精品解析：四川省绵阳市东辰学校2025--2026学年九年级上学期九月开学数学测试卷

绵阳市东辰学校2025年秋季九月九年级数学测试卷 （满分150分，时间120分钟） 一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、未知数的最高次数为3，是三次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，是二元方程，不符合题意； D、不是整式方程，是分式方程，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程满足的条件是解答的关键． 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线解析式确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 4. 抛物线，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 都有最大值 C. 对称轴都是轴 D. 顶点都是原点 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线，开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点在原点； 开口向下，有最大值，对称轴是y轴，顶点在原点； ∴两个函数的共同性质是顶点在原点，对称轴是y轴． 故选：D． 5. 要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 6. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ） A. 12 B. 12或9 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】方程分解因式得：(x−2)(x−5)=0， 解得：x=2或x=5， 当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，不能构成三角形，舍去； 当2为底时，三边长为5，5，2，周长为5+5+2=12. 故选A. 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：因为关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 又因为是一元二次方程， 所以． 所以，的取值范围是且， 故选． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案． 【详解】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意； D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系． 10. 如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？ 若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据横竖彩条宽度间的关系，可得出竖彩条的宽为，进而可得出除彩条部分外的九块区域可合成长为，宽为的长方形，再结合彩条所占面积是图案面积的三分之一，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：横、竖彩条的宽度比为，且横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽度为 除彩条部分外的九块区域可合成长为，宽为的长方形， 根据题意可得：， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11. 关于未知数x的方程kx2+4x﹣1=0只有正实数根，则k的取值范围为（　　） A. ﹣4≤k≤0 B. ﹣4≤k＜0 C. ﹣4＜k≤0 D. ﹣4＜k＜0 【答案】A 【解析】 【分析】1、观察题目，关于未知数x的方程kx2＋4x－1＝0只有正实数根，k不确定，需分情况进行解答； 2、当k＝0时，方程是一元一次方程，求出方程的根即可判断出k＝0是否满足条件；想一想k≠0时，要使方程只有正实数根，需满足什么条件？ 3、当k≠0时，方程是一元二次方程，只有正实数根，则应满足：△≥0，x1＋x2＞0，x1•x2＞0，建立关于k的不等式，进而即可求得此时k的取值范围． 【详解】当k＝0时，方程是一元一次方程，方程是4x－1＝0，解得x＝，是正根； 当k≠0时，方程是一元二次方程． ∵a＝k，b＝4，c＝－1， ∴△＝16＋4k≥0， x1＋x2＝＞0， x1•x2＝＞0． 解得：－4≤k＜0． 则－4≤k≤0． 故答案选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及分情况讨论的思想，分a＝0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键． 12. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ AD的长就是方程的正根． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若是关于的二次函数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：对于任意实数x，二次函数可以表示为（a，b，c为常数，且）；其中，x为自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项，准确分析计算是解题的关键． 根据二次函数的定义得到且，然后进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知，是抛物线上的两点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，已知自变量求函数值，计算出是解决本题的关键．将，分别代入，计算出，即可比较大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 【答案】8 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出8根小分支， 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 16. 若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则_________0．（填写“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】根据题意，先把题目中给的二次函数的顶点式转换成一般式，然后得到对应的系数，，，最后求出判断它与零的大小关系． 【详解】∵，∴，，，∴， 故答案为：<． 【点睛】本题考查二次函数顶点式转换成一般式以及一般式的各个项的系数，需要注意在说到二次函数各项系数的时候是根据一般式来的，本题要先进行转换． 17. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∵是方程的根， ∴将代入得，即， 再将其代入到中得 ， 将，代入得 ， 故答案为：12． 18. 已知，且，则代数式的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的得出根与系数的关系是解决本题的关键． 先将两边同时除以，进而可以分析m与n的关系，最后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：将可得，方程两边同时除以， 得，即， ∵， ∴m和同时满足， 又∵， ∴， ∴m和是的两个不同根， ∴， ∵ ， 将代入，原式， 故答案为：11． 三．解答题（本大题共7小题，共90分） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）先移项，再运用提公因式法进行求解即可； （2）运用公式法求解即可； （3）运用因式分解法求解即可； （4）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解： ， ∴ ， ∴，． 20. 关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2＋1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值． 【答案】（1）k≤0；（2）﹣2﹣ 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到：，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到，，再由得到k2＋1＋4（k﹣1）＋4＝11，解方程可得到满足条件的k值． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得：； （2）根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数的关系列出方程或者不等式． 21. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【答案】（1） （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为： 把代入抛物线的解析式得： 解得： 所以抛物线为： 【小问2详解】 解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间， 所以当时， 而 所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键. 22. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】（1）当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）当移动3秒时，四边形的面积为，理由： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； 【小问2详解】 略 23. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为 （2）这种玩具应降价2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． 【小问2详解】 解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 24. 综合与实践．实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵， ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． （2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． （1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为； 【小问2详解】 解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 25. 如图1，抛物线与轴交于点A，（A点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时（不含、点），设面积为S，写出S与点横坐标的函数关系，并写出的取值范围． （3）求（2）的条件下，S的最大值．在 【答案】（1） （2），x的取值范围为 （3）S的最大值为6 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合，掌握二次函数图像的性质、待定系数法求解析、数形结合和正确的做出辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交于E点，根据题意，求出直线的解析式，进而求出点P的坐标和E的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据二次函数顶点式的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 又∵，， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于E点， ∵点横坐标为， ∴设，， ∴， ∴ ， ∵点在直线上方运动， ∴x的取值范围为； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市东辰学校2025年秋季九月九年级数学测试卷 （满分150分，时间120分钟） 一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 都有最大值 C. 对称轴都是轴 D. 顶点都是原点 5. 要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 6. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ） A. 12 B. 12或9 C. 9 D. 7 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？ 若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 关于未知数x的方程kx2+4x﹣1=0只有正实数根，则k的取值范围为（　　） A. ﹣4≤k≤0 B. ﹣4≤k＜0 C. ﹣4＜k≤0 D. ﹣4＜k＜0 12. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二．填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若是关于的二次函数，则的值是______． 14. 已知，是抛物线上的两点，则______ 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 16. 若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则_________0．（填写“>”“<”或“=”） 17. 若，是方程的两根，则的值为______． 18. 已知，且，则代数式的值为______． 三．解答题（本大题共7小题，共90分） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2＋1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值． 21. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 22. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 23. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 24. 综合与实践．实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵， ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． （2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 25. 如图1，抛物线与轴交于点A，（A点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时（不含、点），设面积为S，写出S与点横坐标的函数关系，并写出的取值范围． （3）求（2）的条件下，S的最大值．在 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $