精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

玉溪一中2025-2026学年上学期高二年级月考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项. 【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为， 故选：C. 2. 已知空间三点，，共线，则实数的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线定理列出方程组，求解即得. 【详解】由，，可得， 因三点共线，故存在，满足，即， 则有，解得. 故选：A. 3. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：D 4. 已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出线段的中点，以及直线的斜率，进而利用点斜式求出方程即可. 【详解】由题意可得，线段的中点为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 方法一：因为，所以根据余弦的二倍角公式求解即可； 方法二：将条件式打开，然后观察其与目标式的关系然后求解. 【详解】法一：因为， 所以. 故选：C. 法二：因为，所以， 所以，平方得，得. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查给值求值问题，难度一般. 通常求解给值求值问题，要先将目标式化简，观察其与条件式的关系，然后再运用公式求解. 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D 7. 甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加不同学习小组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出所有情况和满足条件的情况，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】以表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B， 则试验的基本事件有,,,,,,,,，共9种， 其中两人参加不同学习小组的基本事件有,,,,,，共6种， 所以两人参加不同学习小组的概率为. 故选：C 8. 已知函数，则方程的解的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先解关于的方程得或，再结合函数图象，即可判断. 【详解】由方程可解得或，结合函数的图象，可得方程的解有6个. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 在区间上是增函数 D. 若在区间上是增函数，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由辅助公式得， 根据正弦函数的值域判断A； 用代入法验证B； 由可得，根据正弦函数的单调区间判断C； 由正弦函数在上单调递增，可得在上单调递增，从而判断D. 【详解】解：因为， 所以函数的值域为，故A正确； 又因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 当时，，由正弦函数的性质可知函数在不单调，故C错误； 由正弦函数的性质可知函数在上单调递增， 所以由，可得， 即函数在上单调递增， 又因为在区间上是增函数，所以， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 设，，动点满足，则动点的轨迹为双曲线 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 椭圆与双曲线有相同的焦点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A；由曲线方程表示椭圆列不等式求参数范围判断B；解一元二次方程，结合双曲线、椭圆离心率的性质判断C；根据方程直接写出椭圆、双曲线的焦点坐标判断D. 【详解】对于A，由， 结合双曲线的定义易知动点P的轨迹为双曲线的右支，故A错误； 对于B，由曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，，可得或， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故C正确； 对于D，椭圆中，则焦点为， 双曲线中，则焦点为， 即焦点相同，故D正确. 故选：CD. 11. 已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为4 C. 点到点的距离的最大值为6 D. 的最大值为18 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析面积的最大值、点到点的距离的最大值以及的最大值. 【详解】设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A正确； 已知，，则， 因为点在圆上，所以点到轴的最大距离就是圆的半径， 根据三角形面积公式可得面积的最大值为：所以B错误； 点，圆心，则， 因为点在圆上，所以点到点的距离的最大值为，C正确； 设点，则，， 所以， 因为，即， 代入上式可得：， 因为点在圆上，所以， 当时，取得最大值，最大值为，D正确； 故选： ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 13. 渐近线方程为，经过的双曲线标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】分双曲线焦点在x轴，y轴分类讨论，若在x轴上，设双曲线方程为：，由渐近线方程可得，代入，可得方程；若在y轴上，类似可得结果. 【详解】若双曲线焦点在x轴上，设双曲线方程为：，则， 则，代入，得， 则双曲线方程为：； 若双曲线焦点在y轴上，设双曲线方程为：，则， 则，代入，得，矛盾. 综上，双曲线方程为：. 故答案为： 14. 设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理结合等积法可求的值. 【详解】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. （1）求边AB上的高所在直线l的方程； （2）求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出直线AB的斜率，再求出AB上的高所在直线l的斜率，结合过点C，写出点斜式，整理为一般式即可； （2）根据直线AB的斜率，求出AB的中垂线斜率，结合AB的中点，得到AB的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心G，GA即为半径，根据圆心半径写出圆G的标准方程即可. 【小问1详解】 由已知得，直线AB的斜率为，所以AB上的高所在直线l的斜率为2，又点，所以AB上的高所在直线l的方程为，即. 【小问2详解】 因为AB的中点为，直线AB斜率为，则AB的中垂线斜率为2， 故AB的中垂线方程为，即，由，解得圆心，则圆G的半径， 故圆G的标准方程为. 16. 在中，角的对边分别是，且 （1）求角的大小 （2）若，且的面积为，求的周长 【答案】（1） ； （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，整理可得，再由余弦定理即可求解； （2）由的面积为可得，再由余弦定理可得，结合可求得，即可得到的周长. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得：， 因为  ，所以， 即  ， 即  ，由余弦定理， ，  ，  . 【小问2详解】 由三角形面积公式可得：  ，解得  ，  由余弦定理可得：，  解得：  ，则  三角形的周长为 6. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接与相交于点，连接， 正方形的对角线和交于点， 又，， 又平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，，可得平面的一个法向量为， 又由，有， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 18. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明如下： 由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 【解析】 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【小问1详解】 由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 【小问3详解】 略 19. 对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求ab的最小值． 【答案】（1）函数不具有性质，理由如下： 假设函数具有性质，因为的定义域为R， 则存在，对任意的，都有， 所以，所以对恒成立， 所以，此方程组无解， 所以函数不具有性质． （2）证明：因为函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即，所以，所以， 所以，所以，故为定值． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义，代入验证即可判断； （2）由性质的定义及对数运算性质，化简可得，再计算即可； （3）根据性质可得，再利用基本不等式求得即可求解. 【小问1详解】 函数不具有性质，理由略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数具有性质，定义域为，所以． 所以对任意的，都有． 即． 所以， 即，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 则，解得， 所以ab的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025-2026学年上学期高二年级月考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 2. 已知空间三点，，共线，则实数的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 3. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加不同学习小组的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程的解的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 在区间上是增函数 D. 若在区间上是增函数，则的最大值为 10. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 设，，动点满足，则动点的轨迹为双曲线 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 椭圆与双曲线有相同的焦点 11. 已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为4 C. 点到点的距离的最大值为6 D. 的最大值为18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 13. 渐近线方程为，经过的双曲线标准方程为______． 14. 设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. （1）求边AB上的高所在直线l的方程； （2）求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 16. 在中，角的对边分别是，且 （1）求角的大小 （2）若，且的面积为，求的周长 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 19. 对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求ab的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $