精品解析：四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

广元市川师大万达中学高二年级2025年9月月考 数学试卷 一､单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从2至12的整数中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别列举出2至12包含的整数及合数，再根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】数字2至12包含共11个整数， 其中合数有共6个整数， 所以从中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为. 故选：B 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件求出的值，然后代入模的计算公式即可求解. 【详解】因为，且向量，， 所以，解得：， 所以， 故选：A. 3. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】∵，，则， ∴. 故选：D. 4. 已知，，如果，那么（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】由可知，，互斥，由概率的加法公式即可得出结果. 【详解】∵， ∴，互斥， ∴. 故选：A. 5. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值. 【详解】依题意 ，所以. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题. 6. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥， C. 因为，所以与相互对立 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A项，根据相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B项，由互斥事件定义可知两事件不可能同时发生即可判断；C项，不能判断是否互斥与对立；D项，由可得. 【详解】选项A，若与相互独立，则与相互独立， 所以，故A错误； 选项B，若与互斥，则，不可能同时发生，即，故B错误； 选项C，，则由于不确定与是否互斥， 所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果， 设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”， 则，，但事件，并不互斥，也不对立，故C错误； 选项D，若，则，则，故D正确. 故选：D. 7. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【解析】 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 二､多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是（ ） A. B. 是必然事件 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确； 对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确； 对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误； 对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误． 故选：AB． 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确. 【详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中. 则事件，独立. 对A选项：由，故A正确； 对B选项：由，故B正确； 对C选项：由，故C错误； 对D选项：由，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ） A. B. 四边形为矩形 C. D. 如果，那么点M在平面内 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可判断A；根据余弦定理，可得，进而证得平面，即可判断B；据题设，可得是等腰三角形，进而求得，从而判定C；根据空间向量的共面定理推论可判定D. 【详解】选项A，在平行六面体中， ，正确； 选项B，设， 因为， ， 又，与AB，AD所成的角均为， 所以，又O为BD中点，则， 又，，，平面， 所以平面，由于平面，故， 由于，则，所以四边形为矩形，正确； 选项C，因为四边形ABCD为菱形，，所以， 所以，即是等腰三角形， 又， 所以， 所以，即，错误； 选项D，若，由于， 所以M，B，D，四点共面，故点M在平面内，正确． 故选：ABD 三､填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 在直棱柱中，已知是的中点，，，则与所成的角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】作辅助线，找到与所成的角，解三角形，即可求得答案. 【详解】连接，在直棱柱中，， 则，且， 故与所成的角即为与所成的角， 即或其补角即为与所成的角； 又，且平面， 故平面，平面，故， 是的中点，故， 则，, 故在中，， 故与所成的角的余弦值为， 故答案为： 13. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的性质结合已知条件得出直线平面，则点到平面的距离即为直线到平面的距离，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求解． 【详解】为的中点， ， 又平面， 平面， 点到平面的距离即为直线到平面的距离， 以点为原点，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则点，， 设平面的法向量为，则，令，则，， 平面的法向量为， ， ． 故答案为：． 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 综上所述，甲队以获胜的概率是 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 四､解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，角的对边分别为，，，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，由求出，结合，求出； （2）由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知：，又因为，， 由余弦定理得： 解得：， 所以面积为. 16. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点. （1）求证：平面PAD； （2）求证：； （3）若PD与平面所成的角为，求证：平面. 【答案】（1） 取中点，连接，， 为的中点，，， 是的中点，底面是矩形，，， 且， 四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面. （2） 平面，平面，， 又底面是矩形，， 又平面，平面， 平面，， 由（1）可知，. （3） 平面，所以为与平面所成的角， ，又，，即为等腰三角形， 为中点，， 又由（2）可得，平面， 平面， 由（1）可知：，平面. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，由线面平行的判定定理即可得证； （2）先由线面垂直的判定定理证明平面，得到，再由（1）即可得证； （3）先由题意得到，，由线面垂直的判定定理证明平面，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 【答案】（1）；平均数；中位数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果； （3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为1可得， 解得， 高中生的平均数为， 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. 【小问2详解】 、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名. 【小问3详解】 由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接，设，连接. 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以为的中点. 因为为的中点， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）只需证明，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由公式即可求解； （3）容易知道是平面的一个法向量，由公式结合二面角是钝角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 又，所以，，两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则即 令，则，.于是. 因为 所以. 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面， 所以是平面的一个法向量. 所以. 由题设，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 19. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 【答案】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题，解得 （2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件， 则；；. 故. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市川师大万达中学高二年级2025年9月月考 数学试卷 一､单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从2至12的整数中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 3. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，如果，那么（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 5. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥， C. 因为，所以与相互对立 D. 若，则 7. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二､多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是（ ） A. B. 是必然事件 C. D. 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 11. 如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ） A. B. 四边形为矩形 C. D. 如果，那么点M在平面内 三､填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 在直棱柱中，已知是的中点，，，则与所成的角的余弦值为__________. 13. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为__________. 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 四､解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，角的对边分别为，，，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 16. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点. （1）求证：平面PAD； （2）求证：； （3）若PD与平面所成的角为，求证：平面. 17. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 19. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $