第一章勾股定理 问题解决策略：反思 课件2025-2026学年北师大版（2024）八年级上册

该初中数学课件聚焦几何体表面最短路径问题，以蚂蚁沿圆柱爬行情境导入，先回顾平面图形最短路径，再通过转化思想将立体图形展开为平面，搭建从平面到立体的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合圆柱、长方体实例，运用转化思想与勾股定理，培养几何直观和空间观念，变式训练与生活实例强化模型意识。小结“一题多解，一法多用，一题多变”，助力学生掌握方法，教师可提升教学效率。

授课教师：XXX 学校：XXX学校 日期：XX年XX月XX日 第一章 勾股定理 ☆ 问题解决策略：反思 2024年北师大新版数学 八年级上册 1 学习目标 1.经历“理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的过程，提高分析问题和解决问题的能力，并养成良好的解题习惯，使问题解决的过程程序化。 2.在解决问题的过程中，体会反思策略。 2024年北师大新版数学 八年级上册 问题1：从行政楼A点走到教学楼B点怎样走最近？理由呢？ 两点之间，线段最短。 教学楼 行政楼 B A 思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 一、情境引入，提出问题 2024年北师大新版数学 八年级上册 1.在这个问题中，已知条件有哪些？ 、圆柱高12cm 、底面圆的周长18cm 几何体的形状是圆柱 问题2：如图所示，一个圆柱的高为 12 cm，底面圆的周长为 18 cm。在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ B A 蚂蚁位于点A处 、食物位于上底面上与点 A 相对的点 B 处 2.需要求解的问题是什么？ 求解蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程。 一、情境引入，提出问题 （一）理解问题 2024年北师大新版数学 八年级上册 一、情境引入，提出问题 3.蚂蚁沿圆柱侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？ A B A B A B 路线① 路线② 路线③ （一）理解问题 2024年北师大新版数学 八年级上册 二、合作探究，解决问题 1.这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ 以前研究的是同一平面内两点间的最短距离问题，是平面图形问题。 2.如何将在圆柱侧面上爬行的最短路线问题转化为平面上爬行的最短路线问题？ 将立体图形问题转化为平面图形问题。 现在研究的是几何体表面两点间的最短距离问题，是立体图形问题。 （二）拟定计划 2024年北师大新版数学 八年级上册 二、合作探究，解决问题 B B A 1.将圆柱侧面剪开，侧面展开图是什么形状？题目中给出的已知条件与展开图中的哪些量对应？ A 侧面展开图是长方形。 长方形的长是圆柱底面圆的周长、长方形的宽是圆柱的高。 18 12 （三）实施计划 2024年北师大新版数学 八年级上册 平面图形 立体图形 二、合作探究，解决问题 2.在展开图中确定 A，B 两点之间最短的路线，并计算它的长度。 直线 A B A B A B 因为两点之间线段最短， 所以路线③最短。 转化 曲线 （三）实施计划 2024年北师大新版数学 八年级上册 二、合作探究，解决问题 A B 12 9 C 解：在Rt△ABC中， BC=12cm，AC=9cm 由勾股定理，得 AB2=122+92=152 所以AB=15cm 2.在展开图中确定 A，B 两点之间最短的路线，并计算它的长度。 （三）实施计划 2024年北师大新版数学 八年级上册 二、合作探究，解决问题 立体图形上的最短路程 1.先将立体图形的表面展开；（立体→平面） 2.再作两点之间的连线；（构造直角三角形） 3.运用勾股定理求出两点之间的距离。 立体图形 平面图形 数学思想： 转化 2024年北师大新版数学 八年级上册 三、解题反思，感受策略 1.在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？ 解决蚂蚁爬行的最短路线问题的基本思路是将 图形问题转化为 图形问题。运用 的思想方法将新的、不容易解决的问题转化为 ,进而实现问题的解决。 立体 平面 转化 之前解决过的问题 （四）回顾反思 2024年北师大新版数学 八年级上册 三、解题反思，感受策略 2.这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？ 影响结果的量：圆柱的高、底面圆的周长以及A、B两点的位置等。 A B A B （四）回顾反思 2024年北师大新版数学 八年级上册 三、解题反思，感受策略 A B 变式1. 如图圆柱的高为 13 cm，底面周长为 10 cm，在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到与点 A 相对、离上底面 1 cm 的 点 B 处的食物，那么它的沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ B A 5 cm 12 cm ？ 解：由勾股定理，可得 AB2 = 52 + 122 = 132 所以 AB = 13 cm 2024年北师大新版数学 八年级上册 通过不同面的展开，计算多种可能路程的长度，再选取最短的。 三、解题反思，感受策略 可以应用到长方体、正方体表面相对两点的最短距离问题中。 下面+右面 3.解决这个问题的经验，还可以应用到哪些问题中？ A B A B B A B A 正面+右面 正面+上面 （四）回顾反思 2024年北师大新版数学 八年级上册 三、解题反思，感受策略 变式2. 如图一个长方形盒子的长、宽、高分别是 8 cm、8 cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒的外表面爬到盒顶的点 B 处， 你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？ A B 8 8 12 解：如图1所示： ∵由勾股定理得：AB2 =162 +122 =400 如图2所示： ∵由勾股定理得：AB2 =82 +202 =464 ∴400＜464 ∴如图1所示AB是最短路线，为20cm。 图1 图2 8 8 12 8 8 12 A A B B 2024年北师大新版数学 八年级上册 三、解题反思，感受策略 变式3. 如图，一只蚂蚁从边长是1的正方体纸箱的点A沿纸箱表面爬到点B，那么它需要爬行的最短路线是多少？ 解：如图，由题意得AC=2，BC=1 ∵由勾股定理得：AB2 =22 +12 =5     A B C 2024年北师大新版数学 八年级上册 三、解题反思，感受策略 ① 快递员沿长方体纸箱表面贴胶带，从一端到对角端最短胶带长度。 ② 虫子在圆柱形水管表面从一端到另一端的最短爬行路线。 ③ 工人在长方体柱子表面刷漆，从底部一点到顶部对角点的最短刷漆路径。 4.生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。 （四）回顾反思 2024年北师大新版数学 八年级上册 四、课堂小结，强化策略 解决问题之后的反思，可以反思解决问题的过程、改变问题的条件、思考问题的本质，进而强化解决问题的经验、研究更多的问题、促进方法的应用。 对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？ 一题多解，一法多用，一题多变 （四）回顾反思 2024年北师大新版数学 八年级上册 五、课堂检测，运用策略 1.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼铒，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内到G处吃鱼铒，则小虫爬行的最短路线长为( ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm D G' O M 于是，以BC为对称轴，作出点G的对称点G'，连接AG'，与BC交于点O，此时OG+AO是最短路径，即求AG'，延长GG'与AD交于点M，利用勾股定理求出AG'即可 思路：本题难点在于点A在外侧，点G在里侧，因此不能使用展开得平面图形的方法。 从A到G的最短路线可以理解为，需要找到一个进入鱼缸的位置O，使AO+GO最小，即“将军饮马”问题 2024年北师大新版数学 八年级上册 五、课堂检测，运用策略 2.为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带。已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m。如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米? 分析：绕圆柱4圈，意味着在展开图的“长”方向上，彩带需要覆盖的总长度为 4x2=8 米。利用勾股定理求彩带长度：彩带在展开图中是连接长方形左下角到右上角的斜边，此时直角三角形的两条直角边分别为：水平边：8m（4 圈的总周长）垂直边：6m（圆柱的高）根据勾股定理 可得彩带长度 2024年北师大新版数学 八年级上册 五、课堂检测，运用策略 3.如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为多少？ A B C 第一种情况： AC²=AB²+BC² =AB²+BC² =6²+1² =37 C B A 2024年北师大新版数学 八年级上册 五、课堂检测，运用策略 C B A D A B C 第二种情况： AC²=AD²+CD² =3²+(3+1)² =9+16 =25 ∵25<37 ∴需要爬行的最短距离是5cm 2024年北师大新版数学 八年级上册 五、课堂检测，运用策略 4.如图，一个圆柱形容器的高为 ，底面半 径为，在容器内壁中点 处有一只蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相 对的点 处,（容器厚度忽略不计） (2)求壁虎捕捉蚊子的最短路程. (1)画出最短线路图 M 解:(1) 如图，将圆柱形容器侧面展开，作点 关于直线的对称点，连接交EF与M 最短线路为AM+BM=AD 2024年北师大新版数学 八年级上册 1.教科书第18页问题第1题的第3问。 2.收集更多生活中涉及几何体表面最短距离的问题，并尝试用所学方法解决。 六、布置作业，固化策略 2024年北师大新版数学 八年级上册 谢谢 25 $