专题1.3.2 证明（第2课时 三角形外角的定义及其性质）（一课一练）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版 专题1.3.2证明（一课一练） （第2课时 三角形外角的定义及其性质） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．如图，若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，点在边的延长线上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．下面说法正确的个数有（   ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，，则（   ） A． B． C． D． 5．将一副三角板如图放置，使点落在线段上，若，且与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．抖空竹作为非物质文化遗产，有着上千年的历史．将图1的某同学抖空竹抽象成图2的数学问题，已知：，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，的平分线交于点是外角与外角平分线的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 10． 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，中，，平分，则的度数是 ． 12．在一个三角形中，如果一个内角是其相邻外角的2倍，那么这个内角的度数是 ． 13．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，，，那么的度数是 14．如图，，E是上一点，F是外一点，连接，若，，则的度数为 ． 15．如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 16．数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图），其中，，，小勇用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是 ． 17．如图，，，，，若，则 ， ． 18．阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，中，，点D在边上，连接，作，求的度数． 20．如图，在中，是高，，是的外角的平分线，且交的延长线于点，平分交于点．已知，求： (1)的度数； (2)的度数． 21．如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间的示意图，已知，，，，，求的度数． 22．如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 23．在中，，平分，P为线段上的一个动点，交直线于E，其夹角记为． (1)如图，，求的度数； (2)探究与的数量关系． 24．【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版 专题1.3.2证明（一课一练） （第2课时 三角形外角的定义及其性质） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．如图，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，进而根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，点在边的延长线上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，由题意知为的一个外角，即可知，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：为的一个外角， ∴， ∴， 故选D 3．下面说法正确的个数有（   ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义，三角形内角和定理，三角形的高和平分线，三角形的外角的性质，根据三角形定义，三角形高的概念，三角形的外角与内角的性质，逐项判断． 【详解】解：①三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误； ②如果，根据得到，解得，，那么是锐角三角形，故②错误； ③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部，故③正确； ④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故④错误； ⑤三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故⑤错误； ∴正确的命题有③，共1个， 故选：A． 4．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．延长交于点G，先根据平行线的性质求出的度数，再由补角的定义得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：延长交于点G， ， ， ， ． 故选：C． 5．将一副三角板如图放置，使点落在线段上，若，且与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，由平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．抖空竹作为非物质文化遗产，有着上千年的历史．将图1的某同学抖空竹抽象成图2的数学问题，已知：，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 延长交于点，利用平行线的性质求出的度数，再利用三角形的外角即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ， 故选：C． 7．如图，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键； 根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，即可解答． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， 同理是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，的平分线交于点是外角与外角平分线的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义．根据三角形的内角和定理，可得到，再结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 9．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算、三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质，并能得出有关的等式．由三角形的外角性质和三角形内角和定理，即可计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 10． 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由直角三角形的性质得到，因此，得到，判断A正确；根据角平分线性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，判断B正确；根据，，，，判断C正确；根据，得出，即可判定D错误． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； 平分， ， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ，，，， ，故C正确，不符合题意； ∵， ∴ 即，故D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，中，，平分，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】，平分， ， ． 故答案为：． 12．在一个三角形中，如果一个内角是其相邻外角的2倍，那么这个内角的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据其性质列出方程是解答此题的关键． 设三角形的一个内角的相邻外角为，则内角是，根据外角与相邻内角的和为，列出方程求解即可． 【详解】解：设三角形的一个内角的相邻外角为，则内角是， 依题意得， 解得， 所以， 所以这个内角的度数是． 故答案为：． 13．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，，，那么的度数是 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 由，，根据三角形外角的性质，可求得的度数，又由角平分线的定义，求得的度数，又由三角形外角的性质，求得的度数． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 14．如图，，E是上一点，F是外一点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点M，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 15．如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是关键． 如图：延长交于F，再根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：如图：延长交于F， ∵， ， ． 故答案为：． 16．数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图），其中，，，小勇用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，根据性质进行倒角是解题的关键．由三角形外角的定义及性质计算，由平行线的性质可得，，即可得解． 【详解】解：过点作 ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 17．如图，，，，，若，则 ， ． 【答案】 /度 /度 【分析】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：，． 18．阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 【答案】 90 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键． （1）先在中利用三角形内角和定理求出，再在中求出，最后通过两者相减得到． （2）通过三角形内角和定理，将和用和表示，进而推导出与的关系． （3）利用三角形外角性质，将和用、和表示，再结合推导出与的关系． 【详解】解：（1）在中，， ． 在中，， ． ． 故答案为：；． （2）在中， 三角形内角和为， ． 在中，， 三角形内角和为， ． ． 故答案为：． （3），， ，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，中，，点D在边上，连接，作，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由补角的定义得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴． ∵是的外角，， ∴． 20．如图，在中，是高，，是的外角的平分线，且交的延长线于点，平分交于点．已知，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的基本知识，涉及三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的高以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）先求得，结合，即得； （2）根据角平分线的定义可得，再求出，即可求得． 【详解】（1）解：是的高， ． ， ． ， ． （2）解：∵平分， ． ∵平分， ， ． 21．如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间的示意图，已知，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 延长交于点，得到，得到，根据平行线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ， ， ， ，， ， ． 22．如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：A、D关于对称， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知：A、D关于对称，， ∴， 故答案为：50； （3）解：∵，， ∴ ， 又，， ∴． 23．在中，，平分，P为线段上的一个动点，交直线于E，其夹角记为． (1)如图，，求的度数； (2)探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的内角和求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）设，，根据三角形的内角和定理，三角形的外角和角平分线的定义，推出即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵平分， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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