专题01 实数20题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版

专题01 实数 题型1求一个数的算术平方根/平方根/立方根 题型11利用立方根的解方程 题型2利用算术平方根的非负性解题（常考点） 题型12平方根与立方根综合（常考点） 题型3与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型13立方根的实际应用 题型4算术平方根的实际应用 题型14无理数的识别（常考点） 题型5求代数式的平方根（重点） 题型15估算无理数的大小 题型6已知一个数的平方根求这个数（常考点） 题型16实数的性质（常考点） 题型7利用平方根解方程 题型17比较实数的大小（重点） 题型8平方根的实际应用 题型18实数的混合运算（常考点） 题型9已知一个数的立方根求这个数 题型19与实数运算有关的新定义问题（难点） 题型10与立方根有关的规律探索（重点） 题型20与实数运算相关的规律题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一个数的算术平方根/平方根/立方根（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）的平方根为 ． 3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）的算术平方根减去的立方根的差为 ． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型二 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知，一个非负数的两个平方根分别为和，则 ． 6．（2025八年级下·湖北·专题练习）已知非零实数a，b满足，则 ． 7．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 题型三 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 8．（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 9．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江西赣州·期中）观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 题型四 算术平方根的实际应用（共4小题） 12．（24-25七年级下·江西赣州·期中）小兰同学参加了“大美赣州，醉美欧潭”的绘画比赛．她在一张面积为的正方形图纸上绘了《翠浪塔》打算投稿，现有一个长方形信封，长、宽之比为，面积为． (1)小兰的绘画作品的边长为______． (2)小兰能将作品不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． (3)已知，，请你计算长方形信封的长．（结果精确到0.01） 13．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 14．（23-24七年级下·上海静安·期中）公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 15．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 题型五 求代数式的平方根（共4小题） 16．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 17．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 18．（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 19．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________； (2)如果，其中，有理数，求的平方根． 题型六 已知一个数的平方根求这个数（共3小题） 20．（20-21七年级下·上海·期中）如果与是同一个数的平方根，那么这个数等于（    ） A．1 B．-3 C．4 D．4或100 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是 ． 22．（15-16七年级下·云南昆明·期中）一个正数的两个平方根分别是与，求的值和这个正数的值． 题型七 利用平方根解方程（共4小题） 23．（25-26八年级上·上海·阶段练习）解方程： 24．（25-26八年级上·上海·阶段练习）求下列方程中x的值：． 25．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 26．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）解方程：． 题型八 平方根的实际应用（共4小题） 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 28．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 29．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 30．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 题型九 已知一个数的立方根求这个数（共4小题） 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 33．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 34．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型十 与立方根有关的规律探索（共3小题） 35．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 36．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 37．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 题型十一 利用立方根的解方程（共3小题） 38．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）解方程： 39．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）解方程： 40．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）计算； （2）解方程． 题型十二 平方根与立方根综合（共3小题） 41．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）已知和是一个数的两个不相等的平方根，实数的立方根是，求的值． 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 43．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 44．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 题型十三 立方根的实际应用（共3小题） 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 46．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 47．（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个长方体的水池长、宽、高之比为，其体积为． (1)求长方体的水池长、宽、高各为多少； (2)若将一个半径为的球放入注满水的水池中（球沉入水底），溢出水池的水的体积为水池体积的，求该球的半径为多少（π取3，结果精确到．球的体积公式：）． 题型十四 无理数的识别（共4小题） 49．（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 50．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 51．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内： ，0，，0.15，，，，，，3.1415926，0.1010010001…． (1)整数集合{                                             }； (2)分数集合{                                             }； (3)负数集合{                                             }； (4)有理数集合{                                           }； (5)无理数集合{                                           }． 52．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 题型十五 估算无理数的大小（共4小题） 53．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 54．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 55．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 56．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）已知、是两个连续的整数，且，则 ． 题型十六 实数的性质（共5小题） 57．（22-23九年级上·上海静安·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 58．（22-23七年级下·上海·单元测试）的相反数是 ；绝对值是 ． 59．（21-22七年级下·宁夏银川·期末）的平方根是 ；的相反数是 ；的倒数是 ． 60．（24-25七年级下·全国·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 61．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 题型十七 比较实数的大小（共4小题） 62．（23-24七年级上·上海·期末）比较大小： ． 63．（25-26八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 64．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 65．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 题型十八 实数的混合运算（共4小题） 66．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 67．（23-24七年级上·上海·期末）计算： 68．（23-24七年级上·上海·期末）计算： 69．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 题型十九 与实数运算有关的新定义问题（共4小题） 70．（22-23七年级上·全国·期中）设[x]表示不大于x的最大整数，例如，，，则＝ ． 71．（24-25八年级上·上海·阶段练习）定义，如，若实数满足，并且这个关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 72．（20-21八年级上·上海金山·期中）对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 73．（24-25八年级上·北京·期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” (1)请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 题型二十 与实数运算相关的规律题（共5小题） 74．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）一组数：，满足“从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到的，那么这组数中的值是 ． 75．（22-23七年级下·上海闵行·期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 76．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 77．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 78．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ $专题01 实数 题型1求一个数的算术平方根/平方根/立方根 题型11利用立方根的解方程 题型2利用算术平方根的非负性解题（常考点） 题型12平方根与立方根综合（常考点） 题型3与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型13立方根的实际应用 题型4算术平方根的实际应用 题型14无理数的识别（常考点） 题型5求代数式的平方根（重点） 题型15估算无理数的大小 题型6已知一个数的平方根求这个数（常考点） 题型16实数的性质（常考点） 题型7利用平方根解方程 题型17比较实数的大小（重点） 题型8平方根的实际应用 题型18实数的混合运算（常考点） 题型9已知一个数的立方根求这个数 题型19与实数运算有关的新定义问题（难点） 题型10与立方根有关的规律探索（重点） 题型20与实数运算相关的规律题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一个数的算术平方根/平方根/立方根（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：①非负数有平方根，原说法错误； ②2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④的立方根是，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的概念，首先应求出的值为2，然后再求2的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 故答案为： 3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）的算术平方根减去的立方根的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解： ， 的算术平方根， 的立方根， 的算术平方根减去的立方根的差为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 题型二 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知，一个非负数的两个平方根分别为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，是解此题的关键． 根据一个非负数的平方根互为相反数，得出，根据绝对值及算术平方根的非负性，可得，求出a，b的值，再代入进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵一个非负数的两个平方根分别为和， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 6．（2025八年级下·湖北·专题练习）已知非零实数a，b满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，将式子变形为，由算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出，再化简式子可得出，再根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可得出，，进而代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 【答案】（1）    （2）或 【分析】本题考查了相反数的应用，算术平方根、立方根的性质和代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据相反数的定义得到，再根据算术平方根的性质得到，，进而求得、的值，最后将、的值代入即可得解； （2）由得，再根据相反数的定义得，进而得到，再分情况把、的值代入即可得解． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ，， ； （2）， ， 与互为相反数， ， ，即， 当时，，， 当时，，， 综上，代数式的值为或． 题型三 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 8．（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 9．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 10．（24-25七年级下·江西赣州·期中）观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵，， ∴； 故答案为：． 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 题型四 算术平方根的实际应用（共4小题） 12．（24-25七年级下·江西赣州·期中）小兰同学参加了“大美赣州，醉美欧潭”的绘画比赛．她在一张面积为的正方形图纸上绘了《翠浪塔》打算投稿，现有一个长方形信封，长、宽之比为，面积为． (1)小兰的绘画作品的边长为______． (2)小兰能将作品不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． (3)已知，，请你计算长方形信封的长．（结果精确到0.01） 【答案】(1)16 (2)小兰能将这张贺卡不折叠就放入此信封 (3)长方形信封的长约为 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，实数比较大小，熟知算术平方根的计算方法是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长方形信封的长和宽，再比较出长方形信封的宽与正方形边长的大小关系即可得到答案； （3）根据，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形图纸的面积为， ∴这个正方形图纸的边长为，即小兰的绘画作品的边长为； （2）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ， ，， ， ， ， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小兰能将这张贺卡不折叠就放入此信封． （3）解：∵， ∴， ， ∴长方形信封的长约为． 13．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)说法错误，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键； （1）将已知数据代入公式，即可求解； （2）根据题意，求得，进而比较和，即可求解． 【详解】（1）解：由可得： ； 答：此时d的值为． （2）说法错误，理由如下： 站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时， ， ， ， ， ∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海． 14．（23-24七年级下·上海静安·期中）公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 【答案】需要米的篱笆 【分析】本题考查了算术平方根的应用、求扇形的周长，由算术平方根的定义得出，结合得出，求出扇形的周长，即可得出答案． 【详解】解：公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地， （米）， ，， （米）， 扇形为所划区域， （米），扇形的周长（米）， 需要的篱笆长度（米）， 需要米的篱笆． 15．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【详解】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 题型五 求代数式的平方根（共4小题） 16．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 17．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 18．（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 19．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________； (2)如果，其中，有理数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可; （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值． 【详解】（1），其中，为有理数， ∴， ∴ 故答案为：3,2 （2）整理，得 ． 因为，为有理数，为无理数， 所以，应有 解之，得． 则． 所以，的平方根是． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型六 已知一个数的平方根求这个数（共3小题） 20．（20-21七年级下·上海·期中）如果与是同一个数的平方根，那么这个数等于（    ） A．1 B．-3 C．4 D．4或100 【答案】D 【分析】根据平方根的定义分两种情况进行解答即可． 【详解】解：当2m-4与3m-1相等时， 有2m-4=3m-1， 即m=-3， 所以2m-4=-10，3m-1=-10， 因此这个数为100； 当2m-4与3m-1不相等时，则有2m-4+3m-1=0， 解得m=1， 所以2m-4=-2，3m-1=2， 因此这个数为4， 综上所述，这个数为100或4， 故选：D． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是 ． 【答案】16 【分析】本题考查已知一个数的平方根，求这个数，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再根据平方根的定义，求出这个数即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∴， ∴， 故答案为：16． 22．（15-16七年级下·云南昆明·期中）一个正数的两个平方根分别是与，求的值和这个正数的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方根的定义和根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得关于a的方程，解方程求出a的值，进而根据平方根的定义求出x的值即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴． 题型七 利用平方根解方程（共4小题） 23．（25-26八年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．利用平方根的性质求解方程即可． 【详解】解： ∴或． 24．（25-26八年级上·上海·阶段练习）求下列方程中x的值：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．先通过移项将常数项移到等号右边，得到的表达式，再利用平方根的定义求出的值，进而求出． 【详解】解： 当时，； 当时，， 所以x的值为或． 25．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，化简二次根式，先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得或． 26．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答． 【详解】解：， 或， 解得：． 题型八 平方根的实际应用（共4小题） 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 【答案】这个长方体容器的长与宽至少是 【分析】此题主要考查长方体容积（体积）公式，平方根关键是熟记公式． 设这个长方体容器的长与宽至少为，根据长方体容积（体积）公式列式，再由平方根的定义计算，即可解答． 【详解】解：设这个长方体容器的长与宽至少为，则 ， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个长方体容器的长与宽至少是． 28．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 29．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 30．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 题型九 已知一个数的立方根求这个数（共4小题） 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 32．（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 33．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 34．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用平方根及立方根的定义求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， 则． 故选：D． 题型十 与立方根有关的规律探索（共3小题） 35．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解： ，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 36．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 37．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 题型十一 利用立方根的解方程（共3小题） 38．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】两边同时除以，然后根据立方根的定义解方程即可求解． 【详解】 即 ∴ 解得： 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 39．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了利用立方根的性质解方程，正确计算是解题的关键． 先利用等式的性质将原方程化为，再利用立方根的定义求解即可． 【详解】解： ， 解得：． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根，解一元一次方程等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算乘方，再算加减即可得解； （2）先利用立方根的定义对方程进行变形，然后再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ． 题型十二 平方根与立方根综合（共3小题） 41．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）已知和是一个数的两个不相等的平方根，实数的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根的含义，因式分解，掌握这些知识是解题的关键；由正数的两个平方根互为相反数得，可求得a的值；由实数的立方根是，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵和是某正数的两个不相等的平方根， ∴， 解得：， ∵实数的立方根是， ∴， ∴ ． 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． （2）解：因为， ， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 43．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解： 的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 44．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 题型十三 立方根的实际应用（共3小题） 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 46．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 【答案】新正方体的棱长为 【分析】根据正方体体积的计算方法，求一个数的立方根的方法即可求解． 【详解】解：正方体的棱长是， ∴该正方体的体积为， ∵新做的正方体的体积是原正方体的体积的倍， ∴新正方体的体积为， ∴设新正方体的棱长为， ∴， ∴，即， ∴新正方体的棱长为． 【点睛】本题主要考查求一个数的立方根，掌握正方体的体积的计算方法，求一个数的立方根的运算方法是解题的关键． 47．（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【答案】铁球的半径为 【分析】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则． 设铁球的半径为，根据球体的体积等于水下降的体积，列出方程，利用立方根求解即可． 【详解】解：设铁球的半径为，根据题意得， 铁球的体积， ， 解得， ∴铁球的半径为． 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个长方体的水池长、宽、高之比为，其体积为． (1)求长方体的水池长、宽、高各为多少； (2)若将一个半径为的球放入注满水的水池中（球沉入水底），溢出水池的水的体积为水池体积的，求该球的半径为多少（π取3，结果精确到．球的体积公式：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了长方体和球体的体积，利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根的定义． （1）根据题意假设长方体的水池长、宽、高分别为，列出，利用立方根求解即可； （2）根据球的体积公式列出，然后利用立方根进行求解即可． 【详解】（1）解：因为有一个长方体的水池长、宽、高之比为，其体积为， 所以设长方体的水池长、宽、高分别为， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以长方体的水池长、宽、高分别为； （2）解：已知该球的半径为，则， 所以， 所以． 答：该球的半径为． 题型十四 无理数的识别（共4小题） 49．（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，解题关键要逐一细心分析． 【详解】是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，属于有理数； 是分数，属于有理数； （相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数． 综上，无理数共有3个． 故选：B． 50．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 51．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内： ，0，，0.15，，，，，，3.1415926，0.1010010001…． (1)整数集合{                                             }； (2)分数集合{                                             }； (3)负数集合{                                             }； (4)有理数集合{                                           }； (5)无理数集合{                                           }． 【答案】(1)0，， (2)，，0.15，3.1415926 (3)， (4)，0，，0.15，，，3.1415926 (5)，，，0.1010010001… 【分析】此题考查了算术立方根和平方根，实数的分类，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先计算算术立方根和平方根，然后根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）根据负数的定义求解即可； （4）根据有理数的定义求解即可； （5）根据无理数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合{0，，}； （2）解：分数集合{，，0.15，3.1415926}； （3）解：负数集合{，}； （4）解：有理数集合{，0，，0.15，，，3.1415926}； （5）解：无理数集合{，，，0.1010010001…}． 52．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)当和1时，始终输不出的值，理由见解析 (3)25，5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）按照数值转换器的规则，逐步对输入的16取算术平方根，直到得到无理数为止． （2）思考哪些数的算术平方根是其本身且为有理数，使得始终输不出无理数的值． （3）根据输出的，反向推导，找出经过一次或多次取算术平方根能得到的值． 【详解】（1）解：， ，（是无理数）， 所以输出的的值是． （2）解：或，理由如下： 因为，，0和1的算术平方根是它们本身，且是有理数， 所以当或时，始终输不出的值． （3）解：因为，， 所以或（答案不唯一）． 题型十五 估算无理数的大小（共4小题） 53．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 54．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 55．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的大小的应用，关键是确定的范围． 求出，推出，得到a，求出b，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 56．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）已知、是两个连续的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式求值，先估算的取值范围，得出的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、是两个连续的整数，且， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十六 实数的性质（共5小题） 57．（22-23九年级上·上海静安·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分母有理化，再根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：， 则的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分母有理化，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 58．（22-23七年级下·上海·单元测试）的相反数是 ；绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是；绝对值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义和绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 59．（21-22七年级下·宁夏银川·期末）的平方根是 ；的相反数是 ；的倒数是 ． 【答案】 ±2； ； ． 【分析】先化简，再求其平方根；数值相同符号相反的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此作答即可． 【详解】∵，4的平方根为±2， ∴的平方根为±2； 的相反数是； 的倒数是． 故答案为：±2，，． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根、相反数以及倒数的知识．掌握平方根、相反数以及倒数的定义是解题的关键． 60．（24-25七年级下·全国·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 61．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当这个点在左边和右边两种情况，分别列式即可． 【详解】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：； 当这个点在右边时，这个点对应的数为：． 故答案为：0或． 题型十七 比较实数的大小（共4小题） 62．（23-24七年级上·上海·期末）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于运用作差法比较．通过作差确定大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故答案为：>． 63．（25-26八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的比较大小，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用二次根式的性质把4变为比较大小即可． 【详解】由，， ， 故答案为：． 64．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 65．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 题型十八 实数的混合运算（共4小题） 66．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根求值，绝对值化简，平方根求解等．先将每项化简，再从左到右计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 67．（23-24七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，令，先分解因式，再加减，最后代入计算即可． 【详解】解：令， 原式 ； ， 原式． 68．（23-24七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，立方根． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： 69．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型十九 与实数运算有关的新定义问题（共4小题） 70．（22-23七年级上·全国·期中）设[x]表示不大于x的最大整数，例如，，，则＝ ． 【答案】2001000 【分析】本题主要考查三次方根的整数部分的判断；掌握发现每个三次方根的整数部分与第一个乘数的关系是解题的关键．观察得出每个三次方根的整数部分等于其第一个乘数，再将这些整数部分从1到2000求和，计算得到结果． 【详解】解：依题意，得，，， ， 所以， 故答案为：2001000． 71．（24-25八年级上·上海·阶段练习）定义，如，若实数满足，并且这个关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，二次函数与一元二次方程，将方程转化为：，令，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵实数满足，并且这个关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 令， 则：， 当时，则：， ∴当时，，当时，或， ∴， 画出函数图象如图： ∴当时，，当时，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴有两个交点， 由图可知：当或时，有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴或． 故答案为：或． 72．（20-21八年级上·上海金山·期中）对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查新运算下的实数运算，解一元二次方程，分情况讨论是关键．首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个根， ，或者， 当，时， 当，时， 故答案为：或． 73．（24-25八年级上·北京·期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” (1)请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 【答案】(1)；是 (2) 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“智慧数”的定义可得； （2）利用配方法，将S配成智慧数，可求k的值． 【详解】（1） ， 是“智慧数”． 小于的（5除外）“智慧数”为；（答案不唯一）， 是“智慧数”． （2） ， 是“智慧数”， ， ． 当时，S为“智慧数”． 题型二十 与实数运算相关的规律题（共5小题） 74．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）一组数：，满足“从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到的，那么这组数中的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的含乘方有理数混合运算，根据数的生成规则，找到第三个数为x和y的三个数，利用规则计算求得x和y即可求得答案． 【详解】解：根据从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是， ∵ ∴，解得， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 75．（22-23七年级下·上海闵行·期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 【答案】 【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴第个式子为， ∴第个式子为 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键． 76．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 77．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用与实数运算相关的规律题，利用二次根式的性质化简．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）由题意知，，然后求解作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为； （3）解：由题意知，， ∴． 78．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）利用第（1）小题发现的规律进行计算； （3）先找到这组数的规律，然后利用规律进行加法计算． 【详解】（1） （2） （3） ∵ …，它们的和为， ∴， ∴， ∴ ∴这组数共有9个 【点睛】本题考查规律题目，解题的关键是明确规律的意思，根据规律进行运算． $