精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（领航班）

广安加德学校2024-2025学年度上期高2024级领航班 第一次月考数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（） A. B. C. D. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（ ） A. 3m B. 6m C. 9m D. 12m 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一函数 C. 已知幂函数在上单调递增，则实数的值为2 D. 已知的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 在区间上单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 在区间上共有个实根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________. 13. 已知集合，，且，则实数的取值范围是____________． 14. 已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 在①；②“”是“”的必要不充分条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 17. 函数的定义域为，对于，，，且当时，． （1）证明：为减函数； （2）若，求不等式的解集． 18. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14.013 12 10.8 10.381 （1）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； （2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 19. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2024-2025学年度上期高2024级领航班 第一次月考数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解判断即得. 【详解】由，，得，而全集， 所以. 故选：D 2. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，改变量词，否定结论，由此可得出结果. 【详解】由全称命题的否定可知，命题，的否定为“，”. 故选：A. 【点睛】本题考查全称命题的改写，属于基础题. 3. 函数的定义域为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：D. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别代入求值. 【详解】由解析式可知，. 故选：D 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数的性质，以及零点的位置，确定或的解集，在求解不等式的解集. 【详解】在区间上，函数单调递增，且， 所以在区间，，在区间，， 因为函数为奇函数，所以， 在区间，，在区间，， 不等式等价于或， 所以不等式的解集为. 故选：C 8. 已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（ ） A. 3m B. 6m C. 9m D. 12m 【答案】A 【解析】 【分析】由判断关于点成中心对称，进而判断函数与图象的交点关于点对称，由此求出和的值，即可得答案. 【详解】由函数满足可得， 即函数关于点成中心对称， 由函数，其图象可由向上平移3个单位得到， 故关于点成中心对称， 则函数与图象的交点为，，…，必关于点对称， 不妨设，和关于对称，依此类推； 设，则， 故， 同理令，可得， 故， 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用特殊值判断B、D，根据指数函数的性质判断A，根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：因为且在定义域上单调递增，所以，故A正确； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：因为且在定义域上单调递增，所以，故C正确； 对于D：当时与均无意义，故D错误； 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一函数 C. 已知幂函数在上单调递增，则实数的值为2 D. 已知的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义即可判断A，根据函数定义域的不同即可求解B，根据幂函数的单调性即可求解C，由抽象函数的定义域，结合整体法即可求解D. 【详解】对于A，若，必有，反之，若，解可得或，故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B，函数，其定义域为， 而函数，其定义域为或，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递增，所以，解得C正确； 对于D，已知的定义域为，则有，解可得，即函数的定义域为，D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 在区间上单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 在区间上共有个实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先利用赋值，确定，再根据周期函数的性质确定函数的周期，判断A；并利用周期和条件判断B；结合条件和对称性的定义，即可判断C；根据一个周期的零点个数，结合周期，即可判断D. 【详解】令，则，则， 因为函数是R上的偶函数，则， 所以，即， 那么， 所以函数的一个周期为，故A错误； 因为函数在区间上是增函数，且为偶函数，则在区间为减函数， 函数的周期为12，则函数在区间为减函数，故B正确； 因为函数满足，所以函数关于对称，故C正确； 根据以上可知，，且在区间上是增函数，为减函数， 所以函数在一个周期内有2个零点，， 即在区间有168个周期，其中包含336个零点，在区间中， 其中，所以在区间有个零点， 则在区间有个零点，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：首先求函数的解析式，再求函数值；法二：直接赋值,求函数值. 【详解】法一：令，则， ， 即. 法二：直接令，得. 故答案为： 13. 已知集合，，且，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据二次函数的性质求出集合，最后根据交集的结果计算可得. 【详解】因为， ， 所以， 又，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式在上恒成立，按照分段函数，分段处理，结合参变分离求最值即可得实数a的取值范围. 【详解】解：在上恒成立， 则当时，恒成立，所以，又，即， 故当时，，所以； 当时，恒成立，所以， 又 当且仅当，即时，等号成立，所以，所以； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 【答案】（1）7；（2）65 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算法则计算即可； （2）配凑立方和公式求解. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以，所以， 所以. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 在①；②“”是“”的必要不充分条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）； （2） 选①②，均有.选③，或. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，把代入，利用并集的定义求解作答. （2）选①，利用列式求解作答；选②，转化为列式求解作答；选③，利用给定的交集结果列式求解作答. 【小问1详解】 依题意，，当时，， 所以. 【小问2详解】 选①，，由（1）知，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 选②，因“”是“”的必要不充分条件，则，由（1）知，， 因此或，解得或，即有， 所以实数的取值范围是. 选③，，由（1）知，， 因此或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 17. 函数的定义域为，对于，，，且当时，． （1）证明：为减函数； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1） 设，且， 则，， 因为， 所以，即为减函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明； （2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 令，则，即， 所以， 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 18. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14.013 12 10.8 10.381 （1）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； （2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】（1）选择模型②，； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据指数型函数的单调性以及反比例函数的单调性，即可结合表中数据作出判断和求解， （2）利用基本不等式以及函数的单调性即可求解最值得解. 【小问1详解】 由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②， 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据， 即，解得，可以检验相对合理，从而； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，由基本不等式得，仅当时取到最小值， 当时，，由单调性的性质可得在上单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，综上所述，当时取得最小值. 19. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；在上单调递增； （2），； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为关于原点对称， 且，满足是奇函数， 又由， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即，所以函数是上的单调递增函数. 【小问2详解】 解：由（1）得， 可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 解：由在区间[1，2]上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $