专题2.3.1等腰三角形的性质定理（第1课时 等边对等角）（一课一练））2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.3.1等腰三角形的性质定理（一课一练） （第1课时 等边对等角） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【来源】第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．分类讨论这个的角是等腰三角形的顶角还是底角，再进一步求解即可． 【详解】解：若的角是顶角，则底角是， 若的角是底角，则底角是． 故选：C． 2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【来源】题型专练 专练一 尺规作图与网格作图 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先根据作图步骤得出是的垂直平分线，得到，进而推出角的关系，再结合已知条件和三角形内角和定理求解的度数． 【详解】解：∵由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴． 在中，，且， ∴， ∴， ∴，即． 故选：． 3．如图，，则等于（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省哈尔滨市南岗区工大附中2020-2021学年 上学期八年级期末模拟数学（五四制）测试（六） 【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据等腰三角形性质推出，证明，得到，再结合三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，按以下步骤作图： ①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于D，交于E； ②分别以D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F； ③作射线交于G． 如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】宁夏吴忠市盐池县部分校2024-2025学年八年级上学期期末联考数学试题 【分析】本题考查了角平分线的定义、等边对等角、三角形内角和定理，由作图可得平分，从而得出，结合等边对等角可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即的度数为， 故选：C． 5．如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，则的度数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】 陕西省西安市阎良区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵点P是线段AB上的一个动点， ∴， ∴的度数可能是． 故选：C． 6．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北省邢台市威县七级中学2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，D、E分别是、上的点，且，与相交于点O，则图中全等三角形共有（    ）对 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】辽宁省辽阳市辽中区 2024-2025 学年下学期期中教学质量监测数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由判定，推出，判定，由，得到，判定． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中全等三角形共有3对． 故选：B． 8．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】 江苏省南通市海安市南莫中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷 【分析】连接， ，过A作于E，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到．本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【详解】解：如图，连接，，过A作于E， ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形中， ， ∴， ∴ 故选：B． 9．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，，，点D是斜边上的一点，连接，与关于对称，连接并延长交的延长线于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年山东省泰安市泰山学院附属中学中考三模数学试题 【分析】本题考查轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，对称性得到，进而得到，设，求出的度数，再进行计算即可． 【详解】解：∵与关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵； 故选C． 10．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年山西省怀仁市第四中学九年级数学中考模拟试卷 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，求出可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在 中，的垂直平分线交边于点E，交边于点 D，连接．若 ，，则 【答案】 【来源】内蒙古包头市青山区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出的度数，计算出结果． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【来源】广东省汕头市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， 则顶角为； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 13．如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 【答案】/45度 【来源】湖北省武汉市2019-2020学年八年级上学期10月月考数学试题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再设，根据三角形的外角性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形的内角和定理可得，求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，则 ． 【答案】 【来源】2020-2021学年人教版八年级上册数学第一学期期中检测题 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于、等腰三角形等边对等角是解题的关键．根据线段垂直平分线的概念得到，进一步求出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， ，， 又， ， 又， ， ． 故答案为：． 15．如图，，，，点D在边上，与相交于点O；若，的度数 ． 【答案】/70度 【来源】重庆市实验外国语学校2025-2026学年上学期八年级入学数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 根据全等三角形的判定先判断，得到，根据等腰三角形的性质即可知的度数． 【详解】解： ∵， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 16．如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ． 【答案】 【来源】广东省深圳市光明区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、等边对等角，由折叠的性质可得，证明，得出，由等边对等角可得，再由邻补角的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】/90度 【来源】湖南省衡阳市衡南县栗江镇隆市初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，中，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得；……，按此做法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【来源】山东省济宁市实验初中2024-2025学年下学期八年级3月月考数学试题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得，从而推出答案． 【详解】解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． ∴当时，； 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在中，，点，在上，．猜想与相等吗？并说明理由． 【答案】相等．理由见解析 【来源】第十五章 轴对称15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 【分析】本题考查的知识点为等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质．首先根据等腰三角形的性质:等腰三角形()的两底角相等()，再根据三角形全等的判定:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，本题中，，，可证；最后根据三角形全等的性质:全等三角形的对应角相等，可推出对应角． 【详解】解：相等． 理由： ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 20．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数． 【答案】或 【来源】第十五章轴对称 专题5 等腰三角形中的分类讨论思想 【分析】根据等腰三角形的定义，性质，分高在三角形的内部和外部两种情形解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，高，定义，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若顶角，如图①． ， ． ， ． ∵， ； ②若顶角，如图②． 同（1）可得．， ． ∵， ． 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为或． 21．如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由． （1）∵中，， ∴________（________）． （2）∵中，，， ∴垂直平分________（________）． （3）∵中，，， ∴________（________） （4）∵中，，， ∴________（________）． 【答案】（1）；等边对等角；（2）；三线合一 ；（3）；三线合一；（4）；三线合一 【来源】第十五章 轴对称15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，利用三线合一和等边对等角逐题完善几何语言，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵中，， ∴（等边对等角）； （2）∵中，，， ∴垂直平分（三线合一）； （3）∵中，，， ∴（三线合一）； （4）∵中，，， ∴（三线合一）； 故答案为： ；等边对等角；；三线合一 ；；三线合一；；三线合一． 22．如图，在中，按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点； (2)作直线交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【来源】2024年甘肃省定西市中考数学预测卷2 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）由（）得为的垂直平分线，即得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质及内角和定理解答即可； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质、三角形的外角性质及内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（）得，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖南省桂阳县鹿峰中学2021--2022学年八年级上学期数学竞赛试题 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【来源】第十三章 三角形 单元测试-2025-2026学年人教版八年级上册数学 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.3.1等腰三角形的性质定理（一课一练） （第1课时 等边对等角） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，，则等于（    ）     A． B． C． D． 4．如图，在中，按以下步骤作图： ①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于D，交于E； ②分别以D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F； ③作射线交于G． 如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，则的度数可能是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，D、E分别是、上的点，且，与相交于点O，则图中全等三角形共有（    ）对 A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，，，点D是斜边上的一点，连接，与关于对称，连接并延长交的延长线于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在 中，的垂直平分线交边于点E，交边于点 D，连接．若 ，，则 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 13．如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 14．在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，则 ． 15．如图，，，，点D在边上，与相交于点O；若，的度数 ． 16．如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ． 17．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 18．如图，中，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得；……，按此做法进行下去，的度数为 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在中，，点，在上，．猜想与相等吗？并说明理由． 20．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数． 21．如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由． （1）∵中，， ∴________（________）． （2）∵中，，， ∴垂直平分________（________）． （3）∵中，，， ∴________（________） （4）∵中，，， ∴________（________）． 22．如图，在中，按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点； (2)作直线交于点，连接，若，，求的度数． 23．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $