江西省宜春市高安市吴有训实验学校2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷-

2024-2025学年江西省宜春市高安市吴有训实验学校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.下列说法中正确的是（　　） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 3.已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 4.已知关于x的方程（c-2）x2-2x+1=0有实数根，则c的取值范围是（　　） A. c≥-3且c≠2 B. c≠2 C. c≤3 D. c≤3且c≠2 5.如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（） A. ﹣4 B. 2 C. ﹣2 D. 4 6.如图所示为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为直线x=1，且经过点（3，0）.则下列结论：（1）abc＞0；（2）b2-4ac＞0；（3）a-b+c＜0；（4）9a+3b+c=0其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.平面直角坐标系内与点A（2，-3）关于原点对称的点坐标是______. 8.如图.已知AB是圆O的直径，∠BOC=80°，则∠BDC的度数为______. 9.已知x1，x2分别是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，则的值为______. 10.如图，圆内接正六边形的半径为2cm,则图中阴影部分面积为______. 11.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为旋转中心逆时针旋转90°至ED，连接AE，则△ADE的面积是______. 12.已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为______. 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题6分) （1）解方程：x（x-3）=x-3； （2）抛物线的顶点坐标为（2，-1），且图象经过点（0，3）.求函数解析式. 14.(本小题6分) 如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为多少厘米？ 15.(本小题6分) 有三张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、-1，-2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字. （1）求关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率. 16.(本小题6分) 已知反比例函数的图象与直线y=ax+b相交于点A（-2，3），B（1，m）. （1）求直线与反比例函数解析式； （2）若在x轴上有一点P，使得三角形PAB的面积是18，求P点坐标. 17.(本小题6分) 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC=120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图.（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角； （2）在图2中，AB=BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形. 18.(本小题8分) 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 19.(本小题8分) 某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=25时，y=550；当x=30时，y=500．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元/件． （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？ （3）直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润． 20.(本小题8分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上，且∠E=∠BAC. （1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由. （2）若∠CDE=25°，⊙O的半径为3，求的长.（结果保留π） 21.(本小题9分) 如图，A、B为一次函数y=-x+5的图象与二次函数y=x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4.P为二次函数y=x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB. （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值. 22.(本小题9分) 如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线与AC，BC及AB的延长线分别相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，若BC=BF. （1）求证：△ABC≌△EBF. （2）试判断DB与⊙O的位置关系，并说明理由. 23.(本小题12分) 如图，抛物线y=ax2+2ax（a＜0）位于x轴上方（包括x轴）的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，Fn.我们把这组图象称为“波浪抛物线”. （1）当a=-1时， ①求P1、P2及图象F1的顶点坐标； ②点H（2015，-2）是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，请求出图象对应的解析式，并写出自变量x的取值范围. （2）设图象Fm、Fm+1的顶点分别为Tm、Tm+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）.试在图中先标出Q点所在的位置，再探究：当a为何值时，以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？请直接写出此时m的值. 1.【答案】B  2.【答案】D  3.【答案】A  4.【答案】C  5.【答案】A  6.【答案】B  7.【答案】（-2，3）  8.【答案】40°  9.【答案】3  10.【答案】cm2  11.【答案】1  12.【答案】5或或  13.【答案】解：（1）x（x-3）=x-3， ∴x（x-3）-（x-3）=0， ∴（x-1）（x-3）=0， ∴x1=1，x2=3； （2）根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）2-1， 把（0，3）代入解析式得，3=4a-1， 解得a=1， 所以二次函数的解析式为y=（x-2）2-1．  14.【答案】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9， ∴AC=9-3=6， 过点O作OB⊥AC于点B，则AB=AC=×6=3cm, 设杯口的半径为r,则OB=r-2，OA=r, 在Rt△AOB中， OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32， 解得r=cm. 答：玻璃杯的杯口外沿半径为厘米．  15.【答案】；    16.【答案】解：（1）将点A坐标代入得， k=-2×3=-6， 所以反比例函数的解析式为y=． 将点B坐标代入y=得， m=-6， 所以点B的坐标为（1，-6）． 将点A和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为y=-3x-3． （2）令直线AB与x轴的交点为M， 则点M的坐标为（-1，0）． 因为三角形PAB的面积是18， 所以， 解得PM=4， 则-1-4=-5，-1+4=3， 所以点P的坐标为（-5，0）或（3，0）．  17.【答案】如图1所示∠CAD即为所求；   如图2所示△ACE即为所求  18.【答案】解：（1）由旋转的性质可知，AB=AD，∠BAD=90°， 在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°， ∴∠ADE=∠B=45°， ∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°． （2）DF=PF．理由如下： 由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°， 在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°， ∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°， ∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD， 即∠FPD=∠FDP， ∴DF=PF．  19.【答案】解：（1）设y=kx+b， 根据题意可得， 解得：， 则y=-10x+800； （2）根据题意，得：（x-20）（-10x+800）=8000， 整理，得：x2-100x+2400=0， 解得：x1=40，x2=60， ∵销售单价最高不能超过48元/件， ∴x=40， 答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元； （3）利润w=（x-20）（-10x+800）=-10（x-80）（x-20）， ∵-10＜0，故w有最大值，当x=50时，w最大值为9000．  20.【答案】解：（1）DE所在直线与⊙O相切． 如图，连结BD， ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-90°=90°， ∴∠CDE+∠E=90°， ∵∠E=∠BAC，∠BDC=∠BAC， ∴∠E=∠BDC， ∴∠CDE+∠BDC=90°，即∠BDE=90°， ∵∠BAD=90°， ∴BD为⊙O的直径， ∴DE所在直线与⊙O相切； （2）如图，连结OC， ∵∠CDE+∠BDC=90°， ∴∠BDC=90°-∠CDE=90°-25°=65°， ∴∠BOC=2∠BDC=2×65°=130°， ∴的长为．  21.【答案】解：（1）当x=0时，y=-x+5=5；当x=4时，y=-x+5=1，则A（0，5），B（4，1）， 则， 解得：； （2）由（1）可得：y=x2-5x+5，设P（m,m2-5m+5），作PE∥OA，交AB于E， 则E（m,-m+5），则PE=4m-m2， ∴， 当m=2时，最大值为8．  22.【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠EBF=90°， ∵DF⊥AC， ∴∠ADF=90°， ∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°， ∴∠C=∠BFE， 在△ABC与△EBF中， ， ∴△ABC≌△EBF（ASA）． （2）解：BD与⊙O相切， 理由：连接OB， ∵OB=OF， ∴∠OBF=∠OFB， ∵∠ABC=90°，AD=CD， ∴BD=CD， ∴∠C=∠DBC， ∵∠C=∠BFE， ∴∠DBC=∠OBF， ∵∠CBO+∠OBF=90°， ∴∠DBC+∠CBO=90° ∴∠DBO=90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴BD与⊙O相切．  23.【答案】解：（1）①当a=-1时，y=ax2+2ax=-x2-2x. 令-x2-2x=0，解得：x=0或x=-2． ∴点P1的坐标为（-2，0）． 由平移的性质可知P2的坐标为（2，0）． ∵y=-x2-2x=（x+1）2+1， ∴图象F1的顶点坐标为：（-1，1）； ②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1， ∴点H（2015，-2），不在该“波浪抛物线”上， ∵图象Fn的顶点Tn的横坐标为201， 201÷4=50…1，故其图象与F2，F4…形状相同， 则图象Fn对应的解析式为：y=（x-201）2-1， 其自变量x的取值范围为：200≤x≤202． （2）设OQ中点为O′，则线段TmTm+1经过O′， 由题意可知OO′=O′Q，O′Tm=O′Tm+1， ∴当TmTm+1=OQ=12时，四边形OTmTm+1Q为矩形， ∴O′Tm+1=6， ∵F1对应的解析式为y=a（x+1）2-a, ∴F1的顶点坐标为（-1，-a）， ∴由平移的性质可知，点Tm+1的纵坐标为-a, ∴由勾股定理得（-a）2+（-1）2=62， ∴a=±， ∵a＜0， ∴a=-，故此时m的值为4．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $