精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

高二月考数学 （120分钟 150分） 考试范围：北师大版《选择性必修第一册》第一章、第二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知椭圆经过点，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题错误的是（ ） A. 任意一条直线有且只有一个倾斜角 B. 当直线平行轴时，直线的倾斜角是 C. 直线可以表示所有直线 D. 直线（其中，不同时为0）可以表示所有直线 10. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（ ） A. 面积的最小值为6 B. 面积的最大值为12 C. 切线长的最小值是4 D. 切线长的最小值是 11. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. B. 直线与抛物线相切 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，且圆心在直线上的圆的圆心坐标为______. 13. 已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为______. 14. 直线经过点，且在轴上的截距是，在轴上的截距是，则此直线的方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为. （1）求使得圆的面积最小的的值； （2）过点作满足（1）中条件的圆的切线，切点分别为，，求直线的方程. 16. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，当取最大值时，其余弦值为，且点到上焦点的距离的最大值为9.又知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）求双曲线的标准方程； （3）设是双曲线与椭圆的一个交点，求的面积. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线，焦点为，点是抛物线上的一点，并且______. ①点的横坐标是3，它到焦点的距离是5； ②点到点的距离比它到直线的距离大1； ③抛物线的准线与圆相切. 从条件①②③中选择一个填在上面的横线上，解答下列问题. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为，求的最小值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18. 已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. （1）求平面内动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二月考数学 （120分钟 150分） 考试范围：北师大版《选择性必修第一册》第一章、第二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将直线变形为斜截式，根据直线经过象限分析斜率和截距可得. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， 直线经过第一、二、三象限，，， 且. 故选：B. 2. 已知椭圆经过点，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点在椭圆上，求得，即可求解. 【详解】因为椭圆经过点，所以，解得， 故椭圆的标准方程为， 所以，，则， 椭圆的焦点坐标为. 故选：B 3. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】写出直线方程与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，利用焦点弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得直线，与抛物线方程联立， 得. 设，，则，所以，故. 故选：A 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 5. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离和点到直线的距离公式，变形等式，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由方程，， 得，则， 即，可得动点到定点和定直线的距离的比值为常数. 由双曲线的定义，可得，解得. 故选：B 6. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出点，再利用切比雪夫距离的定义，即可求解. 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 7. 双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得，计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故选：D. 8. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆与坐标轴的交点坐标，进而逐个讨论计算即可. 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点坐标为， 而椭圆的焦点在轴. 当焦点坐标为，右顶点的坐标为时，，，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题错误的是（ ） A. 任意一条直线有且只有一个倾斜角 B. 当直线平行轴时，直线的倾斜角是 C. 直线可以表示所有直线 D. 直线（其中，不同时为0）可以表示所有直线 【答案】BC 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义可判断AB的正误，根据直线方程的点斜式、一般式的意义可判断CD的正误. 【详解】对于A，任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A项正确； 对于B，当直线平行于轴时，直线的倾斜角是，故B项错误； 对于C，直线不可以表示垂直于轴的直线，故C项错误； 对于D，直线可以表示所有直线，故D项正确. 故选：BC. 10. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（ ） A. 面积的最小值为6 B. 面积的最大值为12 C. 切线长的最小值是4 D. 切线长的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得坐标，由直线与圆的位置关系即可得到点到距离的最小值，从而判断AB，再由勾股定理代入计算，即可判断CD. 【详解】根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故， 圆的圆心到直线的距离， 圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为， 故面积的最小值，所以A项正确； 面积的最大值，所以选项B正确； 圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确. 故选：ABC. 11. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. B. 直线与抛物线相切 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，将点代入，即可求解；对于B，利用直线与抛物线位置关系的判断方法，即可求解；对于C，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，根据条件得，由根据系数的关系有且，，再求出，即可求解；对于D，利用选项C中结果得，即可求解. 【详解】对于选项A，因为点在抛物线上， 所以，解得，所以选项A错误； 对于选项B，因为抛物线，直线的方程为， 联立方程，消得，则，即与只有一个交点， 所以直线与抛物线相切，故选项B正确； 对于选项C，由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由，消去得，则，即，且，， 由题意可知，，， 则， 又因为，则，所以，故选项C错误； 对于选项D，因为 由选项C知，， 则， 因为，所以，故选项D正确， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，且圆心在直线上的圆的圆心坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的对称性确定圆心在的垂直平分线上，求该直线联立解方程即可. 【详解】因为，，所以线段的垂直平分线的方程为， 联立方程,解得所以该圆的圆心坐标为. 故答案为： 13. 已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系和椭圆的定义可知点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆，即可求解轨迹方程. 【详解】由题意，可作图如下， 因为点到，两点的距离相等，即， 所以， 则点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆， 其中，，解得，故其轨迹方程为. 故答案为： 14. 直线经过点，且在轴上的截距是，在轴上的截距是，则此直线的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分为直线的截距都不为0和为0两种情况，待定系数法求出直线方程. 【详解】当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 经过点，则，解得，故，即直线的方程为； 当直线的截距为0时，则直线过原点，设直线的方程为， 经过点，则，解得，即直线的方程为. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为. （1）求使得圆的面积最小的的值； （2）过点作满足（1）中条件的圆的切线，切点分别为，，求直线的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，根据半径的二次函数形式计算最值即可； （2）由直线与圆的位置关系确定在以为直径的圆上，结合两圆方程求公共弦即可. 【小问1详解】 圆的方程为， 该圆的半径. 要使圆的面积最小，即要其半径最小，故当时，圆的半径最小，即圆的面积最小. 【小问2详解】 当时，该圆的方程为，其圆心为. ，， 点，在以为直径的圆上， 易知的中点，，以为直径的圆的方程为， 即.联立方程， 两式相减得，即， 所求的直线的方程为. 16. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，当取最大值时，其余弦值为，且点到上焦点的距离的最大值为9.又知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）求双曲线的标准方程； （3）设是双曲线与椭圆的一个交点，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为.当点在椭圆左右顶点时，取最大值；当点在椭圆下顶点时，点到上焦点的距离最大.由此得到关系，根据求出，得到椭圆的标准方程. （2）由双曲线与椭圆有公共焦点且它们的离心率之和为，可得到双曲线的实半轴长和半焦距，从而求出双曲线的标准方程. （3）结合双曲线和椭圆的定义，得到的关系，利用余弦定理求得，从而求得，并求得的面积. 【小问1详解】 当取最大值时，为短轴的端点，如图1： 由，，，所以. 又点到上焦点的距离的最大值为9，如图2，即，解得，. 由，可得，椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，设双曲线的方程为，且. 由椭圆方程为，得到焦点坐标为，椭圆的离心率为. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，则. 因为椭圆与双曲线的离心率之和为，即，所以双曲线的离心率， 则，即，所以，故双曲线的方程是. 【小问3详解】 由（1）（2）结合椭圆和双曲线的定义，得，， 解得或又，所以在中， 由余弦定理得， 所以. 故的面积为. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线，焦点为，点是抛物线上的一点，并且______. ①点的横坐标是3，它到焦点的距离是5； ②点到点的距离比它到直线的距离大1； ③抛物线的准线与圆相切. 从条件①②③中选择一个填在上面的横线上，解答下列问题. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为，求的最小值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）选择①，根据抛物线的定义得，求得，即可求得抛物线方程. 选择②，设动点，由题意得，等式两边平方化简得，即可得解. 选择③，求出抛物线的准线方程，然后利用直线与圆相切列式求得，即可求得抛物线方程. （2）先求出直线恒过点，设，的中点为，则点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包含，点）.过点作垂直直线，过点作垂直直线，进而利用抛物线的定义及三点共线求得的最小值. 【小问1详解】 选择①.抛物线，其准线方程为， 由题意知，，抛物线方程为. 选择②.设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大1， 即动点到点的距离等于它到直线的距离， ，等式两边平方，得， 化简可得. 选择③.抛物线的准线方程为， 圆的圆心为，半径为1，直线与圆相切，则， ，解得，抛物线的方程为. 【小问2详解】 抛物线的方程为，，抛物线的准线方程为. 方程可化为， 过定点. 设，的中点为，则. ，为垂足，， ，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包含，）. 过点作准线的垂线，垂足为（如图），则， ， 当且仅当，，三点共线且在，之间时，等号成立， 过点作准线的垂线，垂足为（如图）， 则，当且仅当，，三点共线时，等号成立， ， 当且仅当，，，四点共线且在，之间时，等号成立， 的最小值为. 18. 已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. （1）求平面内动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题设得到结合椭圆定义即可求解； （2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理结合和数量积定义求出参数m即可得解. 【小问1详解】 由题意知，，， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（去掉长轴的两个端点）， 所以，，， ，动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 椭圆（去掉长轴的两个端点）的右焦点为， 当时，,则，此时或，此时不满足， 故过点的直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为， 代入方程中，消去得. 设，，则，， ，即，，， 则 ， 解得， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $