精品解析：四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025 年秋季学期第一学月学情检测 九年级 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间为 120 分钟．答卷前，考生 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．考试结束后，本试题卷由学生保管，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 注意事项：必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如需改动，用橡皮擦干净 后，在选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题 4 分，共 48 分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（         ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可化为（　　） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A. y的最大值为1 B. 开口向上 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. 图象的对称轴是y轴 4. 关于的方程根的情况是（    ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有1个实数根 5. 若点，，，都在二次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（ ） A. B. C. D. 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 9. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 10. 若m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. 15 B. C. D. 29 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A. 只有① B. 只有②④ C. 只有①②③ D. 只有①②④ 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本答题共5小题，每小题 4 分，满分 20分） 13. 方程化成一般形式是______． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 15. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程_______ 17. 如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为________． 三、解答题（本答题共8个题，共82分．） 18. 用适合的方法解下列方程：； 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 20. 已知二次函数． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象： x … 0 1 2 … … 4 … （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是__________________________________． 21. 已知关于的一元二次方程 有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两实根分别为与，若，求的值． 22. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． （1）用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； （2）求x的值． 23. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； （2）如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的右侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 25. 已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年秋季学期第一学月学情检测 九年级 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间为 120 分钟．答卷前，考生 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．考试结束后，本试题卷由学生保管，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 注意事项：必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如需改动，用橡皮擦干净 后，在选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题 4 分，共 48 分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（         ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A.的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B.化简得，是一元二次方程，故符合题意； C.当时，不是一元二次方程，故不符合题意； D.含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选B. 2. 一元二次方程配方后可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A. y的最大值为1 B. 开口向上 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. 图象的对称轴是y轴 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．分析开口方向、对称轴、最值及增减性，逐项判断即可． 【详解】A．函数中，二次项系数，抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为，即函数有最小值1，而非最大值，说法错误； B．，抛物线开口向上，说法正确； C．对称轴为轴（），当时（对称轴左侧），函数值随的增大而减小，说法正确； D．二次函数的对称轴是y轴，说法正确； 故选：A． 4. 关于的方程根的情况是（    ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有1个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据题意求出的值，再判断根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴这个一元二次方程没有实数根． 故选：C． 5. 若点，，，都在二次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象特征，分别计算三个点的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解： 当时，； 当时，； 当时，； ． 故选：A． 6. 利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程． 【详解】解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故选：B． 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 8. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元一次方程的解，根据二次系数非零及根的判别式，找出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．分类讨论及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，即：时，方程为：，有实数根； 当时， 解得：且， 综上所述：， 故选：B． 9. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 10. 若m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. 15 B. C. D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系得到，，进而得到， 代入计算即可． 【详解】若m，n是方程的两根， 则，， ∴，即 ， 故选：A． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象与二次函数图象共存问题，根据一次函数与二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵当时，， ∴一次函数的图象过定点，故A，C不符合题意； B、由二次函数的图象可得：，顶点在y轴的负半轴上，由一次函数的图象可得：，图象与y轴的正半轴相交，，故此选项符合题意； D、由二次函数的图象的开口可得： ，由一次函数的图象可得： ，的范围不一致，故此选项不符合题意 故选B． 12. 对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A. 只有① B. 只有②④ C. 只有①②③ D. 只有①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意； ④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本答题共5小题，每小题 4 分，满分 20分） 13. 方程化成一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式进行变形即可． 【详解】解：方程化成一般形式是． 故答案为． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程定义得出，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握，． 根据根与系数的关系求出，，然后代入计算可得答案； 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 17. 如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ∴ 依此类推，则正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题（本答题共8个题，共82分．） 18. 用适合的方法解下列方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先将方程化为一般形式，使用配方法将方程转化为完全平方式即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 【答案】（1） （2） 解：， 无论为何值，方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式： （1）将代入一元二次方程求解即可； （2）用根的判别式求出再判断即可． 【小问1详解】 解：将代入一元二次方程． 得， 解得：． 【小问2详解】 略 20. 已知二次函数． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象： x … 0 1 2 … … 4 … （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是__________________________________． 【答案】（1）解：此抛物线的大致图像如下： （2）向上平移个单位 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值以及平移： （1）将表格中的各依次代入，求出对应，依次描点作图即可得到的图像； （2）根据二次函数图象平移规律，“上加下减，左加右减”即可； （3）分别解出不等式和的解，综合两个解即可． 【小问1详解】 时，， 时，， 时，， 时，． 【小问2详解】 抛物线是在的基础上，在值上加了，所以是向上平移个单位． 【小问3详解】 二次函数， 当时，， 即且， 当时，解得， 当时，解得或， 或， 当时，的取值范围是或． 21. 已知关于的一元二次方程 有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两实根分别为与，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系： （1）根据要求计算出根的判别式，再求解不等式得到的取值范围； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入等式求出． 【小问1详解】 关于的一元二次方程 有实数根， ， 解得． 【小问2详解】 方程的两实根分别为与， ， ， ， 即， 解得或， ， ． 22. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． （1）用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； （2）求x的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）由花圃面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一边长为， 则平行于墙长一边使用的篱笆的长度为，即； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 判别式， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，， 答：x的值为8． 23. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； （2）如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的右侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【答案】（1） （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答． （2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答． 【小问1详解】 解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， ∵菱形， ∴，． ∵轴， ∴轴， 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； 【小问2详解】 解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的右侧， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 25. 已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键． （1）解方程并根据定义进行判断即可； （2）解方程得到，，根据定义得到，即； （3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 该方程是差根方程； ， ， ， ， 该方程不是差根方程； 故答案为： 【小问2详解】 ， 因式分解得：， 解得：， 关于x的方程是“差根方程”， ； 【小问3详解】 设 当为斜边时，， ， ， ， 解得， ， 解得舍去，边长不能为负， ， 方程为， 当为斜边，则， ， ， ， 当时，时，解得由韦达定理可得方程为， 当时，(边长不能为负，舍去， 综上，这个差根方程为和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $