精品解析：浙江省杭州市建兰中学2025--2026学年上学期九年级月考数学试卷

2025学年第一学期九年级9月学力调研 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场号、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D. 在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 3. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 4. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动，如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（ ）． A. 6 B. C. D. 20 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D. 相等的圆心角所对的弧相等 6. 已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A. B. C. D. 7. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，O为上一点，以为半径的圆经过点A，且与、交于点N、M，设，，则（ ） A. 若，则所对应的圆心角为 B. 若，则所对应的圆心角为 C. 若，则所对应的圆心角为 D. 若，则所对应的圆心角为 10. 已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知的直径为9，若，则点与的位置关系是__________． 12. 将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为_____________． 13. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 14. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 15. 如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 16. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于_______， （）若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （）若，，求外接圆的直径长． 18. 如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐． （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________； （2）若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点，的坐标：_______，_______； （2）若点是内任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标：________． 20. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并写出对称轴和顶点坐标； （2）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 21. 如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元/千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元/千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元/千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 23. 已知二次函数，图象经过点，，． （1）当时， ①求二次函数的表达式； ②当时，随的增大而增大，求的取值范围； （2）若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 24. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级9月学力调研 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场号、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D. 在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件与随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义即可判断． 【详解】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意； B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意； C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意； D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 4. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动，如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（ ）． A. 6 B. C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率．根据频率稳定在左右，得到概率为，进而得到黑色部分的总面积比上正方形的面积为，进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为， ∴黑色部分的总面积； 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，圆的基础知识，垂径定理，三角形外心，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，原说法错误，故该选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，故该选项不符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，原说法正确，故该选项符合题意； D、在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系． 【详解】二次函数， 对称轴为， ， 时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ，，在二次函数的图象上，且，， ． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∴中， ，， 所以， 解得． 故选：D． 8. 二次函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象与二次函数的系数之间的关系，抛物线的对称轴，特殊点和最值，逐一进行判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ． 对称轴为直线， ，，选项B正确； 当时，， 当时，． ． ，选项A正确； 当时，， 当时，． ，选项C错误； 当时，函数取最小值， ，即，选项D正确， 故选C． 9. 如图，已知，O为上一点，以为半径的圆经过点A，且与、交于点N、M，设，，则（ ） A. 若，则所对应的圆心角为 B. 若，则所对应的圆心角为 C. 若，则所对应的圆心角为 D. 若，则所对应的圆心角为 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，再由三角形外角的性质，得到，再根据选项求解即可． 【详解】连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当，， 则所对应的圆心角为， 故D正确，符合题意； 其余均是错误， 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，连接构造直角三角形是解题关键． 10. 已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴时，t有最小值为：． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知的直径为9，若，则点与的位置关系是__________． 【答案】点在外 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．首先求出圆的半径，然后比较与的大小即可得出结论．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：的直径为9， 的半径为4.5， 又， ， 点在外． 故答案为：点在外． 12. 将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为：， 即：， 故答案为： 13. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 【答案】四##4 【解析】 【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； 所以密码的位数至少需要四位， 故答案为：四． 14. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 【答案】2或14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 15. 如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于_______， （）若，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而得到，再根据得到，即得，最后根据三角形外角性质解答即可求解； （）过作于，连接，可得，即得的半径为， 由等腰三角形的性质得，又可得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵劣弧沿弦翻折交于点，和都对， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）过作于，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （）若，，求外接圆的直径长． 【答案】（）如图所示，即为所求； （） 【解析】 【分析】（1）分别作边的垂直平分线，交于点，以为圆心，的长为半径作圆即可； （2）连接并延长交于点，连接，则，，得到为等腰直角三角形，即得，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接并延长交于点，连接， 则， ∵是的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴外接圆的直径长为． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 18. 如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐． （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________； （2）若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 画出树状图如图， 共有16种等可能结果，符合题意的有6种， ∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为 【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式与画树状图法求概率是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点，的坐标：_______，_______； （2）若点是内任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标：________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键． （1）分别找出、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据各点坐标的变化规律即可得出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵点，，点的坐标是，的坐标是， ∴点P的对应点的坐标是． 故答案为：． 20. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并写出对称轴和顶点坐标； （2）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】（1），对称轴为轴，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． 21. 如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证； （）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元/千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元/千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元/千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，再利用待定系数法解答即可； （）求出与之间的二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入得， ， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，的值取最大，元， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 23. 已知二次函数，图象经过点，，． （1）当时， ①求二次函数的表达式； ②当时，随的增大而增大，求的取值范围； （2）若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 又∵这三个实数中，只有一个是正数， ∴和都是非正数，是正数， ∴， 解得， ∴． 【解析】 【分析】（）当时，将点代入函数解析式解答即可求解；②根据二次函数的性质解答即可求解； （）由二次函数的对称性可得，进而得到和都是非正数，是正数， 即得，解不等式组即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：①当时，将点代入函数解析式得，， 解得， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径，， ． ， ， ， ． （2） 证明：如图，连接． ． ， ∴． 是的直径， ． 是的直径，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ． （3）的长为1 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则． ， 为的中位线， ． 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 在Rt中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $