精品解析：云南省楚雄彝族自治州2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，解三角形，立体几何与空间向量，统计与概率. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 6. 某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据： 使用年限（年） 2 4 5 6 8 维护费用（千元） 2.75 4.25 6.25 7.25 8.75 已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为（ ） A. 9.75千元 B. 10.05千元 C. 10.25千元 D. 10.75千元 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（ ） A. 不平行是不平行的充分条件 B. 不相交是不相交的必要条件 C. 垂直且相交是垂直的充分条件 D. 平行或相交是异面的必要条件 11. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在上单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知集合，则__________. 14. 已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 16. 在菱形中，为线段的中点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点（如图2），连接. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 17. 课外阅读对于学生的综合发展是非常有利的，课外阅读能够充分调动学生的写作积极性，并且能够帮助其积累丰富的阅读知识，将学生的学习效率最大化，全面提高学生的写作质量.某市为了解高中生课外阅读时间的情况，随机抽取了1000名高中学生进行调查，得到了这1000名学生的平均每周课外阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求a，b的值； （2）为进一步了解这1000名学生的读书喜好，从平均每周课外阅读时间在，两组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记在这3人中，平均每周课外阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列与数学期望. 18. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 19. 定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． （1）求四棱锥在顶点处的离散曲率； （2）求四棱锥内切球的表面积； （3）若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，解三角形，立体几何与空间向量，统计与概率. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，根据交集的运算法则求解即可. 【详解】由，得，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】定义域需满足： 所以定义域为 . 故选：C 3. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分充分性、必要性两方面说明即可求解. 【详解】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件； 若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理即可求解. 【详解】因为，由余弦定理， ，即，解得或（舍）. 故选：D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即， 又，所以，解得， 即关于的不等式的解集为. 故选：C. 6. 某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据： 使用年限（年） 2 4 5 6 8 维护费用（千元） 2.75 4.25 6.25 7.25 8.75 已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为（ ） A. 9.75千元 B. 10.05千元 C. 10.25千元 D. 10.75千元 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后根据回归直线过样本的中心点得，将代入得，即可得解. 【详解】由题意可得， 由于回归直线过样本的中心点，所以，解得， 当时，， 所以当该品牌的新能源汽车的使用年限为9年时，维护费用约为10.05千元. 故选：B. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性与临界值比较的值，从而得解. 【详解】因为，即， ，即， 所以. 故选：D. 8. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解. 【详解】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求， 当时，开口向下，不满足题意， 所以， 令，得， 当时，不等式对任意的恒成立， 所以，即，且， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，则，根据正态分布的对称性得，结合选项即可判断. 【详解】设，则， 由服从正态分布得， 所以，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（ ） A. 不平行是不平行的充分条件 B. 不相交是不相交的必要条件 C. 垂直且相交是垂直的充分条件 D. 平行或相交是异面的必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面、面面的位置关系以及相关的判定定理和性质定理，直接判断可得结果. 【详解】不平行，有可能平行，故A错误； 若不相交，则不相交，故B正确； 若垂直相交，，可能不垂直，故C错误； 若异面，则平行或相交，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数方程，利用赋值法，结合奇函数定义、单调性定义逐项判断. 【详解】对于A，取，得，则，A正确； 对于B，取，得，则，对，取， 得，则，函数是奇函数，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，则，由当时，，得， 因此，在上单调递增，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】本题根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】由， 则. 故答案为：1. 13. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式求得集合，再利用集合的并集与补运算求解即可， 【详解】由，得，即，所以， 由，解得集合，所以， 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的棱长以及面面垂直、线面垂直性质，找出三棱锥的外接球球心位置，结合勾股定理求出外接球半径即可得出球的表面积. 【详解】取的中点为，连接， 设的重心为点，则点是上靠近的三等分点， 在中，取中点，过作垂直于的直线与的垂直平分线交于点. 由是边长为6的正三角形知，，且， 由得，且， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以平面，则到三个顶点的距离相等， 又在的垂直平分线上，所以到四点距离相等. 在中，由余弦定理得， 在中，， 所以，所以， 点与点重合，球半径， 所以球的表面积为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. 【小问1详解】 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 16. 在菱形中，为线段的中点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点（如图2），连接. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）由为线段的中点可得，再结合平面平面可得平面，进而结合等体积法求解即可. 【小问1详解】 证明：如图，取线段的中点，连接， 因为在中，分别是线段的中点， 所以. 因为为线段的中点，菱形中，， 所以， 所以， 则四边形为平行四边形，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 在菱形中，因为为线段的中点， 所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，所以是三棱锥的高. 而，则，， 则， 所以三棱锥的体积， 所以. 17. 课外阅读对于学生的综合发展是非常有利的，课外阅读能够充分调动学生的写作积极性，并且能够帮助其积累丰富的阅读知识，将学生的学习效率最大化，全面提高学生的写作质量.某市为了解高中生课外阅读时间的情况，随机抽取了1000名高中学生进行调查，得到了这1000名学生的平均每周课外阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求a，b的值； （2）为进一步了解这1000名学生的读书喜好，从平均每周课外阅读时间在，两组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记在这3人中，平均每周课外阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1）， （2）分布列： X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程，再结合可求出， （2）根据分层抽样的定义可求得从平均每周课外阅读时间在内的学生中抽取8人，内的学生中抽取2人，从而可知X的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，则可求得X的分布列与数学期望. 【小问1详解】 由频率和为1，得， 又，解得，. 【小问2详解】 由比例分配的分层随机抽样方法知，从平均每周课外阅读时间在内的学生中抽取8人，内的学生中抽取2人， 从该10人中抽取3人，则X的可能取值为1，2，3， ，，， 则X的分布列为： X 1 2 3 P 所以X的数学期望. 18. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出曲线在点处的切线方程，再把切线与曲线只有一个交点，转化成方程只有一个解，再分和两种情况讨论，即可求出的值； （2）把在区间上单调递增，转化成在上恒成立，再通过分离常数，构造函数，借助导数，求出在上的最大值，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即． 因为曲线在点处的切线与曲线只有一个交点， 所以方程只有一个解， 即只有一个解， 当时，方程只有一个解，符合题意； 当时，，即， 因为方程的，所以方程无解， 综上所述，实数的值为0． 【小问2详解】 由，可得． 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 令，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则，， 故实数的取值范围为． 19. 定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． （1）求四棱锥在顶点处的离散曲率； （2）求四棱锥内切球的表面积； （3）若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出、、的值，结合曲率的定义可计算出结果； （2）计算出四棱锥的表面积，根据等体积法计算出四棱锥内切球的半径，结合球体体积公式可求得结果； （3）过点作交于点，连接，推导出平面，分析可知，为直线与平面所成的角，然后设，利用余弦定理求出，利用三角形相似求出，结合函数基本性质求出的范围，即可得出结果. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得． 【小问2详解】 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以， 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积． 【小问3详解】 如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角． 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为． 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $