第5期 直线与圆 核心素养综合测评-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

一磊 直线与圆核心素养综合测评 ◆数理报社试题研究中心 第I卷选择题 （共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知圆C:x2+y2+mx+1=0的面积为π，则m= 斯 (A)±2 (B)±22 (C)±42 (D)±8 2.若直线1过点(-1，-1)和(2,5)，且点(1013，b)在直线1上，则b的值为 (A)2027 (B)2026 (C)2025 (D)2024 3.直线ax+y+3a-1=0恒过定点N,则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程 为 (A)2x+3y-12=0 (B)2x+3y+12=0 (C)2x-3y+12=0 (D)2x-3y-12=0 4.若k∈{-2.0，号，3}，方程+y2+(k-1)+2y+k=0不表示圆，则6的取值集 合中元素的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.过点P(-2,0)作直线1交圆C:x2+y2=1于点M,N,若PM=MN,则点M的横坐标是 ( (A)- 7 (B)- 79 c~品 (D) 6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳 鱼太极图”.如图1是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或 半圆，已知点P(x,)是阴影部分（包括边界）的动点，则，’2的最小值为 ( 图 (A) 23 (B)- 3-2 (D)-1 7.已知圆0：x2+y2=4,圆C与一条坐标轴相切，圆心在直线x-y+7=0上.若圆C与圆 0相切，则满足条件的圆C有 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8.过点A(-6,-8)的直线1与圆C:x2+y2=9相交于不同的两点M,N,则线段MW的中 点P的轨迹是 (A)一个半径为10的圆的一部分 (B)一个焦距为10的椭圆的一部分 (C)一条过原点的线段 (D)一个半径为5的圆的一部分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知直线1：x-ay+1=0(a∈R),则下列说法正确的是 ( (A)直线1过定点(-1,0) (B)直线1一定不与坐标轴垂直 (C)直线l与直线'：-x+ay+m=0(m∈R)一定平行 (D)直线l与直线'：ax+y+m=0(meR)一定垂直 10.已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),且点P是圆M:x2+y2=4上的一个动点， 则IPA12+1PB12+IPCI2的值可以是 () (A)66 (B)79 (C)86 (D)89 11.1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重 心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知△ABC的顶点B(-1,0), C(0,2),重心6（石，子），则下列说法正确的是 ( (A)点A的坐标为（号，0） (B)△ABC为等边三角形 (C)欧拉线方程为2x+4y-3=0 (D)△ABC外接园的方程为(x-4)厂°+(-冬)广=盟 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值范围是 13.已知直线l的倾斜角为135°，直线11经过点A(3,2),B(a,-1),且与l垂直，直线l2:2x +by+1=0与直线l1平行，则a+b= 14.已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=(r1>0),圆C2:(x+1)2+(y+1)2=(r2>0), 圆C,与圆C2相切，并且两圆的一条公切线的斜率为7，则2为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（13分)一根铁棒在40℃时长12.506m,在80℃时长12.512m.已知长度1（单位：m) 和温度（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出 这根铁棒在100℃时的长度. 16.(15分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0): (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 17.(15分)如图2，台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向（北偏东45）移动， 离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的 平面直角坐标系，解决以下问题： (1)求台风，中心移动路径所在的直线方程； (2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时？ B 图2 18.(17分)如图3所示，已知圆C经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线1：x-y+ 1=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程 图3 19.(17分)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概 念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标 系中，曲线C:x2+y2=|x|+|y1就是一条形状优美的曲线， (1)求曲线C围成的图形的周长； (2)求曲线C围成的图形的面积； (3)若P(m,n)是曲线C上任意一点，求13m+4n-121的最小值 脚 些 擗 参考答案见下期高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期(2025年8月) 5.设M(m,n),故有m2+n2=1,即n2=1-m2, 第5期参考答案 由Pi=M,则点M为PN中点， 直线与圆核心素养综合测评 故N(2+2m,2n),故有(2+2m)2+(2n)2=1, 一、单项选择题 即有(2+2m)2+4(1-m2)=1, 1 ~4 BABA 5~8 ACDD 提示： 整理得8咖+8=1，即m=一子 1.因为圆C:x2+y2+mx+1=0, 6记A(2,0),则k=亡2为直线AP的斜率。 即(+受广+=1 故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时， 5=㎡=（买-1m=,解得m=±22 得k最小，此时设APy=k(x-2),故-1-2=1， +1 2由直线的问点式方程得直线！的方截为出 解得k=- 号或k=0(含去)，即k。=-号 3 2骨即y=2x+1 7.当圆C与x轴相切时， 设圆心C(a,a+7),半径r=1a+71, 将点(1013，b)代入方程得b=2×1013+1. 故√a+(a+7)7=2+la+71, 解得b=2027. 即a2-4=41a+71,解得a=-4或a=8, 3.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0, 所以圆C的方程(x+4)2+(y-3)2=9或(x-8)2+(y 令+3=0可得E=-3y=1,所以N0-3,1. -15)2=225; y-1=0, 当圆C与y轴相切时，设圆心C(a,a+7),半径r=1al, 设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+ 故/a+(a+7)7=2+lal, 3y+c=0(c≠-6)， 即(a+7)2=4+4|al,解得a=-3或a=-15, 则=6+3-6L=1-6+3+c1 所以圆C的方程为(x+3)2+(y-4)2=9或(x+15)2+ /4+9 W4+9 (y+8)2=225, 解得c=12或c=-6(舍去)， 则满足条件的圆C有4个. 所以所求直线方程为2x+3y+12=0. 4.方程x2+y2+(k-1)x+2y+k=0表示圆的条件为 8.设P(x,y),根据线段MW的中点为P, 则CP⊥MN,即CP⊥AP,所以CP.AP=0, (k-1)2+(2k)2-4k>0, 又Ad=(x+6,y+8),C2=(x,y), 即5张-6+1>0，解得k>1或k<行， 所以x(x+6)+y(y+8)=0, 又知该方程不表示圆，所以：的取值范围为≤k≤1， 即(x+3)2+(y+4)2=25, 所以点P的轨迹是以(-3，-4)为圆心，半径为5的圆在 又因为ke{-2,0,号，3} 圆C内的一部分.故选：(D). 二、多项选择题 所以满足条件的k=5 4 9.AD;10.BC;11.ACD. 提示： 即k的取值集合为{号}故选(A)。 9.l:x-ay+1=0(aeR)整理为ay=x+1, 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 恒过定点(-1,0)，故(A)正确； 所以△ABC外接圆的方程为(-冬）+(-各) 当a=0时，直线l与x轴垂直，故(B)错误： 当m=-1时，两直线重合，故(C)错误； ,故(D)正确， 125 因为1×a+1×(-a)=0,故直线l与直线'一定垂直， 故选(A)(C)(D) 故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(D) 10.依题意设P(2cos0,2sin0), 2(-点)：B-2:4器 则1PA12=(2cos0+2)2+(2sin0+2)2 提示： =12+8cos0+8sin0, 12因为点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部， 1PB12=(2cos0+2)2+(2sin0-6)2 =44+8cos0-24sin0, 所以(5a+1-1)2+(12a)2<1,即d<1 1PC12=(2cos0-4)2+(2sin0+2)2 =24-16cos0+8sin0, 解得ae(方) 所以1PA12+lPB12+lPC12=80-8sim0, 13.依题意知直线l的斜率为k=tan135°=-1， 又sin0∈[-1,1]，则80-8sin0∈[72,88]. 则直线4的斜率为1，于是有写日=1， 故选(B)(C) 所以a=0.又直线b2与l1平行， 11.设A(x,y), r1=x+(-1)+0 所以1=-名，即6=-2.所以a+6=-2 6 3 由重心坐标公式 14根据题意作出图1，AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 3 =y+0+2 3 x= 解得 2’ y=0, 所以4（号0），放(A)正确： 图1 1AB1=AC1=,1BC1=5, C(2,2),C2(-1,-1),所以直线CC2的斜率k=1,显然 所以△ABC不是等边三角形，故(B)错误； 与直线AB的斜率不相同，所以1≠t2: IABI=IACI,△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC 不妨设0<1<2 的垂直平分线上，线段BC的中点的坐标为(-子，1），线段 过C1作AB的平行线交AC2于点E, 则EC2=r2-r1,AB=EC1且AB∥EC1, BC所在直线的斜率c=0-（-I 2-0 =2,线段BC垂直平分线 C,C2=√(2+1)2+(2+1)=32=1+r2: ① 的方程为y-1=(+分) 所以直线AB与直线C,C2的夹角的正切值为： 即2x+4y-3=0,△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3= tan o= 引 0,故(C)正确； 1 因为线段B的垂直平分线方程为x=4,△4BC的外心 M为线段BC的垂直平分线与线段AB的垂直平分线的交点， 所以EC=号-)， 2x+4y-3=0, 又EC+EC=C,C,整理得 所以交点M的坐标满足 1 4 [g-n)]+-n)2=18, 解得M(子，名），外接圆半径r=MB1 解得-1=92 5 ② 任+)+()-√ 522 联立①2，得万=32 51 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以2= 5 5 直线AB的斜率为k=,21=-3, 2-1 四、解答题 放线段4B的垂直平分线方程为y=子+(：-名》， 15.解：依题意，设l与t的关系式为：l=t+b,k,b是常数， 即x-3y-3=0. 12.506=40k+b. k=0.00015 于是得 解得 12.512=80k+b, b=12.5. 由-3y-3=0解得=-3则(-3，-2) x-y+1=0, y=-2. 则所求直线的方程为1=0.00015t+12.5, 半径r=1AC1=√(1+3)2+(1+2)7=5， 当t=100时，l=12.515m. 16解：(1)设Q(x,y）.由已知得kww=3, 所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设M的坐标为(x,y),Q(x',y), 又PQ上MN,可得k·kw=-1, 即之3×31 =t5 ① 2 得 x'=2x-5, 由M是线段PQ的中点，有 ly'=2y, 由已知得kpv=-2,又PN∥MQ,可得kw=ko, (=+0 2 出=2 ② 又因为Q(x',y)是圆C上的动点， 所以(x'+3)2+(y'+2)2=25, 联立①②，解得x=0,y=1,即Q(0,1). 即(2-5+3)2+(2y+2)2=25, (2)设Q(x',0). 因为∠NQP=∠NPQ,所以ko=-kp 整理得(：-)+(+1)产=空 又22-2， 则线段P0中点M的轨迹方程是(x-1)严+6+1)炉=空 所以22=2.即=1，所以01,0. 19.解：当x≥0，y≥0时， 又因为M(1,-1),所以MQ垂直于x轴. 曲线c的方程可化为(x-之)+(-分）= 所以直线MQ的倾斜角为90. 当x≤0，y≥0时， 17.解：(1)以B为原点，正东方向为x轴正方向建立如图2 曲线c的方程可化为(：+宁)广+(-号)= 所示的直角坐标系，则A地的坐标是(-400,0)，台风中心移动 路径所在直线的斜率k=1,所以台风中心移动路径所在的直 当x≥0，y≤0时， 线方程为y=x+400. 曲线c的方程可化为：-号)广+(+分)广=名 当x≤0，y≤0时， 曲线C的方程可化为(x+分)+(+分)=子： B 作出曲线C的图象（如图3）. 图2 (2)以B为圆心，300千米为半径作圆， 和直线y=x+400相交于A1,A2两点. 设台风中心移到A,时，城市B开始受台风影响（危险区）， 直到A2时，解除影响。 图3 因为点B到直线y=x+400的距离d=2002(千米)， (少由图可知，曲线C是四个半径为号的半调图成的图形， 所以1A421=2√300-(2002)2=200（千米）. 即曲线C围成的图形的周长是 而贺=0小时. 1 4×2×2×π×2 ·=22m. 所以城市B处于危险区城的时间是10小时. 18.解：(1)因为A(1,1)和B(2,-2), (2)曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2 的正方形的面积之和， 所以线段4B的中点坐标为（号，-）》： 从而曲线C所围成图形的面积为 3 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 4×7m×7+(52=2+m 放线段AB的中点坐标为(-号，) (3)因为P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离为 d=L3m+4n-12l=3m+4n-121 第6期3,4版参考答案 32+4 5 椭圆同步核心素养测评（一） 所以13m+4n-12|=5d. 一、单项选择题 当d最小时，易知P(m,n)在曲线C的第一象限内的图象上， 1~4 CCBD 5~8 ABDD 因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为（行，），半 提示： 径为号的半国，所以圆心（宁方）到3x+4-2=0的距离 2.椭圆方程化为标准形式后，可以得。2=1，尽=8， 1 1 所以c2=a2-6=名」 8,则c=4 4 3× -+4× 2 、2-12 17 √32+42 10 又焦点在：箱上，所以焦点坐标为（±0小 从而d。=d'-5-17-52 3.因为椭圆的右焦点坐标是(1,0)， 2 10 即13m+4n-121=17-,52 所以右熊点到直线y-厅：的距离d- 2 椭圆+。=1的长轴长为5×2=10，短轴长 第6期1版参考答案 专项小练一 3=6,焦距为2V2历-9=8，商心率为号， LB:2.ABD:3.D.41或-1；5.关+ 桃国5+与六-1(<9妙的长销长为2因可， 2 6.解：以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴， 短轴长为29-k, 建立平面直角坐标系 因为点M为△ABC的重心， 焦距为225-)-(9-百=8，离心率为25 所以1MB11MC1=子×39=26>1BC1=24 所以两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离 心率也不相等.故选(D) 根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B,C为焦点的椭圆， 所以a=13,c=12,则b=5. 5由后+号=1(0>3)可得 m 放△AC重心M的箱达方程为后+若-1G≠0， a2=m,b2=3,c2=m-3. 即a=m,b=5,c=√m-3. 专项小练二 因为椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3， 1c:2.D:3.R48:5若+号=1 所以a+c=√m+√m-3=3, 6.解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上， 解得m=4,所以椭圆的离心率为后=： m 2 其中c=22,a=3,从而b=1, 2 6.因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0),所以b=2, 所以其标准方程是号 +y2=1. 21 r x" 联立方程组 9 +y2=1, 消去y, y=x+2, 所议。：2反，所以精圆C的际在办程为号+号=1 得10x2+36x+27=0. 7.依题意，顶点A到B,C两点的距离和为 设A(x1y),B(x22),线段AB的中点为M(x,y), I ABI+I ACI =16 >I BCI =2, 那么与+5一受 所以顶点A的轨迹是椭圆除去B,C两点， 故2a=16,c=1. 即x0= =-号所以%=+2 2 5 所以顶点A的轨连方程为后+后=1(：子0》 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 8.由题可得圆B的圆心为B(3,0),半径为R=10, 提示： 设动圆的圆心为C,半径为t, 12.在椭圆兰+ 36+20=1中，a2=36→a=6, 由圆C在圆B的内部与其相切，则R-r=CB, 由圆C过点A,则R-CA=CB,即10=CA+CB, 记兴圆气+茹=1的左点为只，右燕点为人， 所以动点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆， 则IPF2I=5, 则4=5，c=14B=3,b=匠-c=4, 2 由椭圆的定义可知1PF1I+PF2I=2a=12, 所以其轨迹方程为茶+云=1 + 所以1PFI=12-5=7. 13.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆短轴的一个端 二、多项选择题 点为B,如图1，已知△BFF2是正三角形，可得b=√3c 9.CD;10.BD:11.ABD. 提示： 9.由2c=2,则c=1. 过点F的弦长最小值为2少≥2， a 即62≥a,即有a2-c2≥a,即a2-a-1≥0， 图1 部得0≥5出或a气1≥5（合. 2 rb 3c, ra=23, e=c 由{a-c=3,解得{b=3, ≤5+ 一=5-1故选(C)(D) a2=b2+c2, c=5. 2 10.a2=8,62=4,所以2=8-4=4. 所以椭圆的标准方程是 12 所以a=22,b=2,c=2,e=无=2 14.设圆柱的底面半径为r,依题意知， 2 最长母线与最短母线所在截面如图2所示. 焦距2c=4,IMF11+lMF21=2a=42, 当M为短轴的端点时△MF,F2的面积取得最大值， 是F,R1b=bc=4故选(B)(D). 山.由(35)&三22，得号=3-5 2 B 解得e=台=5，()正确 图2 所以DE=AB=2r, 由(5-1)a2=262,得(5-1)a2=2(a2-2), 整理得(3-√5)a2=2c2, 从而c0=5=2, 即后-35解得e=÷=5()正确： 因此在椭圆中长轴长2a=22r, 短轴长2b=2r, 由(2-5)a2-2=2c2,得(2-5)a2-(a2-c2)=2c2, 所以2=a2-}=2-2=2→C=r, 整理得(1-√5)a2=c2,无解，(C)错误； 由(3-5)62=(5-1)c2, 所以e=台=方 得(3-5)(a2-c2)=(5-1)2, 四、解答题 整理得(3-5d=22,即后-3， 15.解：由题知c=4,当点P为短轴端点时， 2 △PF,F2的面积取得最大值12， 解得：=÷=5，(D正确放选()（®）(D) 所以号×8×b=12,解得6=3 三、填空题 因为a2=b2+c2=25, 12.7；13.+ i2+9=1:14.2 2 21 所议精圆的方程为芳+号=儿 -5 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 16.解：(1)由题意设椭圆方程为 (3+42)x2-162x+16k2-12=0, x2 +京=1(a>b>0). 3+4h,4·名=16k-2 所以+=，16 3+42, 由椭圆过点(5,0)，知其一个顶点坐标为(5,0)， 则叫3e).m:( 6k_ 所以a=5. 又e=号所以e=2.所以=2-2=21. Ed=(m,2k),由题可得0·E0=0, 故能圆的标准方程为亏+分=儿 解得m= 3 (2)由(1)可得椭圆的长轴长为2a=10, ，所以存在定点Q(3,0） 短轴长为2b=221,焦点坐标为（±2,0）， 第7期2版参考答案 顶点坐标为（±5,0），(0，±√2I) 17.解：因为△ABF2的周长为8，所以 专项小练一 I ABI +I AF,I +1 BF2 I=8 1.B:2.C:3D.4.9+5=154 I AF I+I BFI+1 AF2 I+I BF2I =8 6.解：因为PF,⊥PF2,所以在Rt△FPF2中， (I AF I+I AF21)+(I BF I+1 BF21)=8 1FF1=21P01=10,所以c=5. →2a+2a=8→a=2, 设F(-5,0),F2(5,0), 由题意可得abπ=23π， 所以1P℉I=45,IPF21=25. 即ab=25,解得b=3. 故2a=1PF,1+PF21=65,所以a=35, 因为椭圆的焦点在x轴上， 则62=a2-c2=20. 所以C的标准方程为后+号山 放精圆的标准方程为后+品=山 18.解：假设1存在，则l不垂直于x轴， 专项小练二 设l的直线方程为y-2=(x-2), 1.B;2.B;3.D.4.3;5.2或4. Q(x1,当1)，Q2(x22), 6.解：因为椭圆的焦点在x轴上，对称轴为坐标轴， ry-2=k(x-2), 联立方程组 2 消去y得 听以后可告比方是为三+2三1(“之么>0) 4 +3=1, 由椭圆过点(5,0)，即其一个顶点坐标为(5,0)， (42+3)x2+16k(1-k)x+16k2-32k+4=0. ① 所以a=5. 由根与系数的关系得+6=16k(k- 42+3, 又e= ,所以e=2,所以62=a2-c2=25-4=21, 2 方程①有两个不同解的前提条件是4=8k-1>0, 所以椭圆的标准方程为25+21 x2 =1. 即：>日又00的中点B的坐标为(2,2， 第7期3,4版参考答案 所以6，=4，解得6=子 42+3 椭圆同步核心素养测评（二）》 面-子生（令，+）：放不作在这样的直线乙 一、单项选择题 19.解：(1)由题意得a=2,b=5c, 1~4 ABBA 5~8 CDAB 又因为a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,c2=1. 提示： 所议搭圆G的方程为号+亏-山 *2 1.方程4-m+m+3=1表示椭圆 (2)设直线AD的方程为y=(x-2)(k≠0)， 4-m>0, 1 令x=0得y=-2k,即E(0,-2k), 则{m+3>0, 解得-3<m<4且m≠2， rJ=k(x-2), 4-m≠m+3, 联立 因此“方程m+m+31表示桶圆”是“-3<m<4” 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 的充分不必要条件 即子 n 2对于椭圆号+卡=1a>6>0。 显然曲线C是焦点在y轴上的椭圆，a=√n,b=√m, 所以C的离心*为e=√-=√ n 8.如图1，设椭圆的左焦点为E, 因为6=各所以√-=×√ 解得b=2. 3.设椭圆的左焦点为F, 由题意得M(5,0)与F(-5,0)是椭圆的焦点， 图1 则直线AB过椭圆的左焦点F(-5,0), 则IBEI+IBF1=2a, 且IABI=IAFI+IBFI, 因为点A,B关于原点对称， 所以△ABM的周长为IAB1+IAMI+BMI=(IAFI+ 所以四边形为平行四边形. I AM I)+(I BFI+I BM I)4a =8. 由1A1=21BF1得1BF1=子，1BE1=子 4.由题意得mb=25m,离心率：e=台= 1 a 在△EBF中，cOS∠EBF=LBEI2+1BFI2-EF12 21 BEII BFI rrab=23π， ra=2, 从而可得方程组 ec=,解得b=3 5+合-4状 a 2x4 a2=62+2, c=1. 故椭圆C的标准方程为号+ 2 =1. 所以cos∠BFA=-cos∠EBF=9&-5 4 3 5.在大椭圆中，a=20,b=10,则c=√a-62=105 由，成≤号d,得1i1 0BFA=手a×子a 则椭圆离心率为e=尽 21 ×(骨-子）≤专，整理得。≤子 因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等， 又0<e<1,所以ee(o,号] 所以在小稀圆中，。=写， 二、多项选择题 结合题意知6=5，得(e)2=a)二)-子，■ 9.BC;10.ABD;11.ACD. (a')2 提示： 解得a'=10,所以小椭圆的长轴长为20cm. =1的两 6.设椭圆的方程为。+=1(a>6>0 9.易知R(-4,0).R(4,0)分别为椭圆号+号 由已知得A(a,0),B(0,b),F(-c,0), 个凭点，60，-4)，0,4)分别为椭圆亏+号-1的两个 则BF=(-,-b),BA=(a,-b). 焦点 因为离心*e=台：5，所以e=5, +1 若点P仅在椭圆 则6-=√-（斗可哥 则P到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和为定值，到 2 E1(0,-4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故(A)错误； 所以BF.BA=b2-ac=0,所以∠ABF=90° 两个椭圆关于直线y=x与y=一x对称， 7.依题意，A(0,√n),B(0,-元)，设点P(y), 则曲线C关于直线y=x,y=-x均对称，故(B)正确； 则有后+公=1，即=(n-), 曲线C所围区域在边长为6的正方形内部， m n n 所以面积必小于36，故(C)正确； 则n=瓜.h+瓜-6=-只=含 4 曲线C所围区域在半径为3的圆外部， 所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故(D)错误， 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 故选(B)(C). 对于(C),太阳光线与地面所成角为号，且伞柄沿着光线 10.由椭圆方程可知a=2,b=√5， 方向时，球冠被完整照射，如图5，而由于AB与地面成一定角 从而c=a2-b=1. 度，AB投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被 根据椭圆定义IPF,I+PF21=2a=4, 又IFF21=2c=2, 拉长为原来的后倍，则台=孕高心率为宁正确： 所以△PFF2的周长是6，故(A)正确； 设点P(x,%)(yo≠0)， 因为1FF2I=2, 期55=分1FI%=元 图5 因为0<0≤b=5, 则△PFF2面积的最大值为3，故(B)正确； 对于(D),太阳光线与地面所成角为石时，如图6，当AB垂 由椭圆性质可知， 直于光线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影 当点P为椭圆C短轴的一个端点时， ∠FPF2最大，此时1PFI=IPF2I=a=2, 成椭圆，此时长轴长为1AB1×1 -=21AB1=240cm,正确. sin 6 又IFF2I=2, 故选(A)(C)(D). 则△PF,F2为正三角形，∠FPF2=60°， 所以不存在点P,使PF,⊥PF,故(C)错误； 当点P为椭圆C的右项点时， IPFI取得最大值，此时IPFI=a+c=3; 6 当点P为椭圆C的左顶点时，IPFI取得最小值， 此时|PFI=a-c=1, 图6 所以1PFI∈[1,3]，故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(B)(D). 1226 ；13.5；149 11.图2，在Rt△AD0,由于A0=T,AD=60cm,CD= 提示： 20cm,D0=(r-20)cm, 12.由题意知：F(-c,0)(c>0), 所以(r-20)2+602=T2,解得r=100cm: 对于(A),太阳光线与地面所成角为平时，如图3将伞还 则直线：y=一 3(x+c),即x+5y+c=0, 原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投 因为1与圆2+2=相切，所以cL =b,即c=2b, √1+3 影形成完整的圆，正确； 所以c2=42=4a2-4c2, 所以e2=。4 5 所以椭圆的离心率e=25 图2 图3 13.如图7所示，因为PM⊥FQ且1PFI=IPQ=2, 对于(B),太阳光线与地面所成角为云时，如图4球冠只 6 有部分被照射，故不能形成椭圆，错误； 图7 6 所以M为FQ的中点， 图4 又因为O为F,F2的中点，OM⊥x轴，所以PQ⊥x轴， —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以△PFQ为等边三角形， 故1MF,I+MFI的最小值为25 所以∠PFF2=30°， (2)设M是椭圆E与直线x-y+3=0的一个公共点， 可得1PR,1==2, 则IMF,I+lMF,I=2a. 由(1)可知IMFI+1MF2I≥1F2FI=25, 解得e=号，所以稀圆C的熊距为2c= 所以椭圆E离心率e:。≤↓=5 a 方， 14.因为点P是椭圆C上的动点，所以m+n=8, 所点=告+日=g(任+) ·(m+n)= 故横圆E离心米的最大值为 mn 18.(1)解：因为e= a 停所以心=3， 81 当组仅当把=只，即网=号1=9时，等号成立 所以椭圆C的方程为。： 22 3苏+京=1 又因为椭圆C过点M(1,1), 四、解答题 15.解：直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(0,1)，(-2,0). 代入方程解得d2=4,6=子 4 当焦点在x轴上时， 设解圆的方程为号+卡=1a>6>0。 所以精园C的方程为号+兰-1 4 (2)证明：①当圆0的切线（的斜率存在时， 由题意知，c=2,b=1,所以a2=5, 设直线l的方程为y=kx+m, 所以精圆的标准力程为号+=1： 则圆心0到直线1的距离d=Im=1, √+1 当焦点在y轴上时， 所以1+2=m2 设精圆的方塑为后 +a=1(a>6>0), 将直线的方程和椭圆C的方程联立， 得到(1+3k2)x2+6kmx+3m2-4=0. 由题意知，b=2,c=1,所以a2=5, 设直线1与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,2)两点， r x 所以椭圆的标准方程为亏+号=1 「西+=1+3K 6km 做该钙圆的标准方程为亏+了=1或考+号 .2 则 =1. 3m2-4 x3=1+3 16.解：(1)因为a=5,b=3,所以c=4. 所以0A.0店=x2+y IPF I+I PF2 I 2a 10,I F F2 I 2c =8, =(1+2)x2+km(x1+x2）+m 所以△FPF2的周长为 =(1+k:3m+m 6km I PF I+I PF2 I +I F F2 I 2a +2c 10+8 18. 1+32 1+3k2 +m2 (2)设1PFI=t1,1PF21=t2,则t1+t2=10. ① =4m-4-4 =0: 在△FPF2中，由余弦定理可得 1+3 ②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得0·0B=0. 元+号-2c0s60°=8. ② 综上，0A.0B为定值0. 由①2-②，得t2=12, 19.解：(1)由题意得IQM1+QWI=IQM1+1QPI= 所以5am=之6s血60=7×2×5=35 1MPI=4>2=1MW1,根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是 17.解：(1)设点F关于直线x-y+3=0的对称点为 以M,N为焦点的椭圆.所以a=2,c=1,所以b=√5. F3(x,y）, 故所求轨迹方程为子+亏=1 ry-0 x+1 ·1=-1, 则 解得 x-1-y+0+3=0, x=-3即F,(-3,2) (2)由题意知S%w=2Sm=2×子×AB1·d= y=2, dI ABI(d为点O到直线l的距离). 2 2 ry kx +1. 由“对称性和两点之间线段最短”，可知 设1的方程为y=kx+1,联立方程 消去y I MFI+I MF2 I=I F2F3I=25. =1, 3 -9 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 整理得(3+4k2)x2+8kx-8=0,设A(x1,1),B(2y2), 第8期3,4版参考答案 -8k -8 则4+=3+4状4名=3+4， 双曲线同步核心素养测评（一） 则IAB1=√1+区·√（x1+2)2-4x 一、单项选择题 =46·个+2R.个+g 1~4 DBBC 5~8 BAAA 3+4h2 提示： +示，所以5m=d1B1=46·个+2E 又d=1 3+42 1.由题意得2a=4,a=2,故渐近线方程为y=±2x 令√个+2K=t,由2≥0，得t≥1， 2.由题得a=3, 46任=46-≥1)，易证y=2+ 由双曲线定义可知1MF2I-MF1I=2a=6, 所以Sm=2+12+ 所以1MF21=6+7=13. t 在(1，+0)递增，所以2+≥3，从而S6≤45 3椭圆号+号=1的上顶点为4(0.3) t 3 双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x, 所以△BD的面积S的最大值为：后 则点A到y=±x的距离为4=3=32 2 =2 第8期2版参考答案 4.由题意知，双曲线的焦点在y轴上， 22 专项小练一 设双曲线的方程为后-云=1(a>0,6>0), 1.C;2.D;3.C. 由题得a=1,e=￡=2，所以c=2, 4.5或9； 所以b2=c2-a2=4-1=3, 6.解：由条件知椭圆的焦点为(0，±3)， 设双线的标准方程为号-号=1K。>0.6>0小 所以双曲线的标准方程为)-菁=山 5.依题意，以点O2为原点，直线0O3为x轴建立平面直角 则a2+2=9. ① 坐标系，如图，点0，(-13，-11)， 将y=4代入椭圆方程得x2=15, 则55 =1 ② 2 01 02 由①2解得口=4或0=36：（含去）. 04 ·05 lb2=5,62=-27 v2 x2 设双面线C的方程为号-卡=1a>0.6>0. 故双曲线的标准方程为产-了=1 其渐近线为y=±么x,因直线0,0，为一条渐近线， 专项小练二 1.C;2.B;3.A.4.12;5.1+2 则有三 a 总，双曲线C的离心率为e=。亚 6解：由于椭圆为+品-1的焦点为0.-5.0.5. 焦点在y轴上， +(( 13 故设双曲线的方程为 J2-=1(a>0,b>0). 6.由题意得e6,:公+6.m-五：1. m 因为双曲线过点(0,2)， 所以(a2+2)(m2-b2)=a2m2, 所以将该点代人双曲线方程得a2=4, 得m2=a2+b2,所以三角形为直角三角形. 故c=5,a=2.于是2=c2-a2=21 所双有线的标疾方和是子一云=1 ?设RF与渐近线y=名：的交点为P, 由题意可知IOFI=2,∠P0F=60°，P0⊥PF, 双曲线的实轴长为4，焦距为10. 所以IPF1=3,IPO1=1, 离心率。=子，渐近线方程为y=±2 5 21x 则5m=2m=2×7×月×1=5 -10