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 所以1+b+c)x=1, 1+b+bc 又因为a<b,所以n(b-a)>0, 即5x=1,解得x=了 1 因此+-云>0，脚+日>合 6M=+。++2 1 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采光条件变好 了 =中。++2 1 18.解：(1)当a=0时，x+y=2≥2√xy, 得y≤1，当且仅当x=y=1时，等号成立. =1+6+1+26 故xy的最大值为1. =26+26+1 2b+3b+1 (2)①当a=1时，x+y=xy-1, b 即x(y-1)=y+1, =126+36+1 当y=1时显然不合题意，故y≠1， 1 =1- 期x=>0,则)>1或y<-1含去小 2++3 因为a>0.6>0所以2沙+方=2√w于=2万 1 则+2y=+2=1+, y1+2 =3+,2+2,-) 当且仅当6=公即6号a一：方时，等号成立 ≥3+2V20g-=7 所以26+。的最小值为2万， 1 当组仅当，名=2)-少，即，=2 此时 26* —有最大值3-22， 6+3 此时x=3时等号成立， 从而1- 1 故x+2y的最小值为7. 26+ 有最小值22-2， 6+3 高考数学第一轮复习第1~5期 即M=+。++2的最小值为2万-2 则tan20=-5,又0e(7,m）, 第3期2版 所以8：吾 考题预测 6.由定义知，不等式 1.B;2.A;3.B;4.D;5.B;6.D. 等价于2-x-(a2-a-2)≥1， 第3期3,4版 所以x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立 高考数学一轮总复习达标检测(3) 为+1=(+产= 一、单项选择题 3 1~4 BDAA 5~8 CDBC 所以G-a≤子解得-宁≤u≤子 提示： 则实数a的最大值为子 1.不等式可化为1x2+1x1-6<0,即-3<1x1<2, 7.选择用丙的方法 解得-2<x<2. 因为xy≤ax2+2y2,xe[1,2],y∈[2,3]， 2.因为关于x的不等式mx>n的解集是x|x<2}, 所以m<0,n=2m, 所以y-2≤ar2等价于y二2Y≤a. 所以(mx+n)(x-3)>0可化为m(x+2)(x-3)>0, 即(x+2)(x-3)<0,所以-2<x<3, 所以关于x的不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是 令Y=t,则te[1,3]. {x|-2<x<3. 原问题即为t-2≤a对任意t∈[1,3]恒成立， 3.由x2-a≤0，可得a≥x2, 当xe[1,2]时，(x2)m=4,所以a≥4， 因为-2-2-)°+日 即实数a的取值范围是[4，+∞). 所以当t=1时，(t-2)ms=-1. 4.p:m2-8m<0,即p:0<m<8. 所以-1≤a,即实数a的取值范围是[-1，+∞). 因为关于x的不等式x2+(m-4)x+9>0的解集为R, 8.因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0，+o), 所以4=(m-4)2-36<0, 所以f(x)=x2+ax+b=0只有一个根， 即m2-8m-20<0,解得-2<m<10. 因为m10<m<8}是{ml-2<m<10}的真子集， 即4=。46=0，则6=子 所以p是q的充分不必要条件. 又不等式f(x)<c的解集为(m,m+6), 5.设方程x2-45cos20·x+2=0的两根分别为x1,x2, 即2+a+子<c的解集为(m,m+6). 「x1+x2=45c0s20, 则有 则x2+ax+ 4 -c=0的两个根为m,m+6, 1x2=2, 设方程2x2+4sin20·x+1=0的两根分别为x3,x4, 所以1m+6-ml= 。2-44 a- -c=6, rx3+x4=-2sin20, 解得c=9. 则有 1 34=2 二、多项选择题 9.AC10.CD;11.BC. 由对偶不等式的定义可得西+无，=+华 x12 提示： 所以-2sin20=25cos20, 9.不等式[x]2-3[x]-10≤0可化简为 —8 高考数学第一轮复习第1~5期 ([x]-5)(x]+2)≤0， 三、填空题 解得-2≤[x]≤5，所以-2≤x<6, 12{x13a<x<-a};13.(-6,-25];14.[-4,+). 即x的值可以是区间[-2,6)内的任何实数， 提示： 故选(A)(C) 12.由x2-2ax-3a2<0,得(x-3a)(x+a)<0, 10.不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0可化为 因为a<0,所以3a<-a, (ax+1)(x-2a）<0. 故由(x-3a)(x+a）<0,得3a<x<-a, 当a=0时，不等式(ax+1)(x-2a)<0可化为x<0, 则不等式x2-2ax-3a2<0的解集为 不符合题意， xl 3a <x<-a. 当a<0时，不等式(ax+1)(x-2a)<0的解集中有无数 13.令f(x)=x2+(m-2)x+6-m, 个正整数解，不符合题意。 其图象的对称轴方程为x=2、严 2 当a>0时，- <0,2a>0,不等式(ax+1)(x-2a）< a 2-m>2, 2 0的解袋为。<x<2} 由题意得 f(2)>0, 由不等式(a+1)(x-2a)<0的解集中恰有3个正整数解， 4≥0， 得这3个正整数一定为1,2,3， 2-m>2, 2 则3<2a≤4，解得号<a≤2 即 4+2m-4+6-m>0, 所以a的值可以为子和2 (m-2)2-4(6-m)≥0， 解得-6<m≤-25， 故选(C)(D). 11,对于选项(A)f(1,3)=1×(1-3)=-2,f(3,1)= 即m的取值范围是(-6，-25]. 3×(1-1)=0,所以f(1,3)≠f(3,1),则(A)错误： 14.由x2-2x-3≤0解得-1≤x≤3. x2-2x-3≤0， 对于选项(B),f(a,a)=a(1-a)=a-a2=-a2-a 若不等式组{ 的解集是空集， x2+4x-(1+a)≤0 +)+子=-(a)广+子≤子则()正确： 则x2+4x-(1+a)>0在[-1,3]上恒成立. 令f(x)=x2+4x-(1+a), 对于选项(C),f(x-a,x)=(x-a)(1-x)=-x2+(a 则f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x=-2, +1)x-a≤-a+4恒成立，即x2-(a+1)x+4≥0恒成立， 所以f(x)在[-1,3]上单调递增， 则4=(a+1)2-16≤0，解得-5≤a≤3，所以实数a的取 所以要使f(x)>0在[-1,3]上恒成立， 值范围是[-5,3]，则(C)正确； 则f(-1)=-4-a>0,解得a<-4. 对于选项(D),由(C)可得x2-(a+1)x+4≥0恒成立， -2x-3≤0， 令y=-ax+x2-x+4(a>0),当x>0时，该函数看成关于 故若不等式组 的解集不是空集， +4x-(1+a)≤0 a的一次函数，此时函数单调递减，不可能恒大于0；当x=0 则实数a的取值范围是[-4，+o). 时，y=4≥0成立；当x<0时，该函数看成关于a的一次函数， 四、解答题 此时函数单调递增，当a=0时，y=2-x+4=2-x+4 15.解：(1)由题意得 1+a+1>0, 解得a≥ 9-3a+1≤0， 31 +=（x-)+>0,所以y≥0成立，综上所述实数 x的取值范围是(-0,0]，则(D)错误 故实数a的取值范围是 故选(B)(C) (2)由题意得x2+ax+1>0在R上恒成立， 高考数学第一轮复习第1~5期 则4=2-4<0，解得-2<a<2, 当组仅当m=2,且+=子 m 故实数a的取值范围是(-2,2) 即m=12,n=6时，等号成立， 16.解：(1)因为a:x2-x+1<0的解集为非空集合 此时a=18>16,符合条件，则m+4n≥36. x1b<x<2b}, 综上，当且仅当a=18时，m+4n取得最小值36. 所以方程a2-x+1=0的两个根为b,2b,且b>0,a>0. 18.解：(1)已知f(x)=ax2-(2a+1)x+2, [b+2b=a 1 ①当a=0时f(x)=-x+2>0,即x<2: 由根与系数关系得 6×2b= a ②当a≠0时f()=a(-）(x-2), 解得6=2或6=0（合 若a<0f()>0,解得。<x<2. 放6的值为子 若0<a<f)>0,解得x<2或>日 (2)关于x的不等式a2-x+1<0的解集为☑曰 若a=分()>0，解得x≠2。 关于x的不等式ax2-x+1≥0恒成立 当a=0时，不等式化为-x+1≥0，不恒成立， 若a>分时f()>0,解得x<日或x>2 a 不符合题意； 综上所述：当a<0时f(x)>0的解集为 当a≠0时， 22小： 因为关于x的一元二次不等式ax2-x+1≥0恒成立， 当a=0时，f(x)>0的解集为(-∞，2)； 所以 a>0, 当0<a<时f()>0的懈集为(-02)U(日，+x): 4=1-4a≤0， 解得a≥4 综上，实数a的取值花图是{如口≥士} 当a=子时f()>0的解集为(-0,2)U(2,+x)5 17.解：(1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a), 当a>子时f()>0的解集为(-0，日)U(2, 所以y<0,即(x-4)(x-a)<0. +∞). 当a=4时，不等式y<0的解集为0； (2)若a=1,则f(x)=x2-3x+2, 当a>4时，不等式y<0的解集为{xl4<x<a}; 当a<4时，不等式y<0的解集为x|a<x<4}. 所以5(）+3=-婴+2 (2)由题意， 令t=,原题等价于3e[1,],me[1,4, 关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的正根， 使得t2-2mt+2≤b2-2b-2恒成立， 4=a2-16a>0, 令g(m)=-2tm++2, 由韦达定理知{ m+n=a>0,解得a>16. 所以g(m)是关于m的减函数， mn=4a>0. 所以Hm∈[1,4]，g(m)≤2-2b-2恒成立， 1 m nm 即62-2b-2≥g(m)m=g(1)=t-2t+2, m+4n=4(m+4n(信+) 又3te[1,3],b2-2b-2≥t-2t+2, 即62-2b-2≥(-2t+2)mim=12-2×1+2=1, =45+0+只) 故62-2b-3=(b-3)(b+1)≥0， 因为m>0,n>0, 解得b≤-1或b≥3， 即b的取值范围为(-∞，-1]U[3,+∞). 所以+只≥2√份·元 4n.m=4, m n 19.解：(1)当m=1,n=0时f(x)=x2-x-8. 1017.(15分)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面 18.(17分)已知x>0,y>0,x+y-2=a(xy-3) 19.(17分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从 积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大， (1)当a=0时，求xy的最大值； 特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与 采光效果越好.设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am, 方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重 b m2. 2）当。-1时，求：①x+2y的最小值：②+，的最 要方法 (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2202，求这 值 1 1 所公寓的窗户面积至少为多少平方米； 例如，已知ab=1,求证1+a+1+6=1 (2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2,判断这所公寓的 ab 1 b 采光效果是否变好了，并说明理由。 证明：原式=6+2++6=146+1+6=1 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第 个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似上述问题，我们有 更多的式子满足以上特征， 请根据上述材料解答下列问题 (0已知=1，求后++的值： (2)若abc=1,解方程ab+a++bc+b+1+a+c+1 5ax 5bx =1; 高 (3)若正数a,6满是的=1，求M=十。+1十2的最小信 1 考 高考数学一轮总复习达标检 数 学 一 轮 总复习达标检 测 测 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数评橘 2025年7月8日·星期二 高考数学 第 2期总第1146期 第一轮复习 袁隆平： 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-284 稻田里的守望者 专题辅导 命题趋势 袁隆平，一位伟 大的科学家，被誉为 不等关系与基本不等式 对基本不等式√a仙≤“十b的应用一直是高考命题 2 杂交水稻之父” 他的一生都致 专题解读 的热，点，特别是利用基本不等式求最值问题.预计2026 力于解决粮食问题 年高考中，不等关系与基本不等式的考查仍是热，点和重 点之一」 在那个饥荒的年代， 四川 宾元祥 目睹百姓忍饥挨饿， 袁隆平心中立下了 所以f(1)=1,f(2)=2. 考点精析 小值，考查学生的运算求解能力， 一个坚定的信念：要 对于∫(x)>∫(x-1)+∫(x-2), 例6已知a,b∈R,且a-36+6=0,则2 让所有人远离饥饿 考点一、比较两实数的大小 令x=3,得f(3)>∫(2)+∫(1)=3， 令x=4,得f(4)>f(3)+∫(2)>5， +的最小值为 从此，他踏上了漫长 例1若a>b>0,且ab=1,则下列不等式 依次类推，得 解析：由a-3b+6=0可知a-3b=-6, 而艰辛的杂交水稻 成立的是 f(5)>f(4)+f(3)>8, 因为对于任意x,2>0恒成立， 研究之路 (A)a+ 1 <2 log2(a +b) f(6)>f(5)+f(4)>13 试验田成了他 所以2+0=2+2≥2×V2×2 的第二个家.无论烈 (B) 1 f(7)>f(6)+f(5)>21, 2是<log(a+b)<a+ f(8)>f(7)+f(6)>34, 日炎炎还是狂风暴 =2×26 1 1 、6 (C)a+<log(a+b)< f(9)>f(8)+f(7)>55, 二4 雨，总能看到他忙碌 f(10)>f(9)+f(8)>89 当且仅当 20=236, 即=3时等 的身影.一次次的失 (D)g(a+)<a+大<是 f(11)>f(10)+f(9)>144, La-3b=-6, b=1 败没有让他气馁，反 f(12)>f(11)+(10)>233 号成立 而更加激发了他的 解析：根据题意，令a=2,6=号进行验证， f(13)>f(12)+∫(11)>377， 斗志.经过无数次的 f(14)>f(13)+∫(12)>610， 故”+的最小值为子 易知a+1 b =4 1 试验和探索，他终于 ,8 f(15)>f(14)+∫(13)>987， 点评：本题主要考查利用基本不等式求最 成功培育出高产的 f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000, 5 值，考查学生的推理论证能力以及运算求解能 杂交水稻，极大地提 log:(a +b)log:2 1, 则f(20)>1000,故选(B). 高了粮食产量，为解 1 b 点评：本题以不等式为载体考查抽象函数 因此a+方>log(a+b)> 例7已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB 问题、不等式同向可加性，考查学生的逻辑推理 决全球粮食问题做 点评：本题考查不等式的应用，同时考查对 和数学运算能力 =120°，AD=2,CD=2BD.当AC1 AB 取得最小值 出了巨大贡献 数的运算。 考点三、指数、对数不等式的解法 时，BD= 袁隆平不仅有 着卓越的科学成就， 考点二、不等式的性质 例4若A={x∈Z12≤22-<8，B= 解析：如右图所示， 例2已知a,b,c∈R,b>c,则下列不等式 设CD=2BD=2m>0, 更有着令人敬仰的 {x∈RI1log2xl>1},则An(C.B)的元素 120 定成立的是 () 个数为 ( 则在△ABD中，由余弦 品德.他淡泊名利， (A)a+b2>a+c2 (B)a2+b>a2+c (A)0 (B)1(C)2 (D)3 定理得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB 生活简朴，把全部的 (C)ab2 ac2 (D)a2b>a2c 解析：由题意可知2≤22-x<23 =m2+4+2m. 精力都投入到杂交 解析：当b>c≥0时，b>c2,当c<b≤0 所以1≤2-x<3. 在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD+ 水稻事业中他心怀 时，b2<c2,所以a+b2>a+c2不一定成立，故 因为x∈Z,所以x=0,1,即A=0,1. 天下，无私奉献，即 AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m, (A)错误； 由1log2x1>1得1log2x<-1或log2x>1, 使在功成名就之后， ,4m2+4-4m 因为b>c,a2≥0，所以a2+b>a2+c成 依然奔波在田间地 立，故(B)正确； 解得0<x<方或>2， 所以4C 2 m2+4+2m =4(m2+4+2m)-12(1+m) 头，为了实现更高的 当a>0,c<b≤0时，ab2<ac2,当a<0, 即B={✉0<<分或>2 m2+4+2m 产量目标而努力， b>c≥0时，ab2<ac2,当a=0时，ab2=ac2, 这三种情况下ab2>ac2都不成立，故(C)错误； 所以A∩(CB)={0,1},其元素个数为2. 12 三4- 他是稻田里的 点评：利用指数、对数函数的单调性是解答 (m+1)+ 3 守望者，用自己的智 当a=0时，ab>ac不成立，故(D)错误 m+1 此类不等式的关键，对数函数的真数大于零、底 12 慧和汗水，书写了 故选(B). ≥4 段传奇.袁隆平的精 点评：本题主要考查不等式的性质，意在考 数大于零且不等于1是容易忽略的一个条件， 查转化与化归、分类讨论的数学思想， 考点四、利用基本不等式求最值 /(m+1)·3 m+1 神激励着我们，要有 例3已知函数f(x)的定义域为R,f(x)> 例5已知ab=1,则4a2+9b2的最小值为 =4-23, 坚定的信念，勇于追 f(x-1)+f(x-2),且当x<3时，f(x)=x,则 当且仅当m+1= 3 求梦想，为了国家和 下列结论中一定正确的是 解析：4a2+9%2≥2×2a×3b=12ab=12,当 m+1 人民的利益，无私泰 (A)f(10)>100 即m=3-1时，等号成立 献，努力拼搏 (B)f(20)>1000 当a=36即e,b或a6 Lab =1, (C)f(10)<1000 房以当伦取得最小值时，BD=m=5-1 (D)f(20)<10000 6=-后时，等号成立故4+95的最小值为2 点评：本题考查余弦定理和基本不等式，考 解析：因为当x<3时，f(x)=x, 点评：本题主要考查基本不等式求和的最 查学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力. 2 素养专练 (C)sinx-x >0 (D)e>1-x 考题预测 3.已知x>0,y>0,2x+y=2,则片+2的 ◎数理报社试题研究中心 最小值是 ( 1.下列说法正确的是 (A)1 (B)2 (A)若a>b,c>d>0,则2> b (C)4 (D)6 4.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值 (B)若a>b,则1al>1bI 为 (C)若a<b<0,则a2>ab (D)若a>6>e则片>8台 (A)25 ()空 2.已知x<-1,那么在下列不等式中，不成立 (c)空 (D) 的是 () 5图数)=子+9(：>1)的最小值 9 (A)x2-1>0 1 (B)x+ x <-2 必 17.解：(1)解不等式x2-2mx+m2-1≤0， 第1期2版参考答案 即(x-m)2≤1， 1.B;2.C;3.C;4.A;5.A;6.D; 解得m-1≤x≤m+1, 7.D;8.C;9.-1;10.[2,4);11.120. 所以B={xlm-1≤x≤m+1{. 由于p是g的必要不充分条件， 第1期3版参考答案 则B手A, 一、单项选择题 所以m-1三1·等号不同时成立， 1~4 DBDB 5 ~8 DCCA lm+1≤2， 二、多项选择题 解得0≤m≤1， 9.ABC;10.ABC;11.ACD. 因此，实数m的取值范围是[0,1] 三、填空题 (2)由Hx∈A,x2+m≥4+3x恒成立， 2.-名或1：13(-)： 得m≥-x2+3x+4,x∈[-1,2]， 令y=-x2+3x+4 14.14,2-2 -(x-2）+空e[-121 四、解答题 15.解：(1)因为a=5时，A={xlx<5}, 当x:多时，了取最大值为空， B={x11<x<6}, 所以A∩B=xI1<x<5, 所以m产空 AUB=xIx<6. 因此实数m的取值范围是[臣，+如)】 (2)由题知CRA={x|x≥a, CB={xIx≤1或x≥6， 18.解：(1)因为命题p:VxeB,x∈A是真命 因为CR4ACC.B,所以a≥6， 题，所以BCA, 故实数a的取值范围是[6，+∞). 当B=⑦时，则m+1>2m-1, 解得m<2, 16解：1)A={x3≤2≤4 rm+1≤2m-1, ={x1-1≤x≤2}， 当B≠☑时，则{m+1≥-2， 因为a+b<0,所以a<-b, 2m-1≤5， 所以B={x1(x-a)(x+b)≤0 解得2≤m≤3， ={x1a≤x≤-b}, 综上，m的取值范围是(-0,3]. 又因为A=B, (2)因为命题g:3x∈A,x∈B是假命题， 所以a=-1,b=-2. 所以A∩B=, (2)因为a+b=2, 当B=0时，m+1>2m-1, 所以B={-b≤x≤2-b} 解得m<2, 因为B是A的子集， 当B≠☑时， 所以-b≥-1且2-b≤2， 则m+1≤2m-l或m+1≤2m-1, 解得0≤b≤1， lm+1>5 2m-1<-2, 故实数b的取值范围是[0,1]· 解得m>4, 数理极 (ω号 (B)3 (c3 0号 6.已知正实数a,b满足a+b=1,则下列结论 不正确的是 () (A)V瓜有最大值方 的 +告的最小值是9 (B)1 b (c)若a>A,奥则时< (D)log2a+logb的最大值为0 参考答案见下期 综上，m的取值范围是(-0,2)U(4,+0). 19.(1)解：当n=3时，4。={1,2,3,4,5,6， .+ 4n+1=13 ①对于A6的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 因为2+3+4+5>13， 所以5不是集合A的“相关数”. ②4。的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 因为1+3+4+5=13， 所以6是集合A。的“相关数” (2)证明：考察集合An的含有n+2个元素的 子集B={n-1,n,n+1,…,2n 因为B中任意4个元素之和一定不小于 (n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2, 所以n+2一定不是集合An的“相关数”. 所以当m≤n+2时， m一定不是集合A的“相关数”. 因此若m为集合An的“相关数”， 必有m≥n+3, 即若m为集合An的“相关数”， od 必有m-n-3≥0. (3)解：由(2)得m≥n+3. 先将集合A的元素分成如下n组： C:=(i,2n+1-i)(1≤i≤n). 对于A的任意一个含有n+3个元素的子集P, 必有三组Cm,C,C,同属于集合P. 个 再将集合A,n的元素剔除n和2n后， 分成如下n-1组： D=(j,2n-j)(1≤j≤n-1) 对于Am的任意一个含有n+3个元素的子集P, 辞 必有一组D,属于集合P. 这一组D,与上述三组C,Cn,C,中至少一组无 扯 相同元素， 不妨设D,与C,无相同元素 此时这4个元素之和为 恒 [w+(2n+1-u)]+[t+(2n-)] =4n+1. 所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3. 考试范围：不等关系与基本不等式 大值时，名+名-是的最大值为 润与投资金额单位：万元).现在该公司有100万元资金，并全部投入 A,B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品. ⊙数理报社试题研究中心 (A)3 (B) (C)1 (D)0 (1)请把A,B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出x 的范围； 第I卷选择题（共58分） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 (2)在(1)的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 9.已知正数x,y满足x+y=2,则下列选项正确的是 1.对于实数a,b,下列选项正确的是 ()士+的最小值是2 (A)若a<b,则1al<|b (B)xy的最大值是1 (B)老a<6,则贴> (C)x2+y2的最小值是4 (D)x(y+1)的最大值是2 (c)若a<6<0,则哈<号 10.在△ABC中，D为边AC上一点，且满足0=DC,若P为 毫 (D)若a<b<0,则a2<ab<b2 2.下列是“a>b”的充分不必要条件的是 边BD上一点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0),则下列结论 数 高考数 正确的是 ) 学 (A)a>b+1 (B)g>1 学 (A)m+2n=1 轮 (C)a2>b2 (D)a 总 复 3.函数了()=：，5(x≥高）有 (®)am的最大值为7 x-2 习 达 (A)最大值号 (®)最小值 (C)吾+片的最小值为6+4万 (Dm2+9a的最小值为号 16.(15分)已知a,b均为正实数 (C)最大值2 (D)最小值2 一轮总复习达标检 检 4已知x>1,y>1,且gx,4,gy成等比数列，则y有 1.已知+y=1y>0x≠0，则2+)号的值可能是 1 1x1 )证期≤√： 测 (2)若一个直角△ABC的两条直角边分别为a,b,斜边c=2,求 测 ( ( 直角△ABC周长1的取值范围. (A)最小值10 (B)最小值√O (A) (c (D) 5 (C)最大值10 (D)最大值I0 5.已知0<a-b<2,2<a+b<4,则3a+b的取值范围是 ( ) 第Ⅱ卷非选择题（共92分） (A)(4,8) (B)(6,10) (C)(4,10) (D)(6,12) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 6.若正实数a,b满足a+2b=1,则当ab取最大值时，a的值是 12.若-1<a<4,-2<b<1,则a-b的取值范围是 ( 13.周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特 (a)号 (B (D) 、 8 例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角 7.某社区计划在一块空地上种植 D 形拼接成一个矩形，若这两个直角三角形的“弦”的长度为22，则 花卉，已知这块空地是面积为1800平 该矩形周长的最大值为 方米的矩形ABCD,为了方便居民观 14.定义：maxa1,a2,…,an}表示a1,a2,,an中的最大值.若 赏，在这块空地中间修了如右图所示 的三条宽度为2米的人行通道，则种 a,6.c>0.则m品+6,2+bc,号 +c}的最小值为