专题03 圆锥曲线与方程（期中知识清单）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线与方程（3知识&9题型&2易错） 【清单01】椭圆方程 1、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的 ，记作 ，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是 ；当时，点的轨迹 ． 2、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= （最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【解题方法总结】 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 【清单02】双曲线方程 1、双曲线的定义 平面内与两个定点的 等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做 （这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 2、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 范围 实轴、虚轴 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长 ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【解题方法总结】 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 【清单03】抛物线方程 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的 的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 ． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【解题方法总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【题型一】椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用 【例1】、（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【变式1-2】 （2025高三·全国·专题练习）设，，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【题型二】椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 【例2】、（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】 （25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型三】直线与圆锥曲线的位置关系 【例3】、（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. (1)求C的方程； (2)过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 【变式3-1】（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到轴的距离为1. (1)求抛物线和椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线与椭圆交于点、，为坐标原点，求三角形的面积的最大值. 【题型四】焦距及焦点三角形 【例4】、（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·四川眉山·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式4-2】（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【题型五】求离心率及离心率的取值范围 【例5】、（2025高三下·全国·专题练习）若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】 （25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·江苏宿迁·三模）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【题型六】中点弦问题（点差法） 【例6】、（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·海南·模拟预测）已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 【变式6-3】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【题型七】最值与范围问题 【例7】、（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【变式7-1】（25-26高三上·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 【变式7-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足. （i）证明：，的斜率之和为定值； （ii）求四边形面积的最大值. 【题型八】定点与定值问题 【例8】、（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【变式8-1】（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【变式8-2】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 【题型九】开放性与探索性问题 【例9】、（25-26高一上·陕西·开学考试）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为-1．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点C重合），使得．若存在，求点的横坐标；若不存在，说明理由． 【变式9-1】（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型一】容易忽略直线方程斜率不存在的情况 【例1】、（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. (1)求C的方程； (2)过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 【变式1-1】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【题型二】容易忽略圆锥曲线中定义中的关键信息 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【变式2-2】（24-25高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2-3】（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线与方程（3知识&9题型&2易错） 【知识图谱答案】 一、平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆 且 、、 长轴长，短轴长 2、 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线 ， 实轴长为，虚轴长为 三、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹 【清单01】椭圆方程 1、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【解题方法总结】 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 【清单02】双曲线方程 1、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 2、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【解题方法总结】 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 【清单03】抛物线方程 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【解题方法总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【题型一】椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用 【例1】、（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示， ，， 所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支． 故选：B. 【变式1-2】 （2025高三·全国·专题练习）设，，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、求平面轨迹方程 【分析】根据题干运算定义，推出，从而得到，所以，即，从而根据点P的轨迹判断正确选项. 【详解】， ， ， ,即． 故点P的轨迹为抛物线的一部分． 故选：D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆与反光镜的设计问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【题型二】椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 【例2】、（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【详解】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式2-2】 （25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 【变式2-3】（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得. 【详解】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 【题型三】直线与圆锥曲线的位置关系 【例3】、（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. (1)求C的方程； (2)过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据已知条件解方程求解即可； （2）设直线的直线方程，联立方程表示出弦长，及四边的面积，再化简应用基本不等式计算得出面积的最小值. 【详解】（1）由已知可得， 则所求椭圆方程． （2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而． 当直线的斜率为零时，同上可得，. 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得， 所以，， 从而， 由，消去得， 所以，， 从而， 所以， 因为，则，则， 所以. 当且仅当，即时取得最小值， 所以四边形面积的最小值为．    【变式3-1】（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】联立抛物线与直线方程得，利用根与系数的关系及垂直的向量表示，得到，即可求解. 【详解】设，， 由，消得到， 则， 因为，则，又，， 所以， 所以，解得， 故选：D. 【变式3-2】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到轴的距离为1. (1)求抛物线和椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线与椭圆交于点、，为坐标原点，求三角形的面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由题意求出p的值可得抛物线方程；利用交点代入求出m的值，可得椭圆方程. （2）设直线和椭圆的交点坐标，表示出相应三角形面积表达式，结合椭圆性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知抛物线的焦点为， 因为抛物线的焦点是椭圆的顶点， 椭圆在x轴上的顶点为， 故，则抛物线方程为， 令，则，代入得，解得， 故椭圆方程为； （2）抛物线的焦点为，故不妨设， 则，    结合椭圆方程为，B在椭圆上，可知， 故的最大值为. 【题型四】焦距及焦点三角形 【例4】、（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆的顶点坐标 【分析】先确定椭圆的顶点坐标，再设点的坐标，求过该点与顶点连线的方程，算出截距，再得到截距相关线段长度乘积，化简即可. 【详解】   椭圆的右顶点和上顶点为， ，， 设，又点为椭圆上的一点，，即， 又直线的斜率，直线的方程为， 令，可得，则， 又直线的斜率，直线的方程为， 令，可得，则， ， 化简上式 把代入，得 ， 故选：D． 【变式4-1】（25-26高三上·四川眉山·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知，， 由对称性，不妨设点在第一象限， 设，由定义， ， ， 的面积为. 故选：B 【变式4-2】（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求出过的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围. 【详解】设的右焦点坐标为，长轴是过的右焦点的最长弦， 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 由消去得，设， ，则 ，当且仅当时取等号， 依题意，，解得，则的离心率. 故选：D 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 【题型五】求离心率及离心率的取值范围 【例5】、（2025高三下·全国·专题练习）若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设内切圆半径为，根据三角形面积公式，以及三角形内切圆的性质，结合椭圆定义，得到，，又，所以可得，即可求解. 【详解】设内切圆半径为， 则， 又因为，， 所以，即， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 【变式5-2】 （25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意根据角平分线推可得出，利用比例关系可得出，再结合可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如图，连接、，是的内心， 则、分别是和的角平分线，为的角平分线，    可得， 由比例关系性质可知． 又因为，所以椭圆的离心率. 故选：A． 【变式5-3】（2025·江苏宿迁·三模）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 【题型六】中点弦问题（点差法） 【例6】、（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【变式6-2】（2025·海南·模拟预测）已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算求解； （2）联立直线与椭圆方程，结合（1）及已知条件求出点坐标，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）依题意，因为，所以， 设，则， 两式相减可得，得，即， 因为为线段的中点，则， 直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值． （2）设点的坐标为， 由，消去并整理得：， 则， 又四边形为平行四边形，即线段与线段互相平分， 则即点， 而点在椭圆上，于是得，解得， 所以椭圆的方程为：． 【变式6-3】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 【题型七】最值与范围问题 【例7】、（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】抛物线的中点弦、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 【变式7-1】（25-26高三上·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)16 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、抛物线的焦半径公式 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）联立韦达代入即可； （3）利用等腰直角三角形的特点设坐标，代入抛物线方程整理化简，结合基本不等式求最值即可，注意验证取等号条件. 【详解】（1）不妨设，因为，可得，解得， 则的坐标为 或 ； （2）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，设点， 联立得 则． （3）若三角形为等腰直角三角形， 不妨设，因为，且， 不妨设， 此时， 代入抛物线方程可得：， 解得， 所以 ， 整理得， 由于 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，时，三个顶点坐标为， 此时三角形面积的最小值为16． 【变式7-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足. （i）证明：，的斜率之和为定值； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、由导数求函数的最值（不含参）、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由椭圆定义列出等式求得，再结合关系即可求解； （2）（i）设P，Q的坐标分别为，，的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得，同理有，结合即可求证；（ii）由弦长公式结合，得到，令，结合基本不等式求得，再构造函数求导确定单调性即可求解；或，令设，构造函数，结合其单调性即可求解. 【详解】（1）由焦距，即，可知两焦点坐标分别为，， 则， 即，， 所以的标准方程为. （2） （i）设P，Q的坐标分别为，，设的方程为， 联立，整理得， 所以， ，， ， 设的方程为，同理有， 所以，即， 由于，所以，即，所以，的斜率之和为定值0. （ⅱ）不妨设的斜率，其倾斜角为， 则四边形的面积为， ， 同理得， 由，得， 又， 所以. 设，由基本不等式得， 当且仅当等号成立， 设，，， 所以在区间上单调递减， 当时，取得最大值， 所以四边形的面积最大值为. 或 设，由基本不等式得，当且仅当等号成立， 设， 可知在区间上单调递增，当时，取得最大值， 所以四边形的面积最大值为. 【题型八】定点与定值问题 【例8】、（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）将点代入求参数即可； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，联立得到，，再利用弦长求参数即可求解； （ⅱ）由题知直线，进而得到，同理可得，利用，代入计算即可证明. 【详解】（1）由题可知，解得，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题可知直线l斜率不为0，设直线l的方程为， 联立，得， 设，， 则且， 解得，，， ， 解得，所以l的方程为． （ⅱ）证明：直线，令，得， 同理可得，故，． 记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，圆心为， 所以 由（1）知，，， 所以 ， 所以，为定值． 【变式8-1】（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的定值问题、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案； （2）设，，利用点差法即可证明； （3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案. 【详解】（1）双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3）设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则，    又因为，所以直线AB的方程为 【变式8-2】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 【答案】(1)：，：. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的长轴长，短轴长和离心率即可求得椭圆方程； （2）设点坐标，并由椭圆方程得到参数的关系式， （i）由题意写出直线的方程，联立椭圆方程整理得到一元二次方程，由韦达定理得到三个点的横坐标的关系，再由中点坐标关系即可得证； （ii）根据题意写出直线和的方程，代入点坐标，得到直线方程，联立椭圆方程和直线方程，整理得到一元二次方程，结合点在椭圆上化简方程，由韦达定理写出关系式，得到线段的中点坐标，由平行四边形中平行关系，证明三点共线即可得证. 【详解】（1）设椭圆的方程为，焦距为， 椭圆的方程为，焦距为， 由椭圆的长轴长为4，离心率都为，可得，，， 又由椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，可得，，， 故椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为. （2）设，，，，，有，，. （i）证明：直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 由中点坐标公式可知是线段的中点，同理可得是线段的中点， 故线段是的中位线. （ii）证明：由直线的方程为，直线的方程为， 又由点在直线和上，有，可得点，都在直线上， 可得直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 又由， 当时，，，线段的中点为，即， 当时，有，可得，可得线段的中点为， 又由线段的中点为，可得四边形为平行四边形， 记平行四边形的对角线的交点为， 又由，，，可得，， 又由，，三点共线，故，，三点共线， 故直线经过原点. 【题型九】开放性与探索性问题 【例9】、（25-26高一上·陕西·开学考试）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为-1．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点C重合），使得．若存在，求点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，其横坐标为或或 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、根据韦达定理求参数、求二次函数的解析式 【分析】（1）由顶点横坐标代入对称轴方程求得，即得抛物线方程； （2）通过抛物线方程求得坐标，确定直线方程，结合平移，联立抛物线方程，由即可求解； （3）通过面积相等，转换成点到直线的距离等于点到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）由顶点的横坐标为-1，可得，解得， 所以抛物线的表达式为：； （2）由，令，可得， 令，可得，解得：或， 故得，所以直线方程为：，即， 将直线沿轴向上平移个单位长度可得， 将其与抛物线方程联立，可得， 即，由题意可得：，解得， 又，所以的取值范围是. （3）由可得：， 则点到直线的距离， 设，因为， 所以到的距离， 即：，即或， 解得：，或或（舍去）， 所以存在点，使得，该点横坐标为或或. 【变式9-1】（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点为 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的定值问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程. （2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积. （3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值. 【详解】（1）由题意得 的中点到轴的距离为，      又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么     所以的面积. （3）如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得：     ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 【题型一】容易忽略直线方程斜率不存在的情况 【例1】、（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. (1)求C的方程； (2)过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据已知条件解方程求解即可； （2）设直线的直线方程，联立方程表示出弦长，及四边的面积，再化简应用基本不等式计算得出面积的最小值. 【详解】（1）由已知可得， 则所求椭圆方程． （2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而． 当直线的斜率为零时，同上可得，. 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得， 所以，， 从而， 由，消去得， 所以，， 从而， 所以， 因为，则，则， 所以. 当且仅当，即时取得最小值， 所以四边形面积的最小值为．    【变式1-1】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【答案】(1) (2)或或 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）由离心率和所过点求出，写出方程； （2）若直线斜率不存在，验证；若直线斜率存在，设为，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求. 【详解】（1）因为双曲线过，离心率为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 所以，解得， 由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意. 综上所述，直线的方程为或或. 【题型二】容易忽略圆锥曲线中定义中的关键信息 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、判断方程是否表示椭圆 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、双曲线定义的理解 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示， ，， 所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支． 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】记圆O半径为，设点A关于直线的对应点为，连接交直线于点，连接，计算，根据椭圆定义可得． 【详解】如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则， 所以， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为． 故选：B 【变式2-3】（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、双曲线定义的理解、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算 【分析】设出复数z的代数形式，再求出对应点满足的关系判断得解. 【详解】设复数，则，设对应点为， 而，于是， ，所以的对应点均在一个圆上. 故选：B 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $