第1期 集合与常用逻辑用语-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

高考数学第一轮复习第1~5期 教理括 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第1~5期(2025年7月) 而由cosC>0不能推出△ABC为锐角三角形， 第1期2版 所以在△ABC中，“sin Asin B>cos Acos B”是“△ABC为 考题预测 锐角三角形”的必要不充分条件 1.B;2.C;3.C;4.A;5.A;6.D 5.由关于x的不等式f(x)=x2-ax+1<0有解， 7.D;8.C;9.-1;10.[2,4);11.120. 得4=（-a)2-4>0,解得a<-2或a>2, 所以只有(D)选项符合题意 第1期3,4版 6.结合图1可知，集合A∩B有3个元素， 高考数学一轮总复习达标检测(1)】 所以集合A∩B的真子集的个数为23-1=7. 一、单项选择题 1~4 DBDB 5~8 DCCA x2+y2=1 =lx】 提示： l.由Venn图可知阴影部分表示集合(CA)nB, 由A=x1x<-4或x≥5}， 图1 得CA=x1-4≤x<5}, 7.设A=xla≤x≤a2+1}, 则(CA)∩B={xI-3<x<5}. B={xI-2≤x≤5{. 2.因为命题p:x<-1,2-x-1<0, 若“a≤x≤a2+1”是“-2≤x≤5”的充分不必要条件， 所以p为：x<-1,2-x-1≥0. a≥-2， 则AB,则 等号不同时成立， 3.对于(A),因为集合M=1,2},所以0M,故(A)错 a2+1≤5， 误； 解得-2<a≤2. 对于(B),因为集合M={1,2},且0是一个集合，所以0 8.若集合A只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1 SM或OM,故(B)错误； 年A,5生B,即5∈A,1∈B,此时有1个有序集合对， 对于(C),因为集合M={1,2},所以集合{0,1}与集合M 同理，若集合B中只有1个元素，则集合A中只有5个元 不存在包含关系，故(C)错误； 素，有1个有序集合对； 对于(D),因为集合M={1,2},且任何集合都是它本身 若集合A中只有2个元素，则2A,4B,即4∈A,2∈ 的子集，所以{1,2}CM,故(D)正确 B,此时有4个有序集合对， 故选(D). 同理，若集合B中只有2个元素，则集合A中只有4个元 4.因为sin Asin B>cos Acos B, 素，有4个有序集合对； 所以cos(A+B)<0, 若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3 所以-cosC<0,即cosC>0. A,3B,不满足条件， 由△ABC为锐角三角形，可得cosC>0. 所以满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 高考数学第一轮复习第1~5期 1+1+4+4=10. 提示： 二、多项选择题 12.集合A={x1(m-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个 9.ABC:10.ABC:11.ACD. 子集，则集合A只有一个元素， 提示： 当m=1时，A= 有且仅有两个子集，符合题意； 9.A∩B=B等价于BCA, 若a=0,则B=☑，符合题意； 当m≠1时，4=9+8(m-)=0,此时m=-名，符合 若a≠0，则B= 2 la ,而A={1,2}, 题意。 所以名=1或2=2，解得a=2或a=, 综上m=令或m1 故选(A)(B)(C). 13.若命题“3x∈R,x2+1≤m”是假命题， 10.0={x1x<10,x∈N}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 则“Vx∈R,x2+1>m”是真命题， 结合条件画出Venn图， 又当x=0时，函数y=x2+1取得最小值1， 由图2可得A={1,3,9},B=2,3,5,8}, 所以m<1恒成立， 所以8∈B,故(A)正确； 故实数m的取值范围是(-∞，1). U 14.由题意可知，当n=3时，Un=1,2,3}. A B 1,9 13 2,5,8 当集合A中最大数为1，即A={1}时， 无满足题意的集合B; 4,6,7 图2 当集合A中最大数为2，即A={2}或A={1,2}时， 集合A中有3个元素， 只有一种满足题意的集合B=1, 所以集合A的真子集个数为2-1=7，故(B)正确； 此时“兄弟集合对”有2×1=2（对）： {9}CA,故(C)正确： 当集合A中最大数为3， C(AUB)=(CA)n(CB)={4,6,7}, 即A=3}或A={1,3}或A=2,3}或A=1,2,3}时， 所以7∈C(AUB),故(D)错误 满足题意的集合B有{1}，{2}和1,2}三种可能， 故选(A)(B)(C). 此时“兄弟集合对”有4×3=12（对）. 11.命题“Vx∈[-2,1]，ax2+2ax<1-3a”为真命题 故当n=3时，这样的“兄弟集合对”有2+12=14（对）. 等价于ax2+2ax<1-3a在x∈[-2,1]上恒成立， 若集合A中最大数为m, 即a(x2+2x+3)<1在xe[-2,1]上恒成立， 集合A的个数为{1,2,3，…，m-1}的子集个数， 因为x2+2x+3=(x+1)2+2>0, 即2m-I个， 所以a<2+2x+3 1 在x∈[-2,1]上恒成立 此时集合B的个数为{1,2,3，…，m-1}的非空子集个数， 即(2-1-1)个， 设f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2∈[2,6]， 因此这样的“兄弟集合对”有2-(2m-1-1)对， 1 .1 故当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有 结合题意，(,石) 2°×(2°-1)+2×(2-1)+…+2-1·(2-1-1) 应是正确选项的真子集。 =40+4+…+4-1-(2°+21+…+2m-1) 故选(A)(C)(D): =1×(1-4)-1×(1-2") 三、填空题 1-4 1-2 12-g或1,13.(-x,:1414,2-2 =4+2-2”(对). 3 3 —2 高考数学第一轮复习第1~5期 四、解答题 所以BCA, 15.解：(1)因为a=5时，A={x1x<5}, 当B=☑时，则m+1>2m-1,解得m<2, B={x|1<x<6}, ,m+1≤2m-1, 所以A∩B={xI1<x<5}, 当B≠⑦时，则m+1≥-2，解得2≤m≤3， A UB=xIx<6. 2m-1≤5， (2)由题知CRA=xlx≥a}, 综上，m的取值范围是(-∞，3] CB={xlx≤1或x≥6， (2)因为命题q:3x∈A,x∈B是假命题， 因为CRA CRB,所以a≥6， 所以A∩B=0, 故实数a的取值范围是[6，+∞). 当B=☑时，m+1>2m-1,解得m<2, 「m+1≤2m-1,「m+1≤2m-1, 16.解：(1)A= 当B≠0时，则 或 m+1>5 l2m-1<-2, ={x1-1≤x≤2}， 解得m>4, 因为a+b<0,所以a<-b, 综上，m的取值范围是(-o,2)U(4,+0). 所以B={xI(x-a)(x+b)≤0 19.(1)解：当n=3时，A。={1,2,3,4,5,6},4n+1=13. =x1a≤x≤-b}, ①对于A6的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 又因为A=B,所以a=-1,b=-2. 因为2+3+4+5>13， (2)因为a+b=2,所以B={-b≤x≤2-b}. 所以5不是集合A。的“相关数” 因为B是A的子集，所以-b≥-1且2-b≤2， ②A。的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 解得0≤b≤1， 因为1+3+4+5=13， 故实数b的取值范围是[0,1]. 所以6是集合A6的“相关数” 17.解：(1)解不等式x2-2mx+m2-1≤0 (2)证明：考察集合A2m的含有n+2个元素的子集 即(x-m)2≤1， B={n-1,n,n+1,…,2n. 解得m-1≤x≤m+1, 因为B中任意4个元素之和一定不小于 所以B=xlm-1≤x≤m+1}. (n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2, 由于p是q的必要不充分条件，则BA, 所以n+2一定不是集合A2.的“相关数” m-1≥-1， 所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2m的“相关数”. 所以 等号不同时成立， m+1≤2， 因此若m为集合A2.的“相关数”，必有m≥n+3. 解得0≤m≤1， 即若m为集合A2n的“相关数”，必有m-n-3≥0. 因此，实数m的取值范围是[0,1] (3)解：由(2)得m≥n+3. (2)由HxeA,x2+m≥4+3x恒成立， 先将集合A2n的元素分成如下n组： 得m≥-x2+3x+4,x∈[-1,2]， C,=(i,2n+1-i)(1≤i≤n). 令y=-x2+3x+4 对于A2的任意一个含有n+3个元素的子集P, =-(x-）+e[-1.21. 必有三组C.,C,C,同属于集合P. 再将集合A2m的元素剔除n和2n后，分成如下n-1组： 当x=号时，y取最大值为空，所以m≥空 D=(j,2n-j)(1≤j≤n-1). 对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P, 因此，实数m的取值范围是[孕，+）】月 必有一组D,属于集合P. 18.解：(1)因为命题p:Hx∈B,xeA是真命题， 这一组D,与上述三组C,C,C.中至少一组无相同元素， 一3 高考数学第一轮复习第1~5期 不妨设D,与C.无相同元素。 则-4x+5-x-2)2+1 x-2 x-2 此时这4个元素之和为[u+(2n+1-u)]+[t+(2n-t)] =4n+1. =(x-2)+22, 所以集合A2的“相关数”m的最小值为n+3. 当且仅当x2,2即龙=3时，等号成立 第2期2版 所以函数f(x)有最小值2. 考题预测 4因为g,gy成等比数列， 1.C;2.D:3.C;4.D:5.A;6.D. 所以()'-(Gg, 第2期3,4版 因为x>1,y>1, 高考数学一轮总复习达标检测(2) 所以lgx>0,gy>0, 一、单项选择题 1gx+1g)≥20g00g万=7 1 ~4 CADB 5~8 CACC 提示： 即g对≥分y≥而， 1.对于(A),当a=-4,b=3时，满足a<b, 当且仅当x=y时，等号成立 但1al>1b1,故(A)错误； 5.3a +b=x(a-b)+y(a+b) 对于(B),当a=-1,b=1时，满足a<b, =(x+y)a+(y-x)b, 但日<合，故(B)错误： x+y=3, 得 「x=1, 解得{ y-x=1, ly=2, 对于(C),因为a<b<0, 所以3a+b=(a-b)+2(a+b). 所以b-a>0,a+b<0,ab>0, 所以2-g.公4.b-6+ù<0， 因为0<a-b<2,2<a+b<4, a b ab ab 所以4<2(a+b)<8, 即合<号，故(C)正确： 4<(a-b)+2(a+b)<10, 所以3a+b的取值范围是(4,10). 对于(D),因为a<b<0,所以a2>ab且ab>b2, 6.因为正实数a,b满足a+2b=1, 即a2>ab>b2,故(D)错误 故选(C). 则1=a+2h≥22d,解得山≤名 2.对于(A),当a=2,b=1时，a>b但a=b+1,必要性 当且仅当a=2b=号时，等号成立 不成立，因为a>b+1,所以a>b,故充分性成立； 7.设1AB1=x米(x>0), 对于(B),当a=-2,6=-1时，满足分>1，但a<b,故 则种植花卉区域的面积 充分性不成立； 对于(C),当a=-2,b=-1时，满足a2>b2,但a<b,故 s=-4(10-2 充分性不成立； =-2x-720+1808. 对于(D),当a>b时，由不等式的基本性质得a3>b,故 因为x>0,所以2x+7200≥21440=240. 必要性成立，反之也成立，故充分性成立 故选(A) 当且仅当2x:720,即=60时：等号成立. 3因为x≥号，所以x-2≥分>0， 则S≤-240+1808=1568， 4 高考数学第一轮复习第1~5期 即当1AB1=60米，1BC1=30米时， 当且仪当9”即y时等成立 种植花卉区域的面积取得最大值，为1568平方米. lx +y=2, 8.由正实数a,b,c满足a2-2ab+962-c=0, 所以xG+）的最大值是}，故(D)错误 得g-2+6-1≥4地， 故选(A)(B). 当且仅当号-发，即0=36时，史取得最大值子 10.对于(A),AP=mAB+nA元=mAB+3nAD, 因为B,P,D三点共线，所以m+3n=1,(A)错误； 又因为a2-2ab+962-c=0, 对于(B),因为m+3n=1, 所以此时c=12b2, 所足+6是6(2-云） 以m=方(s宁x(巴产)-古 当且仅当m=3n时，等号成立，(B)正确； 仿+2) 对于(c,是+片=（片+）m+3 =1, 7+0+只 n 当且仅当=2-，即6=1时，等号成立， ≥7+2mn 12n.m 故最大值为1. 二、多项选择题 =7+45, 9.AB;10.BD;11.CD. 当且仅当2m=”,即m=25n时，等号成立， m n 提示： 9.因为正数x,y满足x+y=2, (C)错误； 所以片+片=+)（任+）】 对于(D.m+97≥m+n:之 2 当且仅当m=3n时，等号成立，(D)正确。 =×(2++) 故选(B)(D). 11.由x+y=1,y>0,x≠0， 得y=1-x>0,则x<1且x≠0. =2, 当0<x<1时， 当且仅当x=y”即x=y=1时，第名除 1.1x1 21x+y+1=2元+2- x+y=2, 所以+的最小值是2，故(A)正确： ++2 4x y≤ )=()= 2 122+2x =4+4x 当且仅当x=y=1时，等号成立， 1 2-x.x ≥4+2V4·2x 所以xy的最大值是1，故(B)正确； 5 ()e,得+≥2， =4 当且仅当x=y=1时，等号成立， 当且仅当=2亡即号时，等号成立 所以x+y2的最小值是2，故(C)错误； 当x<0时 y+)≤（任）=(2）= 1 I xl 1 21x+y+1=-2+2-x -5 高考数学第一轮复习第1~5期 -2+2 -4x 所以2x2√4, 子+2+ 可得M≥2，当且仅当a=b=c=1时，等号成立； -+22 2-x.- ②当0<c<1时，0<1+bc<1+b, 3 4 只需考虑M≥C+6,M≥号+c, 当且仅当安=产即-2时，等号成立 所以n≥（品+6）（台+】 综上2★≥是 1 故选(C)(D). =2ax+2W 三、填空题 =4, 12.(-2,6)；13.8;14.2. 可得M≥2，当且仅当a=1,bc=1时，等号成立. 提示： 综上所述，M的最小值为2. 12.因为-2<b<1,则-1<-b<2, 四、解答题 又-1<a<4,所以-2<a-b<6. 15.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 13.设矩形的一组邻边长为a,b, 则(100-x)万元投入B产品，则 则该矩形的周长为2(a+b), 且a2+62=8. y=+8=18-0+0 5 a2+b2=(a+b)2-2ab =38-180 00-号.0<x<100 =(a+-2() (2)由(1)得，y=38-180-x x+10-5 =宁a+b只， =40- (180+x+10 x+10 5 即a+b≤2(a2+b)=4, 180 当且仅当a=b=2时，等号成立， ≤0-2V0×专严 5 所以2(a+b)≤8， =28, 即该矩形周长的最大值为8. 当组仅当190=专即x=20时，等号成立， 14设M={品+6，合+c,分+} 所以当x=20时，公司利润最大 由题得M≥+b>0,M≥ +c>0,M≥+e>0 16.(1)证明：因为a,b为正实数， ac a 所以不等式”光≤√号 a2+6 因为（品+6小e=合+c,所以 a ①当e≥1时+c≥+6>0， 价于： 2 只需考志M=。+kc,M三号+e (）些-s0. 2 4 a2+62 所越M≥+c≥}+≥2√ 当a=b时，等号成立. M≥+e≥+1=2√只 (2)解：由题意，得a2+b2=c2=4. —6 高考数学第一轮复习第1~5期 +E=22, 由(1)的结论，a+b≤2√2 ②由x+y=xy-1,得(x-1)(y-1)=2. 由①的解答可知y>1,则x>1. 当a=b=2时，等号成立 +2,石= 所以L 又a+b>c=2, 所以4<a+b+c≤2√2+2. 当日仅当，且x-y-)=2, 所以直角△ABC周长I的取值范围是 即x=y=2+1时，等号成立 {l14<1≤22+2}. 故+，的最小值为万 r a b ≥10%， 17.解：(1)由题得 。1 a+b=220, b a 所以6≤0元=10， =a+6+a+6=1. (2)因为abc=1, 所以a+b=220≤a+10a,解得a≥20. 所以原方程可化为 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. 5ax 5bx 5bcx (2)由题知0<a<b,n>0, ab +a+abe beca+c+1= +日-号=60+的-化：丹 5bx 5bcx b(b+n) b(b+n)’ 即，+++预++1+61， 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 所以1+b+c)x=1, 1+b+bc 又因为a<b,所以n(b-a)>0, 即5x=1,解得x=了 1 因此+-云>0，脚+日>合 6M=+。++2 1 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采光条件变好 了 =中。++2 1 18.解：(1)当a=0时，x+y=2≥2√xy, 得y≤1，当且仅当x=y=1时，等号成立. =1+6+1+26 故xy的最大值为1. =26+26+1 2b+3b+1 (2)①当a=1时，x+y=xy-1, b 即x(y-1)=y+1, =126+36+1 当y=1时显然不合题意，故y≠1， 1 =1- 期x=>0,则)>1或y<-1含去小 2++3 因为a>0.6>0所以2沙+方=2√w于=2万 1 则+2y=+2=1+, y1+2 =3+,2+2,-) 当且仅当6=公即6号a一：方时，等号成立 ≥3+2V20g-=7 所以26+。的最小值为2万， 1 当组仅当，名=2)-少，即，=2 此时 26* —有最大值3-22， 6+3 此时x=3时等号成立， 从而1- 1 故x+2y的最小值为7. 26+ 有最小值22-2， 6+3 高考数学第一轮复习第1~5期 即M=+。++2的最小值为2万-2 则tan20=-5,又0e(7,m）, 第3期2版 所以8：吾 考题预测 6.由定义知，不等式 1.B;2.A;3.B;4.D;5.B;6.D. 等价于2-x-(a2-a-2)≥1， 第3期3,4版 所以x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立 高考数学一轮总复习达标检测(3) 为+1=(+产= 一、单项选择题 3 1~4 BDAA 5~8 CDBC 所以G-a≤子解得-宁≤u≤子 提示： 则实数a的最大值为子 1.不等式可化为1x2+1x1-6<0,即-3<1x1<2, 7.选择用丙的方法 解得-2<x<2. 因为xy≤ax2+2y2,xe[1,2],y∈[2,3]， 2.因为关于x的不等式mx>n的解集是x|x<2}, 所以m<0,n=2m, 所以y-2≤ar2等价于y二2Y≤a. 所以(mx+n)(x-3)>0可化为m(x+2)(x-3)>0, 即(x+2)(x-3)<0,所以-2<x<3, 所以关于x的不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是 令Y=t,则te[1,3]. {x|-2<x<3. 原问题即为t-2≤a对任意t∈[1,3]恒成立， 3.由x2-a≤0，可得a≥x2, 当xe[1,2]时，(x2)m=4,所以a≥4， 因为-2-2-)°+日 即实数a的取值范围是[4，+∞). 所以当t=1时，(t-2)ms=-1. 4.p:m2-8m<0,即p:0<m<8. 所以-1≤a,即实数a的取值范围是[-1，+∞). 因为关于x的不等式x2+(m-4)x+9>0的解集为R, 8.因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0，+o), 所以4=(m-4)2-36<0, 所以f(x)=x2+ax+b=0只有一个根， 即m2-8m-20<0,解得-2<m<10. 因为m10<m<8}是{ml-2<m<10}的真子集， 即4=。46=0，则6=子 所以p是q的充分不必要条件. 又不等式f(x)<c的解集为(m,m+6), 5.设方程x2-45cos20·x+2=0的两根分别为x1,x2, 即2+a+子<c的解集为(m,m+6). 「x1+x2=45c0s20, 则有 则x2+ax+ 4 -c=0的两个根为m,m+6, 1x2=2, 设方程2x2+4sin20·x+1=0的两根分别为x3,x4, 所以1m+6-ml= 。2-44 a- -c=6, rx3+x4=-2sin20, 解得c=9. 则有 1 34=2 二、多项选择题 9.AC10.CD;11.BC. 由对偶不等式的定义可得西+无，=+华 x12 提示： 所以-2sin20=25cos20, 9.不等式[x]2-3[x]-10≤0可化简为 —8 高考数学第一轮复习第1~5期 ([x]-5)(x]+2)≤0， 三、填空题 解得-2≤[x]≤5，所以-2≤x<6, 12{x13a<x<-a};13.(-6,-25];14.[-4,+). 即x的值可以是区间[-2,6)内的任何实数， 提示： 故选(A)(C) 12.由x2-2ax-3a2<0,得(x-3a)(x+a)<0, 10.不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0可化为 因为a<0,所以3a<-a, (ax+1)(x-2a）<0. 故由(x-3a)(x+a）<0,得3a<x<-a, 当a=0时，不等式(ax+1)(x-2a)<0可化为x<0, 则不等式x2-2ax-3a2<0的解集为 不符合题意， xl 3a <x<-a. 当a<0时，不等式(ax+1)(x-2a)<0的解集中有无数 13.令f(x)=x2+(m-2)x+6-m, 个正整数解，不符合题意。 其图象的对称轴方程为x=2、严 2 当a>0时，- <0,2a>0,不等式(ax+1)(x-2a）< a 2-m>2, 2 0的解袋为。<x<2} 由题意得 f(2)>0, 由不等式(a+1)(x-2a)<0的解集中恰有3个正整数解， 4≥0， 得这3个正整数一定为1,2,3， 2-m>2, 2 则3<2a≤4，解得号<a≤2 即 4+2m-4+6-m>0, 所以a的值可以为子和2 (m-2)2-4(6-m)≥0， 解得-6<m≤-25， 故选(C)(D). 11,对于选项(A)f(1,3)=1×(1-3)=-2,f(3,1)= 即m的取值范围是(-6，-25]. 3×(1-1)=0,所以f(1,3)≠f(3,1),则(A)错误： 14.由x2-2x-3≤0解得-1≤x≤3. x2-2x-3≤0， 对于选项(B),f(a,a)=a(1-a)=a-a2=-a2-a 若不等式组{ 的解集是空集， x2+4x-(1+a)≤0 +)+子=-(a)广+子≤子则()正确： 则x2+4x-(1+a)>0在[-1,3]上恒成立. 令f(x)=x2+4x-(1+a), 对于选项(C),f(x-a,x)=(x-a)(1-x)=-x2+(a 则f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x=-2, +1)x-a≤-a+4恒成立，即x2-(a+1)x+4≥0恒成立， 所以f(x)在[-1,3]上单调递增， 则4=(a+1)2-16≤0，解得-5≤a≤3，所以实数a的取 所以要使f(x)>0在[-1,3]上恒成立， 值范围是[-5,3]，则(C)正确； 则f(-1)=-4-a>0,解得a<-4. 对于选项(D),由(C)可得x2-(a+1)x+4≥0恒成立， -2x-3≤0， 令y=-ax+x2-x+4(a>0),当x>0时，该函数看成关于 故若不等式组 的解集不是空集， +4x-(1+a)≤0 a的一次函数，此时函数单调递减，不可能恒大于0；当x=0 则实数a的取值范围是[-4，+o). 时，y=4≥0成立；当x<0时，该函数看成关于a的一次函数， 四、解答题 此时函数单调递增，当a=0时，y=2-x+4=2-x+4 15.解：(1)由题意得 1+a+1>0, 解得a≥ 9-3a+1≤0， 31 +=（x-)+>0,所以y≥0成立，综上所述实数 x的取值范围是(-0,0]，则(D)错误 故实数a的取值范围是 故选(B)(C) (2)由题意得x2+ax+1>0在R上恒成立， 高考数学第一轮复习第1~5期 则4=2-4<0，解得-2<a<2, 当组仅当m=2,且+=子 m 故实数a的取值范围是(-2,2) 即m=12,n=6时，等号成立， 16.解：(1)因为a:x2-x+1<0的解集为非空集合 此时a=18>16,符合条件，则m+4n≥36. x1b<x<2b}, 综上，当且仅当a=18时，m+4n取得最小值36. 所以方程a2-x+1=0的两个根为b,2b,且b>0,a>0. 18.解：(1)已知f(x)=ax2-(2a+1)x+2, [b+2b=a 1 ①当a=0时f(x)=-x+2>0,即x<2: 由根与系数关系得 6×2b= a ②当a≠0时f()=a(-）(x-2), 解得6=2或6=0（合 若a<0f()>0,解得。<x<2. 放6的值为子 若0<a<f)>0,解得x<2或>日 (2)关于x的不等式a2-x+1<0的解集为☑曰 若a=分()>0，解得x≠2。 关于x的不等式ax2-x+1≥0恒成立 当a=0时，不等式化为-x+1≥0，不恒成立， 若a>分时f()>0,解得x<日或x>2 a 不符合题意； 综上所述：当a<0时f(x)>0的解集为 当a≠0时， 22小： 因为关于x的一元二次不等式ax2-x+1≥0恒成立， 当a=0时，f(x)>0的解集为(-∞，2)； 所以 a>0, 当0<a<时f()>0的懈集为(-02)U(日，+x): 4=1-4a≤0， 解得a≥4 综上，实数a的取值花图是{如口≥士} 当a=子时f()>0的解集为(-0,2)U(2,+x)5 17.解：(1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a), 当a>子时f()>0的解集为(-0，日)U(2, 所以y<0,即(x-4)(x-a)<0. +∞). 当a=4时，不等式y<0的解集为0； (2)若a=1,则f(x)=x2-3x+2, 当a>4时，不等式y<0的解集为{xl4<x<a}; 当a<4时，不等式y<0的解集为x|a<x<4}. 所以5(）+3=-婴+2 (2)由题意， 令t=,原题等价于3e[1,],me[1,4, 关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的正根， 使得t2-2mt+2≤b2-2b-2恒成立， 4=a2-16a>0, 令g(m)=-2tm++2, 由韦达定理知{ m+n=a>0,解得a>16. 所以g(m)是关于m的减函数， mn=4a>0. 所以Hm∈[1,4]，g(m)≤2-2b-2恒成立， 1 m nm 即62-2b-2≥g(m)m=g(1)=t-2t+2, m+4n=4(m+4n(信+) 又3te[1,3],b2-2b-2≥t-2t+2, 即62-2b-2≥(-2t+2)mim=12-2×1+2=1, =45+0+只) 故62-2b-3=(b-3)(b+1)≥0， 因为m>0,n>0, 解得b≤-1或b≥3， 即b的取值范围为(-∞，-1]U[3,+∞). 所以+只≥2√份·元 4n.m=4, m n 19.解：(1)当m=1,n=0时f(x)=x2-x-8. 1017.(15分)已知集合A={xl-1≤x≤2}，B={xlx2-2mx 18.(17分)已知集合A={x1-2≤x≤5，B={xIm+1≤ 19.(17分)设集合A2m={1,2,3,…,2n}(n∈N,n≥3).如果 +m2-1≤0}. x≤2m-1}. 对于A的每一个含有m(m≥4)个元素的子集P,P中必有4个元 (1)命题p:xeA,命题g:x∈B,且p是g的必要不充分条件， (1)若“命题p:Hx∈B,x∈A”是真命题，求m的取值范围： 素的和等于4n+1,则称正整数m为集合A2n的一个“相关数” 求实数m的取值范围； (2)若“命题q:3x∈A,x∈B”是假命题，求m的取值范围. (1)当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，请说明 (2)若Hx∈A,x2+m≥4+3x恒成立，求实数m的取值范围. 理由； (2)若m为集合A2n的“相关数”，证明：m-n-3≥0： (3)给定正整数n,求集合An的“相关数”m的最小值， 高考数学一轮总复习达标检 高考数学一轮总复习达标检测 测 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 数理括 2025年7月1日·星期二 高考数学 报纸发行质量反馈电话： 第 期总第1145期 0351-5271248 第一轮复习 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-284 高考数学编辑计划 专题辅导 第1期集合与常用逻 命题趋势 辑用语 第2期 不等关系与基 集合与常用逻辑用语 1.集合主要考查集合的概念、集合中元素的基本特征、元素与集合、集合与 本不等式 集合之间的关系，同时以集合为载体考查不等式的解法、求参等问题 第3期 二次不等 专题解速 2.对于全称量词命题与存在量词命题的考查有判断含有全称量词与存在量 式及其解法 第4期函数及其表 词命题的真假以及全称量词命题与存在量词命题的否定 示、函数的基本性质 湖南周寒辉 3.对于充分条件和必要条件的考题要从集合与逻辑的思想去分析，要求学 第5期基本初等函数 生知识面要广，题型多以选择题出现 (幂、指、对数函数)、函 是金金 数与方程 2a-2,若A二B,则a= 讨论思想的应用 第6期 导数的概念与 考点精析 运算 (A)2 (B)1 考点二、充分条件与必要条件 第7期导数在研究函 考点一、集合及其相关运算 (c)号 (D)-1 例7设a,beR,则“a3=b3”是“3=3” 数中的应用 例1设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足 的 第8期 函数与导数综 解析：依题意，有a-2=0或2a-2=0. CmM={1,3,则 当a-2=0时，解得a=2, (A)充分不必要条件 第9期三角函数的概 (A)2∈M (B)3∈M 此时A={0,-2},B={1,0,2}, (B)必要不充分条件 念、公式及三角恒等变 (C)4主M (D)5主M 不满足ACB; (C)充要条件 换 解析：由题知M=2,4,5},对比选项知 当2a-2=0时，解得a=1, (D)既不充分也不必要条件 第10期三角函数的 (A)正确，(B)(C)(D)错误 此时A=10,-1,B={-1,0,1, 解析：由函数y=x3单调递增可知， 图象与性质 故选(A) 满足ACB. 若a3=b3,则a=b: 第11期平面向量与 点评：本题考查补集运算，元素与集合的关 所以a=1,故选(B) 由函数y=3”单调递增可知 解三角形 第12期复数与三角 系，考查学生的转化能力 点评：本题主要考查集合的包含关系，解题 若3”=3，则a=b 函数、解三角形、平面向 例2已知集合A={xI-5<x3<5},B= 关键是注意分类讨论思想的运用，同时要注意 故“a3=b3”是“3=36”的充要条件， 量综合 -3,-1,0,2,3},则A∩B= 集合中元素的互异性，考查计算能力 故选(C). 第13期数列的概念 (A){-1,0} (B){2,3} 例6已知集合A={(x,y)1x2+y2≤1，x, 点评：本题主要考查充分必要条件的判断 等差与等比数列 (C){-3,-1,0} (D){-1,0,2 yeZ},B={(x,y)1|x|≤2，Iy|≤2，x,y∈ 考查的核心素养是逻辑推理与数学运算。 第14期数列综合问 解析：因为A=x1-5<x3<5} Z,定义集合A①B={(x+,+2)川(x1, 例8已知向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 题（数列求和、递推数列 等) ={x1-5<x<5, y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A①B中元素的个数 第15期空间几何体 B={-3,-1,0,2,3}, 为 ( (A)“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 及点、线、面位置关系 所以A∩B={-1,0}, (A)77(B)49 (C)45 (D)30 (B)“x=-3”是“a∥b”的必要条件 第16期空间向量与 故选(A). 解析：A={(x,y)1x2+y2≤1，x,y∈Z (C)“x=0”是“a⊥b”的充分条件 立体几何 点评：本题考查集合的交运算和三次不等 (D)“x=-1+√3”是“a∥b”的充分条件 第17期直线与方程 ={(x,y)1x=±1，y=0;或x=0,y=±1；或 式的解法，意在考查学生的计算能力 第18期圆的方程及 x=0,y=0}, 解析：a1b曰x2+x+2x=0 点、线、圆的位置关系 例3设集合U=R,集合M={xIx<1{, B={(x,y)1川x|≤2，Iyl≤2，x,y∈Z 台x=0或x=-3, 第19期 椭圆及其性 N={x1-1<x<2},则{xx≥2= ={(x,y)1x=-2,-1,0,1,2y=-2,-1,0, 所以x=-3是a⊥b的充分条件， ( )1,2}, x=0是a1b的充分条件， 第20期 双曲线及其 (A)C(MUN) (B)NUCM A⊕B表示点集 故(A)错误，(C)正确. 性质 (C)C(MnN) (D)MUCN 由x1=-1,0,1,x3=-2,-1,0,1,2,得x 1∥b2x+2=x曰x2-2x-2=0 第21期抛物线及其 解析：MUN={xlx<2, 性质 +x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共7种取值可能 曰x=1±3 所以C(MUN)={x1x≥2， 第22期解析几何 同理，由y1=-1,0,1,2=-2,-1,0,1,2,得 故(B)(D)错误 第23期计数原理、排 故选(A). y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共7种取值可 点评：本题将向量和常用逻辑用语结合，通 列组合、二项式定理 点评：本题考查集合的交、并、补运算，已知 能 过向量的垂直、平行的判定考查充要条件，考查 第24期概率、离散型 集合的运算结果，求运算过程，设问角度新颖。 当x1+x2=-3或3时，y1+2可以为-2， 学生的运算求解能力 随机变量及其分布列 例4已知集合A={1,2,3,4,5,9},B= -1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点， 例9设甲：sin2+sin2B=1,乙：sina+ 第25期统计与统计 xI√E∈A},则C,(A∩B)= 当x1+x2=-2,-1,0,1,2时，y1+y2可以 cosB=0,则 案例 (A){1,4,9 (B){3,4,9 为-3，-2，-1,0,1,2,3中的一个值，分别构成 第26期第-轮综合复 (A)甲是乙的充分条件但不是必要条件 (C){1,2,3} (D){2,3,5 7个不同的点， (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件 第2744期：专顶提分 解析：B={1,4,9,16,25,81}, 故A⊕B共有5×2+5×7=45（个）元素 (C)甲是乙的充要条件 (合刊) AnB=11,4,91, 故选(C). (D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必 第4552期：满分冲刺 则C4(AnB)={2,3,5. 点评：本题考查集合的表示方法，集合中元要条件 合刊) 故选(D) 素的性质和列举法.本题在集合知识的基础上， 解析：甲等价于sin2a=1-sin2B=cos2B, 点评：本题主要考查集合的运算，考查运算 以信息题的形式命题，考查了知识迁移能力及 等价于sina=±cosB,所以由甲不能推导出 求解能力， 分析问题、解决问题的能力，在确定集合A①B sina+cosB=0,所以甲不是乙的充分条件； 例5设集合A={0,-a},B={1,a-2, 中的元素个数时，考查了数据处理能力及分类 (下转第2版) 2 素养专练 数理极 (上接第1版) 7},若MCACN,则满足集合A的个数为( 考题预测 由sina+cosB=0,得sin=-cosB,平方 (A)4 (B)6 可得sin2=cos2B=1-sin2B,即sin2a+sinB (C)7 (D)8 =1,所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要 ⊙数理报社试题研究中心 7.已知幂函数f(x)=x“(m,n∈Z),则下列 条件 1.已知集合A={x1川x-21≤4}，集合B= 能成为“∫(x)是R上的奇函数”的充分条件的是 故选(B). x1y=lg(x-1)},则A∩B= ( ) ( 点评：本题主要考查充分必要条件的判断， (A)[1,6 (B)(1,6] (A)m=-3,n=1 (B)m=1,n=2 同角三角函数的基本关系等，考查的核心素养是 尔 (C)[0,6] (D)(0,6] (C)m=2,n=3 (D)m=1,n=3 逻辑推理与数学运算. 2.若集合A={xy=√x-I{,B=yly= 8.下列命题中错误的是 考点三、全称量词与存在量词 /x-I{,则下列选项正确的是 例10已知命题p:“3xeR,e-x-1 (A)“若x+y=受，则sinx=cosy广的逆命题 (A)A=B (B)A∩B=O 0”,则p为 是假命题 (C)A∩B=A (D)AUB=A (A)3x∈R,e-x-1≥0 3.设全集U=R,集合A={x1x(x-2)<0{, (B)“在△ABC中，sinB>sinC是B>C的充 (B)3x∈R,e-x-1>0 B={x|x<a,若A与B的关系如下图所示，则实 要条件”是真命题 此儿专条卫（令）。87 (C)Hx∈R,e-x-1>0 数a的取值范围是 (C)设平面向量a,b,c均为非零向量，则“a (D)Hx∈R,e-x-1≥0 S U (b-c)=0”是“b=c”的充分不必要条件 解析：存在量词命题的否定是全称量词命 (D)命题“Vx∈(0，+0)，x-lnx>0”的否 题，所以p:Hx∈R,e-x-1>0. 定是“3x∈(0，+o),x-lnx≤0” 故选(C) 点评：本题考查全称量词命题与存在量词命 (A)[0,+∞) (B)(0,+) 9已知a,6ek,若{a,名1=d,a+6, 题的否定形式，考查学生对基础知识的掌握情 (C)[2,+∞) (D)(2,+∞) 0},则a2025+b2025= 况. 4.已知集合A={-1,3,6},B={6,x,若10.已知集合A={x∈Z1x2-4x-5<0, S(4) 例11已知命题p:Hx∈R,1x+11>1;命 AUB=A,则实数x的值为 ()B={x14>2m},若AnB中有三个元素，则实 题q:3x>0,x3=x.则 (A)-1或3 (B)-1 数m的取值范围是 (A)p和q都是真命题 (C)3 (D)-1或3或6 11.某小学对小学生的课外活动进行了调查 (B)p和g都是真命题 (2.251(4 5.已知a,b∈R,则“a>b>2”是“a-2>调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加 (C)p和-g都是真命题 b-21”的 唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有 = (D)p和g都是真命题 (A)充分不必要条件 47人，三种课外活动都参加的有24人，选择两种课 解析：因为Hx∈R,Ix+11≥0， (B)必要不充分条件 外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活 所以命题p为假命题，所以一p为真命题 一) (C)充要条件 动的有15人.接受调查的小学生共有 人. A(8) 因为x3=x,所以x3-x=0, (D)既不充分也不必要条件 所以x(x2-1)=0,即x(x+1)(x-1)=0 6.已知集合M={1,2,3,N=10,1,2,3,4, 参考答案见下期 解得x=-1或x=0或x=1, 所以x>0,使得x3=x, 8+N) 所以命题g为真命题，所以一g为假命题， d 所以一p和q都是真命题， 故选(B) 点评：本题考查全称量词命题与存在量词命 题的真假判断、命题的否定，考查逻辑思维能力 ©本报编辑部 例12已知命题p:“Hx∈R,ax2+2x+3≥ 走进高三，战鼓已擂响！面对这场人生大考，一道题都要亲手破解。高考考场上，精准度和熟练 0”是真命题，求实数a的取值范围； 请牢记以下七条决胜法则： 度才是硬道理。 解析：命题p为真命题， 一、坚持即胜利 五、心态即战力 即ax2+2x+3≥0在R上恒成立. 成功无捷径，唯有死磕到底！成馈起伏时请记 莫为单次考分患得患失.把每次考试当作诊断 ①当a=0时，不等式为2x+3≥0， 住：你的对手同样在挣扎.咬牙挺过瓶颈期的人，才 工具—强化优势，修补漏洞.保持从容，你才能跑 显然不能恒成立； 能笑到最后 完这场马拉松 ②当a≠0时，由不等式恒成立可知 二、时间即未来 六、当下即战场 fa>0, 抢时间就是抢机会.科学规划每日节奏一一学 伟大哲学家奥修说：“人的一生是发现自已的 生.”当你迷茫时，就把眼前的高考当作唯一使 4=22-4×a×3≤0， 习、锻炼、饮食、睡眠需形成黄金配比.在正确的时 命.全情投入的过程，自会照亮前路 fa>0, 间做正确的事，效率翻倍， 即，、1所以a≥3 1 七、敢问即捷径 三、笔尖出奇迹 a≥3 “为什么”三字是破题神器！卡壳时立即求助 好记性敌不过烂笔头.课堂重点、错题盲点、解」 老师同学的指点往往能点石成金.爱因斯坦说过： 综上，实数a的取值范围是[号，+)月 题灵感，统统记入专属笔记本.日积月累，知识盲区 提出一个问题往往比解决一个问题更重要， 将无处遁形 同学们，高考不是终点，而是证明自我的战场. 点评：本题考查已知含量词命题的真假求参 四、实战定乾坤 握紧这七把利剑，从此刻起全速冲锋.你流的每滴 数的问题，同时考查了分类讨论思想的应用. 数学无速成，唯手熟尔！拒绝“眼高手低”，每汗，都会化作六月的星光！ 8.已知非空集合A,B满足以下两个条件： 第I卷选择题（共58分） (i)AUB={1,2,3,4,5,6},A∩B=0; 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 (i)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元 1.已知全集U=R,集合A={xIx<-4或x≥5}，B={x 素，则有序集合对(A,B)的个数为 ( -3<x<10},那么阴影部分表示的集合为 (A)10 (B)12 (C)14 (D)16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知集合A={xlx2-3x+2=0,B={x1a-2=0}, 若A∩B=B,则实数a的值可能为 ( 高 高 考 (A){x1x≤-3或x>5 (A)0 (B)1 考 数 (B){xIx<-3或x≥5} (C)2 (D)3 数 学 (C){xI-3≤x≤5 10.已知全集U={x1x<10,x∈N,},ACU,BCU,An 学 轮 (D){x1-3<x<5 (CB)=1,9,AnB={3,(CA)n(CB)={4,6,7,则下列 轮 总 2.已知命题p:3x<-1,2-x-1<0,则p为 选项正确的有 ( 总 最 16(15分)设集合4={✉方≤2≤4}，B=112+6- 习 (A)Hx≥-1,2-x-1≥0 (A)8∈B (B)集合A的真子集个数为7 a)x-ab≤0} 复习 达 (C)9CA (D)7 C(AUB) (B)Hx<-1,2x-x-1≥0 (1)若A=B且a+b<0,求实数a,b的值； 达 标 11.使得命题“Hx∈[-2,1]，ax2+2ax<1-3a”为真命题的 标 检 (C)3x<-1,2-x-1≥0 (2)若B是4A的子集，且a+b=2,求实数b的取值范围. 测 必要不充分条件是 检 (D)3x≥-1,2-x-1≥0 测 3.已知集合M={x∈N,-1≤x≤2}，则下列关系中，正确 (A)as (B)a<6 (C)a≤3 (D)a< 的是 (A)0∈M (B)☑∈M 第Ⅱ卷非选择题（共92分) (C)0,1}CM (D){1,2cM 4.在△ABC中，“sin Asin B>cos Acos B”是“△ABC为锐角三 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 角形”的 ( 12.已知集合A={x1(m-1)x2+3x-2=0有且仅有两个 (A)充分不必要条件 子集，则实数m= (B)必要不充分条件 13.若命题“3x∈R,x2+1≤m”是假命题，则实数m的取值范 (C)充分必要条件 围是 (D)既不充分也不必要条件 14.若集合Un={1,2,3,…,n,n∈N,A,BCUn,且满足集合 5.设f(x)=x2-ax+1(x∈R),则关于x的不等式f(x)<0 A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对(A,B)为“兄 有解的一个必要不充分条件是 ( 弟集合对”.当n=3时，这样的“兄弟集合对”有对；当 (A)-2<a<0 (B)a<-2或a>2 n≥3时，这样的“兄弟集合对”有对.（用含有n的表达式 (C)1al>3 (D)1a|≥2 作答)