专题02定义与命题及证明精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学几何逻辑推理入门，系统梳理定义、命题（组成、改写、分类）、原命题与逆命题关系，以及公理、定理、证明的核心概念，衔接三角形内角和与外角定理，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过重点辨析易混点、分层设计13类题型（含基础到提升），强化推理规范（如证明步骤标注依据），培养学生抽象能力与推理意识。课中助力教师系统教学，课后学生可通过反例构造、证明书写等实例巩固，弥补知识盲点。

专题02定义与命题及证明精讲学案 核心立意 本单元是几何逻辑推理入门，掌握定义、命题全套基础概念，熟练命题的结构、改写与分类；理解原命题与逆命题的关系；区分公理、定理、证明，掌握几何证明标准书写格式；掌握三角形内角和、三角形外角两大核心定理，养成步步有据的推理习惯。 核心基础概念 ① 定义：明确规定名称或术语含义的语句，可作为几何判断的依据。 ② 命题：对某件事情作出判断的陈述句；疑问句、祈使句、感叹句没有判断，不属于命题。 ③ 真命题：判断符合客观事实的命题。 ④ 假命题：判断不符合客观事实的命题。 ⑤ 反例：满足命题条件，但不满足命题结论的实例； 做题关键：只需1个反例即可判定命题为假，反例不能证明命题为真。 命题 ① 命题的组成：任意命题均由条件、结论两部分构成。 ② 命题的改写格式：统一改写为“如果……，那么……”；“如果”后接条件，“那么”后接结论。 ③ 命题的改写注意点：改写不得改变命题原意；可补充文字使语句通顺，严禁调换条件与结论。 ④ 命题的分类：分为真命题、假命题两类。 原命题与逆命题 ① 将原命题的条件与结论互相交换，得到的新命题称为原命题的逆命题。 ② 重要结论：原命题真假与逆命题真假没有必然联系；原命题为真，逆命题未必为真。 公理、定理、证明 ① 基本事实（公理）：公认成立，无需推理证明，可直接作为推理依据。 ② 定理：经过严谨推理证实为真的命题，可直接作为推理依据。 ③ 证明：从已知条件出发，依托定义、基本事实、定理逐步推导得到结论；观察、实验、举例不能替代逻辑证明。 证明题书写规范 ① 文字命题标准三步：根据题意画图；写出已知、求证；书写完整证明过程。 ② 硬性要求：推理禁止跳步，每一步推导必须标注推理依据。 ③ 常用推理依据：已知、定义、基本事实、定理、推论、等量代换。 三角形内角和定理 ① 定理内容：三角形三个内角的和等于180。 ② 证明思路：利用平行线转移角，结合平角定义完成推证。 三角形外角 ① 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。 ② 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 重点辨析 ① 只要语句带有判断，就算判断错误也属于命题；无判断的语句不是命题。 ② 改写命题仅润色语句，不能调换条件和结论。 ③ 逆命题只互换条件结论，真假独立，不存在必然对应关系。 ④ 基本事实无需证明，定理必须证明，二者均可作为推理依据。 ⑤ 反例仅能证伪假命题，证明真命题必须依靠逻辑推理。 ⑥ 外角性质只针对不相邻内角，不包含相邻内角。 ⑦ 几何证明不能依靠看图直观猜想，所有推导必须有据可依。 ① 将疑问句、祈使句、感叹句误判为命题。 ② 改写命题颠倒条件与结论。 ③ 误认为原命题为真，则逆命题一定为真。 ④ 用列举实例的方式证明真命题。 ⑤ 证明跳步，省略推理依据。 ⑥ 运用外角性质时错误带入相邻内角。 ⑦ 混淆基本事实与定理，误以为定理不需要证明。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是命题 ★ 题型二 写出命题的题设与结论 ★★ 题型三 判断命题真假 ★★ 题型四 举例说明假（真）命题 ★★ 题型五 举反例 ★★★ 题型六 定理与证明 ★★ 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 ★★★ 题型八 已知证明过程填写理论依据 ★★ 题型九 逻辑推理与论证 ★★★ 题型十 三角形内角和定理的证明 ★★★ 题型十一 三角形的外角的定义及性质 ★★ 题型十二 以几何为背景的推理与论证 ★★★ 题型十三 以几何为背景的推理与论证 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：判断是否是命题 解题思路：①判定语句是否为具备判断属性的陈述句；②排除疑问句、祈使句、感叹句等无判断功能的语句；③判断结论错误的陈述句仍属于命题。 1．判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【答案】 是 不是 是 不是 【分析】本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：①对顶角相等，是命题； ②画一个角等于已知角，不是命题； ③两直线平行，同位角相等，是命题； ④a，b两条直线平行吗？是问句，未做判断，不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 2．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 3．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 题型二：写出命题的题设与结论 解题思路：①将命题改写为“如果……，那么……”标准形式；②“如果”后为题设，“那么”后为结论；③改写可补全语义，严禁调换题设与结论顺序。 4．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 5．下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 题型三：判断命题真假 解题思路：①检验题设成立时结论是否必然成立；②题设成立则结论恒成立，为真命题；③题设成立但结论不恒成立，为假命题；④依托定义、公理、定理完成判定。 7．下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的符号法则和乘积为0的性质，逐一判断各命题真假即可． 【详解】解：根据有理数乘法法则：两个非零数相乘，同号得正，异号得负，若乘积为0，则至少有一个因数为0， 当时，，但，A不是真命题； 若，则异号，即一个为正一个为负，并非都小于0，B不是真命题； 当时，，但，C不是真命题； 若，根据乘法性质可得至少一个因数为0，即或，D是真命题． 8．下面的四个命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．和为的两个角互为邻补角 D．两直线平行，同旁内角相等 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义，垂线的性质，邻补角的定义和平行线的性质，逐一判断命题真假即可． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角，例如平行线被截得的同位角相等，但不是对顶角，原命题是假命题，该选项不符合要求； B、垂线段最短是垂线的基本性质，是真命题，该选项符合要求； C、和为的两个角不一定是邻补角，原命题是假命题，该选项不符合要求； D、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，该选项不符合要求． 9．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 题型四：举例说明假（真）命题 解题思路：①论证真命题，依托定义、定理开展逻辑说理；②论证假命题，构造满足题设但不满足结论的实例；③真命题无需举例，假命题通过实例完成证伪。 10．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查假命题的反例，解题思路是找出满足“正数的平方不大于这个数本身”的数，计算后比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 原命题为“任何正数的平方都大于这个数本身”，反例需要满足：为正数，且． ∴对选项A，当时，． ∵，即，不符合原命题结论． ∴是原命题的反例． 11．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例，即找出满足且的即可． 【详解】解：当时，，满足命题的条件， 此时，不满足命题的结论， 因此可以作为该命题的反例．故答案为． 12．对于命题“如果，那么”，能说明这个命题是假命题的是(   ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．将四个中的值代入验证即可． 【详解】解：A、，，满足“如果，那么”，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； B、，且，满足“如果，那么”，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； C、，且，此时不但不满足，也不满足不成立，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； D、，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“如果，那么”不能成立，故符合题意． 故选：D． 题型五：举反例 解题思路：①构造实例须满足命题全部题设条件；②构造实例须不满足命题结论；③单个合规反例即可证伪命题；④反例不得违背命题题设约束。 13．要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要证明命题是假命题，只需举出一个满足命题条件，但不满足命题结论的反例，本题只需找到使得，计算各选项即可判断． 【详解】∵原命题结论为“任何数的平方都大于”， ∴反例需要满足， 对各选项逐一计算： 选项A：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项B：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项C：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项D：当时，，不满足，可作为该命题的反例． 14．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 【答案】 1 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可． 【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件； ，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题． 15．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则即可解答． 【详解】解：A选项，，则，满足“若，则”，不是反例； B选项，，且，满足“若，则”，不是反例； C选项，，且，不满足“若，则”，是反例； D选项，，且，满足不满足“”，不是反例； 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大． 题型六：定理与证明 解题思路：①区分基本事实与定理：基本事实无需证明，定理须经逻辑推理验证；②证明指从已知条件出发，依据定义、公理、定理推导出结论的过程；③定理均为真命题，真命题未必是定理。 16．“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 17．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 18．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型七：写出一个命题的已知、求证及证明过程 解题思路：①依据命题绘制对应几何图形；②结合图形，将命题题设转化为已知，结论转化为求证；③规范书写证明步骤，每一步标注理论依据，杜绝逻辑跳步。 19．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 20．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 21．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 题型八：已知证明过程填写理论依据 解题思路：①分析每一步推理的逻辑来源；②从已知、定义、基本事实、定理、推论、等量代换中匹配对应依据；③书写完整依据名称，禁止简写。 22．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 23．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 【答案】①， ②两直线平行，同位角相等， ③， ④， ⑤， ⑥两直线平行，内错角相等， ⑦等量代换． 【分析】先结合角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用平行线的判定和性质证明，最后等量代换得到答案． 【详解】略． 24．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 题型九：逻辑推理与论证 解题思路：①提取题干条件，区分题设与待证结论；②顺向推导，由已知条件推出中间结论，最终得到目标结论；③出现逻辑矛盾时，构造反例推翻错误论断。 25．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 【答案】 【分析】根据已知条件，队单循环每队踢场，没输过、没赢过、胜，积分满足且各不相同，逐步推导各队胜负即可得到结论． 【详解】解：已知战胜了，且没赢过， 至少胜平，积分至少得分． 支球队中只有没输过，说明输过， 则可能是胜负、胜平负、胜平负、胜平负，对应积分为分、分、分、分． 至少得分，且， 至少为分， 可能是胜负、胜平负，对应积分为分、分． ，且没输过，则只可能是胜平、胜平，对应积分为分、分． ①若为胜平，此时的积分为分， ， 只能为胜负，此时的积分为分，即负，胜、、， 则负、负，而比得分多， 至少得5分，但此时最多胜平负，积分最多为分，与至少得5分相矛盾， 故该情况不符合题意，舍去． ②若为胜平，为胜负，此时的积分为分，的积分为分， 至少得分且， 一定得分，只能是胜平负，结合负分类讨论： 当胜平平时，与为胜负矛盾； 当胜平平时，与为胜平，为胜负均矛盾； 当胜平平时，结合为胜负，可得胜，与为胜平矛盾； 故该情况不符合题意，舍去． ③若为胜平，为胜平负，此时的积分为分，的积分为分， 、、的积分应分别是分、分、分， 结合积分且各不相同，推导各队赛果和积分： ：平，胜，胜，负，总积分分； ：平，胜，平，平，总积分分； ：胜，平，负，平，总积分分； ：胜，负，负，平，总积分分； ：平，平，平，负，总积分分； 该结果满足所有题干条件，只输给，因此战胜的只有队． 26．某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况：     题号同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】甲得分，说明仅错道题，通过分情况讨论甲错的题号，结合丙、丁的得分验证，推出道题的正确选项，再计算乙的得分即可． 【详解】解：∵甲得分， ∴甲仅错道题，分情况讨论： ①若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题A，第题B，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ②若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题B，第题C，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ③若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题A，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ④若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题C，第题A，第题B，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ⑤若甲错第题，则其余道正确，即第题C，第题A，第题B，第题C正确，且第题不是B。此时丙答案为C、C、B、B、B，对第题、第题，得分，符合丙得分， ∵丁得分，丁答案为C、C、B、B、A，已对第题、第题得分， ∴第题A正确，刚好得分，符合条件． ∴道题的正确答案依次为C、A、B、C、A，对照乙的答案C、B、B、C、C，乙答对第题、第题、第题，共得分． 27．某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 【答案】 5 6 【分析】根据单循环比赛规则，每个班需与其余5个班各赛一场，每天进行3场比赛，先计算总天数，再根据已知比赛排除重复对阵，推理得到结果． 【详解】解：6个班进行单循环比赛，总比赛场次为，每天同时进行3场比赛，因此总天数为； 根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为： 第一天：， 第二天：， 第三天：， 第四天：， 剩余第五天未进行的比赛为： 因此第五天与（3）班比赛的是（6）班． 题型十：三角形内角和定理的证明 解题思路：①过三角形一个顶点作一边的平行线；②利用平行线性质完成角的转化，将三角形三内角拼接为平角；③借助平角为180°完成推导，每一步标注推理依据。 28．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（     ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 【答案】A 【分析】本题考查常见数学思想的识别，解题关键是理解剪拼验证三角形内角和过程的本质. 【详解】解：∵剪拼过程中，将三角形内角和未知问题转化为已知的平角（）推导，把陌生问题转化为熟悉已知问题解决，符合转化思想的特征，符合题意； 分类讨论思想需要分多种情况讨论，方程思想是通过建立方程求解，整体思想是将部分看作整体研究，均不符合该过程. 29．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 30．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型十一：三角形的外角的定义及性质 解题思路：①依据定义识别外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；②运用性质：三角形外角等于与其不相邻两内角之和；③运算仅使用不相邻内角，排除相邻内角 31．如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可． 【详解】解：是的一个外角， ． 32．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 33．在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义，三角形外角的定义，三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵三角形的外角和的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十二：以几何为背景的推理与论证 解题思路：①标记图形中已知线段、角度条件；②结合三角形内角和、外角性质、平行线定理开展推导；③完整书写推理链条，每一步匹配对应理论依据。 34．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 35．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 36．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由如下： 设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】略 题型十三：以代数为背景的推理与论证 解题思路：①提取代数条件，拆分命题的题设与结论；②利用等式性质、代数运算法则完成推演；③证伪假命题时，代入符合题设的数值构造反例。 37．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 38．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 39．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 解答题 1．如图，有如下三个论断：①，②，③． (1)从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题，并用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要求说明理由） (2)请你在上述真命题中选择一个进行证明． 已知：______； 求证：______； 证明： 【答案】(1)如果，，那么； 如果，，那么； 如果，，那么； (2)①已知：，，求证：； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②已知：，，求证：； 证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴； ③已知：，，求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴． 【分析】（1）由平行线的性质和判定可得，任意两个作为题设，余下一个作为结论，都是真命题； （2）①由可得，再由，可得即可证明；②由可得，再由可得即可证明；③由，，可得，，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在△中，点、分别在边、上，、相交于点，，，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．           解：（____________________）， （等量代换）． ____________________（____________________）， （____________________） （等量代换） ____________________． 【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；三角形的内角和等于；等式的性质；． 【详解】略 3．如图，已知直线．求证：． 请补充完整下列证明的理由． 证明  （      ）， （      ）． （      ）． 【答案】 完整补全理由后的证明如下： （已知）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 三个括号依次填入：已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【详解】略 4．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 5．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 6．某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 【答案】(1) (2)（ⅰ）22；（ⅱ）或或或或 【分析】（1）根据算法逻辑求解； （2）（ⅰ）根据算法逻辑得出十位和个位上的数字相同，且等于频次2，求解即可； （ⅱ）根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：（ⅰ）若M是一个两位数，且满足， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，十位和个位上的数字相同，且等于频次2， ∴M为； （ⅱ）∵，， ∴，且M是一个四位数， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次， ∴为或或或或， ∴对应的所有四位数为或或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02定义与命题及证明精讲学案 核心立意 本单元是几何逻辑推理入门，掌握定义、命题全套基础概念，熟练命题的结构、改写与分类；理解原命题与逆命题的关系；区分公理、定理、证明，掌握几何证明标准书写格式；掌握三角形内角和、三角形外角两大核心定理，养成步步有据的推理习惯。 核心基础概念 ① 定义：明确规定名称或术语含义的语句，可作为几何判断的依据。 ② 命题：对某件事情作出判断的陈述句；疑问句、祈使句、感叹句没有判断，不属于命题。 ③ 真命题：判断符合客观事实的命题。 ④ 假命题：判断不符合客观事实的命题。 ⑤ 反例：满足命题条件，但不满足命题结论的实例； 做题关键：只需1个反例即可判定命题为假，反例不能证明命题为真。 命题 ① 命题的组成：任意命题均由条件、结论两部分构成。 ② 命题的改写格式：统一改写为“如果……，那么……”；“如果”后接条件，“那么”后接结论。 ③ 命题的改写注意点：改写不得改变命题原意；可补充文字使语句通顺，严禁调换条件与结论。 ④ 命题的分类：分为真命题、假命题两类。 原命题与逆命题 ① 将原命题的条件与结论互相交换，得到的新命题称为原命题的逆命题。 ② 重要结论：原命题真假与逆命题真假没有必然联系；原命题为真，逆命题未必为真。 公理、定理、证明 ① 基本事实（公理）：公认成立，无需推理证明，可直接作为推理依据。 ② 定理：经过严谨推理证实为真的命题，可直接作为推理依据。 ③ 证明：从已知条件出发，依托定义、基本事实、定理逐步推导得到结论；观察、实验、举例不能替代逻辑证明。 证明题书写规范 ① 文字命题标准三步：根据题意画图；写出已知、求证；书写完整证明过程。 ② 硬性要求：推理禁止跳步，每一步推导必须标注推理依据。 ③ 常用推理依据：已知、定义、基本事实、定理、推论、等量代换。 三角形内角和定理 ① 定理内容：三角形三个内角的和等于180。 ② 证明思路：利用平行线转移角，结合平角定义完成推证。 三角形外角 ① 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。 ② 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 重点辨析 ① 只要语句带有判断，就算判断错误也属于命题；无判断的语句不是命题。 ② 改写命题仅润色语句，不能调换条件和结论。 ③ 逆命题只互换条件结论，真假独立，不存在必然对应关系。 ④ 基本事实无需证明，定理必须证明，二者均可作为推理依据。 ⑤ 反例仅能证伪假命题，证明真命题必须依靠逻辑推理。 ⑥ 外角性质只针对不相邻内角，不包含相邻内角。 ⑦ 几何证明不能依靠看图直观猜想，所有推导必须有据可依。 ① 将疑问句、祈使句、感叹句误判为命题。 ② 改写命题颠倒条件与结论。 ③ 误认为原命题为真，则逆命题一定为真。 ④ 用列举实例的方式证明真命题。 ⑤ 证明跳步，省略推理依据。 ⑥ 运用外角性质时错误带入相邻内角。 ⑦ 混淆基本事实与定理，误以为定理不需要证明。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是命题 ★ 题型二 写出命题的题设与结论 ★★ 题型三 判断命题真假 ★★ 题型四 举例说明假（真）命题 ★★ 题型五 举反例 ★★★ 题型六 定理与证明 ★★ 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 ★★★ 题型八 已知证明过程填写理论依据 ★★ 题型九 逻辑推理与论证 ★★★ 题型十 三角形内角和定理的证明 ★★★ 题型十一 三角形的外角的定义及性质 ★★ 题型十二 以几何为背景的推理与论证 ★★★ 题型十三 以几何为背景的推理与论证 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：判断是否是命题 解题思路：①判定语句是否为具备判断属性的陈述句；②排除疑问句、祈使句、感叹句等无判断功能的语句；③判断结论错误的陈述句仍属于命题。 1．判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 2．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 3．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 题型二：写出命题的题设与结论 解题思路：①将命题改写为“如果……，那么……”标准形式；②“如果”后为题设，“那么”后为结论；③改写可补全语义，严禁调换题设与结论顺序。 4．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 5．下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 6．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 题型三：判断命题真假 解题思路：①检验题设成立时结论是否必然成立；②题设成立则结论恒成立，为真命题；③题设成立但结论不恒成立，为假命题；④依托定义、公理、定理完成判定。 7．下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 8．下面的四个命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．和为的两个角互为邻补角 D．两直线平行，同旁内角相等 9．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 题型四：举例说明假（真）命题 解题思路：①论证真命题，依托定义、定理开展逻辑说理；②论证假命题，构造满足题设但不满足结论的实例；③真命题无需举例，假命题通过实例完成证伪。 10．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 11．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的________．（写出一个即可） 12．对于命题“如果，那么”，能说明这个命题是假命题的是(   ) A．， B．， C．， D．， 题型五：举反例 解题思路：①构造实例须满足命题全部题设条件；②构造实例须不满足命题结论；③单个合规反例即可证伪命题；④反例不得违背命题题设约束。 13．要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 14．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 15．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 题型六：定理与证明 解题思路：①区分基本事实与定理：基本事实无需证明，定理须经逻辑推理验证；②证明指从已知条件出发，依据定义、公理、定理推导出结论的过程；③定理均为真命题，真命题未必是定理。 16．“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 17．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 18．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型七：写出一个命题的已知、求证及证明过程 解题思路：①依据命题绘制对应几何图形；②结合图形，将命题题设转化为已知，结论转化为求证；③规范书写证明步骤，每一步标注理论依据，杜绝逻辑跳步。 19．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 20．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 21．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 题型八：已知证明过程填写理论依据 解题思路：①分析每一步推理的逻辑来源；②从已知、定义、基本事实、定理、推论、等量代换中匹配对应依据；③书写完整依据名称，禁止简写。 22．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 23．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 24．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 题型九：逻辑推理与论证 解题思路：①提取题干条件，区分题设与待证结论；②顺向推导，由已知条件推出中间结论，最终得到目标结论；③出现逻辑矛盾时，构造反例推翻错误论断。 25．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 26．某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况：     题号同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（     ） A． B． C． D． 27．某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 题型十：三角形内角和定理的证明 解题思路：①过三角形一个顶点作一边的平行线；②利用平行线性质完成角的转化，将三角形三内角拼接为平角；③借助平角为180°完成推导，每一步标注推理依据。 28．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（     ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 29．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 30．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 题型十一：三角形的外角的定义及性质 解题思路：①依据定义识别外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；②运用性质：三角形外角等于与其不相邻两内角之和；③运算仅使用不相邻内角，排除相邻内角 31．如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 32．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 33．在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 题型十二：以几何为背景的推理与论证 解题思路：①标记图形中已知线段、角度条件；②结合三角形内角和、外角性质、平行线定理开展推导；③完整书写推理链条，每一步匹配对应理论依据。 34．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 35．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 36．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 题型十三：以代数为背景的推理与论证 解题思路：①提取代数条件，拆分命题的题设与结论；②利用等式性质、代数运算法则完成推演；③证伪假命题时，代入符合题设的数值构造反例。 37．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 38．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 39．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 解答题 1．如图，有如下三个论断：①，②，③． (1)从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题，并用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要求说明理由） (2)请你在上述真命题中选择一个进行证明． 已知：______； 求证：______； 证明： 2．如图，在△中，点、分别在边、上，、相交于点，，，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．           解：（____________________）， （等量代换）． ____________________（____________________）， （____________________） （等量代换） ____________________． 3．如图，已知直线．求证：． 请补充完整下列证明的理由． 证明  （      ）， （      ）． （      ）． 4．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 5．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 6．某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $