专题01 轻松破解直线中的范围与最值的六大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01轻松破解直线中范围与最值的六大题型 题型一：倾斜角取值范围型 2 题型二：斜率取值范围型 6 题型三：三角形面积最值型 9 题型四：距离最值型 14 题型五：对称中的最值型 16 题型六：求代数式或函数的最值型 19 【知识点综述】 1.对于直线的倾斜角与斜率k而言，当时，，且k随的增大而增大；当时，k<0, 且k随的增大而增大,但在范围内,k不是随着的增大而增大. 2.对于直线与坐标轴围成图形的面积的最值问题,常利用基本不等式或二次函数求解. 3.对于一定点和某直线(定点在直线外)上一动点间距离,它的最小值即为该定点到直线的距离. 4.对于形如的式子的最值,可转化为两点(x,y)与(a,b)之间距离的最值,也可视为某圆的半径的最值. 5.与对称有关的最值问题往往借助对称知识求解. 6.三点共线最值问题 （1）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. （2）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). （3）点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 题型一：倾斜角取值范围型 对于倾斜角的取值范围.往往先求得斜率的取值范围，再由正切函数性质求倾斜角的取值范围. 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的方程为，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两类讨论，当时先求出直线的斜率的取值范围，再根据正切函数图象求解. 【详解】当时，直线的倾斜角为； 当时，直线的斜率，因为，所以或， 根据正切函数的图象性质可知：倾斜角或； 综上： . 故选：D 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 3．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 4．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率与倾斜角的正切函数关系，结合斜率的范围可求倾斜角的范围. 【详解】由题意假设直线倾斜角为得：. 又因为，所以， 即.再由正切函数的性质与直线倾斜角的取值范围， 可得的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高二下·上海·期末）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时；综上可得：的取值范围是. 故选：B. 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 7．（2025·浙江温州·联考）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【分析】将直线化为，解方程组可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则令，解得， 即直线过定点， 又直线可化为，， 则倾斜角的最小值是. 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断直线过定点，分别求得和的斜率，结合图形，由题意只需使直线的斜率满足：或，求解即得参数a的取值范围. 【详解】因直线经过定点， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 由图知，要使直线与过两点的线段不相交， 则直线的斜率满足：或， 解得或，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 题型二：斜率取值范围型 对于斜率的取值范围问题，往往先确定边界直线的斜率，再通过观察直线的变化情况确定斜率的取值范围，一般地，若动直线不包括斜率不存在的直线，则斜率取两边界直线斜率之间的数，若动直线包括斜率不存在的直线，则斜率取两边界直线斜率之外的数，简记为：含取两边，不含取中间. 9．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式可得，即可结合图象求解. 【详解】如图：直线与坐标轴的交点为, 且, 要使过点的直线与的交点位于第一象限，则需， 即， 故选：B 10.（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 11．（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 12．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 13．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 14．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意直线与线段相交，求出直线过线段端点时的斜率即可得解. 【详解】由题意，点的轨迹为线段， 又直线过定点, 所以， 由题意，直线与线段相交， 所以或， 故选：C 题型三：三角形面积最值型 对于直线与坐标轴围成的三角形而言，常求其面积的最值，此时可设动直线方程为点斜式，构建关于斜率k的函数求其最值，或者设动直线方程为截距式，借助基本不等式求得其最值. 15．（24-25高二下·青海西宁·阶段练习）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 【答案】 ，2 【分析】设，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率. 【详解】设，， 则，将代入得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， ， 所以直线的斜率为，的面积最小值为. 16．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 17．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 18．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【分析】（1）设直线截距式为，可得，，进而结合列方程组求解即可； （2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值. 【详解】（1）设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 19．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 20．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 题型四：距离最值型 与距离有关的最值问题，常数形结合求解. 21．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 22．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值. 【详解】点到直线的距离分别为， ，则距离之和为， ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，， 而，因此，所以所求最小值为. 23.（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点 ，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当取得最小值时，求直线的方程. 【分析】方法一：设直线方程为，得到，再根据条件，利用基本不等式，即可求解；法二：设直线方程为，根据条件，利用数量积及基本不等式，即可求解. 【详解】方法一：设直线方程为，令，得到， 令，得到，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为. 方法二：设直线方程为，易知， 所以 ， 当且仅当时取等号，此时直线的方程为. 24．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【分析】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【详解】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 题型五：对称中的最值型 涉及几段距离和或差的最值，往往借助对称知识求解,如“将军饮马”中的最值问题 25.(多选)（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断. 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             26．（24-25高二上·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 27．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【详解】如图， 设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 28．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标. 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 题型六：求代数式或函数的最值型 对于代数式的最值或函数的最值，有时可数形结合，利用直线知识求解，如借助直线的斜率求分母型代数式或函数的最值；利用两点间的距离求根式型代数式或函数的最值. 29．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线的截距之和为2，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将直线方程化成截距式，依题得到，利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】将直线转换为截距式，即，则， 由， 当且仅当，即时取等号， 故得的最小值为. 30．（24-25高二上·山西·期中），，函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图，    显然. 31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，画出图形，再利用的几何意义求出最大值. 【详解】依题意，，即， 于是得或或或， 动点的轨迹如图中正方形，其中， 表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率， 观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大， 所以的最大值为. 32．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 33．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 34．（20-21高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 35．（16-17高二下·全国·自主招生）函数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】记点、、，则，数形结合可得出的最小值，当时，设，结合函数的基本性质可得出，综合可得出的取值范围. 【详解】， 记点、、， 利用几何意义，根据两边之差小于第三边， 又注意到、、三点共线时可以取到最小值， 故，如下图所示： 又因为，则， 当时，，此时； 当时，设， 则， 此时. 综上所述，函数的取值范围是. 36．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01轻松破解直线中范围与最值的六大题型 题型一：倾斜角取值范围型 2 题型二：斜率取值范围型 3 题型三：三角形面积最值型 4 题型四：距离最值型 5 题型五：对称中的最值型 7 题型六：求代数式或函数的最值型 7 【知识点综述】 1.对于直线的倾斜角与斜率k而言，当时，，且k随的增大而增大；当时，k<0, 且k随的增大而增大,但在范围内,k不是随着的增大而增大. 2.对于直线与坐标轴围成图形的面积的最值问题,常利用基本不等式或二次函数求解. 3.对于一定点和某直线(定点在直线外)上一动点间距离,它的最小值即为该定点到直线的距离. 4.对于形如的式子的最值,可转化为两点(x,y)与(a,b)之间距离的最值,也可视为某圆的半径的最值. 5.与对称有关的最值问题往往借助对称知识求解. 6.三点共线最值问题 （1）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. （2）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). （3）点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 题型一：倾斜角取值范围型 对于倾斜角的取值范围.往往先求得斜率的取值范围，再由正切函数性质求倾斜角的取值范围. 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的方程为，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·期末）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江温州·联考）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是 . 题型二：斜率取值范围型 对于斜率的取值范围问题，往往先确定边界直线的斜率，再通过观察直线的变化情况确定斜率的取值范围，一般地，若动直线不包括斜率不存在的直线，则斜率取两边界直线斜率之间的数，若动直线包括斜率不存在的直线，则斜率取两边界直线斜率之外的数，简记为：含取两边，不含取中间. 9．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 12．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：三角形面积最值型 对于直线与坐标轴围成的三角形而言，常求其面积的最值，此时可设动直线方程为点斜式，构建关于斜率k的函数求其最值，或者设动直线方程为截距式，借助基本不等式求得其最值. 15．（24-25高二下·青海西宁·阶段练习）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 16．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 17．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 18．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 19．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 20．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 题型四：距离最值型 与距离有关的最值问题，常数形结合求解. 21．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 22．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 23.（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点 ，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当取得最小值时，求直线的方程. 24．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 题型五：对称中的最值型 涉及几段距离和或差的最值，往往借助对称知识求解,如“将军饮马”中的最值问题 25.(多选)（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 26．（24-25高二上·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 27．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 28．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 题型六：求代数式或函数的最值型 对于代数式的最值或函数的最值，有时可数形结合，利用直线知识求解，如借助直线的斜率求分母型代数式或函数的最值；利用两点间的距离求根式型代数式或函数的最值. 29．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线的截距之和为2，且，则的最小值为 . 30．（24-25高二上·山西·期中），，函数的最小值为 . 31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 32．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 33．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 34．（20-21高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为 . 35．（16-17高二下·全国·自主招生）函数的取值范围是 ． 36．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$