1.3 专题特训二 与三角形的角有关的几何模型-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第1章三角形 专题特训二 与三角形的角有关的几何模型 类型一 “A”字模型及其变式 基本模型 结论 ∠ADE+∠AED=∠ABC+∠C B(D) 1.如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=60°，点D,E分别在边AB,AC上，延长DE至，点F.若DE∥ BC,则∠AEF的度数为 () A.119 B.120 C.121° D.122 (第1题) (第2题) 2.如图，D是△ABC的边AC上一点，∠A=∠ABD,∠BDC=130°，∠ABC=85°，则∠A的度数 为 ,∠C的度数为 类型二燕尾模型 基本模型 结论 B ∠D=∠A+∠B+∠C 3.如图，E,F分别是△ABC的边AB,AC上的点，D是点A上方的一点.若∠B+∠C=60°， ∠D=70°，则∠1+∠2的度数为 () A.50° B.60° C.65 D.70° 115 (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) 4.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图所示的一个零件.如果∠A=52°，∠B=25°，∠C= 30°，∠D=35°，∠BED=72°，那么∠CFD= 5.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 6.如图，BF平分∠ABD,CE平分∠ACD,BF与CE交于点G.若∠BDC=120°， ∠BGC=95°，则∠A的度数为 11 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 类型三“8”字模型 基本模型 结论 B A ∠A+∠B=∠C+∠D 7.考向新定义题我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如，在图 ①中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD 为“对顶三角形”.根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C+∠D. (1)如图②，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠EAO=∠C,∠D=2∠B,求证：∠EAB= ∠B. (2)如图③，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，∠BOD=∠A.若∠ECD比∠DBE 大20°，求∠BDO的度数 (第7题) 类型四双角平分线模型 O是∠ABC的 O是△ABC的 P是∠ABC与 0 平分线与△AB 外角∠DBC与 基本模型 ∠ACB的平分 的外角∠ACD ∠BCE的平分 线的交点 D的平分线的交点 E 线的交点 结论 ∠0=2∠A ∠0=90°- ∠P=90+2∠A 2<A 8.如图，∠ABC=∠ACB,BD,CD,AD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACF, 外角∠EAC.右下列结论：心AD/DC,②∠ACB=2∠ADB:③∠BDC-号∠BaAC: ④∠ADC+∠ABD=135°.其中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第8题) (第9题) 9.如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB.若 ∠BA'℃=114°，∠1=45°，则∠2的度数为 12 “答案与解析”见P?专题特训二与三角形的角有关的几何模型 1.D因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B=60°.所以 ∠AEF=∠A+∠ADE=62°+60°=122. 2.65°30°因为∠BDC是△ABD的外角，所以∠BDC ∠A+∠ABD.因为∠A=∠ABD,∠BDC=130°，所以 ∠A=65°.因为∠A+∠ABC+∠C=180°，所以∠C= 180°-∠ABC-∠A.因为∠ABC=85°，所以∠C=30° 3.A连结EF.因为∠B+∠C=60°，所以∠A=180° (∠B+∠C)=120°.所以∠AEF+∠AFE=180°一∠A= 60°.因为∠D=70°，所以∠DEF+∠DFE=180°-∠D= 110°.因为∠1+∠AEF=∠DEF,∠2+∠AFE= ∠DFE,所以∠1+∠2=∠DEF+∠DFE-(∠AEF+ ∠AFE)=110°-60°=50°. 4.70如图，连结AD,AE,AF,并将AE,AF分别延长到 点M,N.因为∠BEM是△ABE的外角，所以∠BEM= ∠BAE+∠B.同理可得，∠DEM=∠DAE+∠ADE ∠DFN=∠DAF+∠ADF,∠CFN=∠CAF+∠C,所以 ∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+ ∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C,即 ∠BED+∠CFD=∠BAC+∠B+∠EDF+∠C.所以 72°+∠CFD=52°+25°+35°+30°，解得∠CFD=70°. M D N NC (第4题) 5.230°如图，设AF交BC于点P,DE交BC于点Q.因 为∠EOC=∠OPF+∠F,∠OPF=∠A+∠B,所以 ∠EOC=∠A+∠B+∠F=115°.因为∠EOC=∠OQE+ ∠E,∠OQE=∠C+∠D,所以∠EOC=∠C+∠D+ ∠E=115°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 115°+115°=230°. C 1159 0 0 (第5题) 6.70°连结BC.因为∠BDC=120°，所以∠DBC+ ∠DCB=180°-∠BDC=60°.因为∠BGC=95°，所以 ∠GBC+∠GCB=∠GBD+∠GCD+∠DBC+∠DCB= 180°-∠BGC=85.所以∠GBD+∠GCD=-85°-60°= 25°.因为BF平分∠ABD,CE平分∠ACD,所以∠ABD= 2∠GBD,∠ACD=2∠GCD.所以∠ABD+∠ACD= 2(∠GBD+∠GCD)=2X25°=50°.所以∠ABC+∠ACB= ∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=50°+60°=110°.所 以∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=70°. 7.(1)在“对顶三角形”△AOE与△COD中，根据题中性 质，可知∠EAO+∠AEO=∠C+∠D.因为∠EAO= ∠C,所以∠AEO=∠D.因为∠D=2∠B,所以∠AEO= 2∠B.又因为∠AEO=∠EAB+∠B,所以∠EAB=∠B. (2)设∠DBE=x,∠BDC=y.因为∠ECD比∠DBE大 20°，所以∠ECD=x+20°.在“对顶三角形”△ECO和 △DBO中，∠ECD+∠BEC=∠DBE+∠BDC,即x+ 20°+∠BEC=x+y,所以∠BEC=y-20°.因为∠BOD= ∠A,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180° ∠BOD=x+y.所以∠ABC+∠DCB=∠ABC+ ∠ACB-∠ED=x+y-(x+20)=y-20°.因为 ∠ABC+∠DCB+∠BDC=180°，所以y-20°+y=180°， 解得y=100°.所以∠BDO=100°. 8.C因为AD平分∠EAC,所以∠EAC=2∠EAD.因为 ∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,所以∠EAC= 2∠ABC.所以∠EAD=∠ABC.所以AD∥BC.故①正确. 因为ADBC,所以∠ADB=∠DBC.因为BD平分∠ABC, ∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠ACB=2∠DBC= 2∠ADB.故②正确.因为∠DCF+∠ACD+∠ACB= 180°，CD平分∠ACF,所以∠ACD=∠DCF,2∠DCF+ ∠ACB=180°.因为∠BDC+∠DBC=∠DCF,所以 2∠BDC+2∠DBC+∠ACB=180°.所以∠ABC+ 2∠BDC+∠ACB=180°.因为∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180,所以∠BAC=2∠BDC,即∠BDC=号∠BAC.放③ 正确.因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=2∠ABD.因为 CD平分∠ACF,所以∠ACF=2∠DCF.又因为∠ABC= ∠ACB,∠ACF+∠ACB=180°，所以2∠DCF+∠ABC= 2∠DCF+2∠ABD=180°，即∠DCF+∠ABD=90°.因为 AD∥BC,所以∠ADC=∠DCF.所以∠ADC+∠ABD= 90°，故④不正确.综上所述，正确的结论有3个 9.51°因为BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,所以 ∠ABC=2∠A'BC,∠ACB=2∠A'CB.因为∠A'BC+ ∠A'CB+∠BA'C=180°，∠BA'C=114°，所以∠A'BC+ ∠A'CB=180°-114°=66°.所以∠ABC+∠ACB= 2(∠A'BC+∠A'CB)=2×66°=132°.所以∠A=180° (∠ABC+∠ACB)=-180°-132°=48°.所以∠ADE+ ∠AED=180°-∠A=180°-48°=132°.由翻折可得， ∠A'DE=∠ADE,∠A'ED=∠AED,即∠A'DA= 2∠ADE,∠A'EA=2∠AED,∠A'DA+∠A'EA= 2(∠ADE+∠AED)=2×132°=264°.因为∠1+∠ADA'= 180°，∠2+∠AEA'=180°，所以∠1=180°-∠ADA',∠2= 180°-∠AEA.所以∠1+∠2=360°-（∠ADA'+ ∠AEA')=360°-264°=96°因为∠1=45°，所以∠2=96° ∠1=96°-45°=51°. 1.4全等三角形 1.CABD中的两个图形，不能够完全重合，不是全等图 形.C中的两个图形，能够完全重合，是全等图形. 2.C因为△ABC2△A'B'C,所以∠B=∠B'=20°.所以 ∠A'CB'=180°-∠B-∠A′=180°-20°-70°=90°.所 以∠ACA'=∠A'CB'-∠ACB'=90°-30°=60°. 3.12因为△BDE2△CDA,AB=7,AC=5,所以DE= DA,BE=CA=5.所以BD+DE=BD+AD=AB=7.所 以△BDE的周长=BD+DE+BE=AB+AC=7+5=12. 4.答案不唯一，如图所示 (第4题) 5.D因为△ADB≌△EDB≌△EDC,所以∠A= ∠DEB=∠DEC,∠ABD=∠EBD=∠C.因为∠DEB+ ∠DE℃=180°，所以2∠DEB=180°.所以∠DEB=90° 所以∠A=90°.在△ABC中，因为∠A+∠ABC+∠C= 180°，即∠A+∠ABD+∠DBE+∠C=180°，所以90°+ 3∠C=180°.所以∠C=30°. 6.D当△ABC≌△PQA时，AC=PA=8cm.因为点P 运动的速度为2cm/s,所以点P运动的时间为8÷2= 4(s).当△ABC2△QPA时，BC=PA=4cm.因为点P 运动的速度为2cm/s,所以点P运动的时间为4÷2= 2(s).所以点P运动的时间为2s或4s 方法归纳 根据全等三角形的性质解决问题 条件中给出三角形全等，常常需要运用全等三角形 的性质，揭示其隐含的边或角之间的关系.由于三角形 对应元素之间的不确定性，解决这类问题的一般方法是 运用分类讨论的数学思想，对其中的边或角进行分类并 加以讨论，建立恰当的方程，从而求得结果 7.(180-2x)延长CD交AC于点G.因为△ADC≌ △ADC',△AEB≌2△AEB',∠BAC=x°，所以∠ACD= ∠C',∠CAD=∠C'AD=x°，∠BAE=∠B'AE=x°， ∠ABE=∠B'.所以∠CGC=∠C'+∠C'AG=∠C'+ 2x°.因为CD∥EB',所以∠AEB'=∠C'GC.因为 ∠AEB'=180°-∠B'-∠B'AE=180°-∠B'-x°，所以 ∠C+2x°=180°-∠B'-x°.所以∠C'+∠B'=180°- 3x°.因为∠BFC=∠DBF+∠BDF=∠B'+∠BDF, ∠BDF=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠C',所以 ∠BFC=∠B'+∠CAD+∠C'=∠CAD+(∠C'+ ∠B)=x°+180°-3x°=(180-2x)°. 8.因为△ABC≌△ADE,所以∠ACB=∠AED, ∠ABC=∠ADE,∠CAB=∠EAD.因为∠ADE=25°，所 以∠ABC=∠ADE=25°.因为∠ACB=105°，所以 ∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=-180°-105°-25°=50°. 所以∠EAD=∠CAB=50°.又因为∠CAD=10°，所以 ∠DFB=∠DAB+∠ABC=∠CAB+∠CAD+∠ABC= 50°+10°+25°=85°，∠AGB=∠ACB-∠GAC= ∠ACB-(∠EAD+∠CAD)=105°-(50°+10°)=45°. 9.(1)3.因为△ABC≌△DEB,DE=8,BC=5,所以 AB=DE=8,BC=EB=5.所以AE=AB一EB=8一5=3. (2)①因为△ABC≌△DEB,∠D=35°，∠C=60°，所以 ∠A=∠D=35°，∠C=∠DBE=60°.因为∠A+ ∠ABC+∠C=180°，所以∠ABC=180°-∠A-∠C= 85°.所以∠DBC=∠ABC-∠DBE=85°-60°=25°. ②因为∠AEF是△DEB的外角，所以∠AEF=∠D十 ∠DBE=35°+60°=95°.因为∠AFD是△AEF的外角， 所以∠AFD=∠A+∠AEF=35°+95°=130°. 3a一2b=5, 10.5或4因为两个三角形全等，所以 或 a+2b=7 3a-2b=7, 解得=3或a=3, 或{ 所以a+b=5或a+ a+2b=5, (b=2{b=1. b=4. 11.设AE与DC交于点P.因为∠1：∠2：∠3=13：3： 2,所以易得∠1=130°，∠2=30°，∠3=20°.因为△ABE≌ △ADC≌△ABC,所以∠DCA=∠E=∠3=20°， ∠EAB=∠1=130°.所以∠PAC=360°-∠1-∠EAB= 100°.所以∠EPD=∠APC=180°-∠PAC-∠DCA= 60°.所以∠E0C=180°-∠EPD-∠E=180°-60°- 20°=100°. 1.5三角形全等的判定 第1课时用“SSS”判定三角形全等 1.B因为AB=DC,BC=CB,所以当添加条件AC=DB 时，△ABC≌△DCB(SSS). 2.三角形的稳定性为了保证使用安全，可将双人漫步机 的支架做成三角形结构，使器材更加稳固，这样做是利用 了三角形的稳定性 3.96°根据作图过程可知，∠HCO=∠AOB=48°，所以 ∠AHC=∠HCO+∠AOB=96.