专题06等差数列的概念与前n项和（考点清单，知识导图+2考点清单+9题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题06等差数列的概念与前n项和 【清单01】等差数列的定义与前n项和 一.等差数列的定义 1.文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2.符号语言：若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列 二.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) 三.等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝. 四.等差数列的证明 1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； 2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． 五.等差数列的性质 1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． 3.若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． 4.若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． 【清单02】等差数列的前n项和 一.数列的前n项和 对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 二．等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 + 三．等差数列前n项和的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和： 1.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 【考点题型一】等差数列基本量的计算 方法总结：等差数列的基本运算： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　 【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．78 B．100 C．116 D．120 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等差数列中，若，则的值为（    ） A．36 B．24 C．18 D．9 【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知为等差数列，，，则 【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在等差数列中，若，则的值为 ． 【考点题型二】等差数列的通项公式 方法总结：等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． (3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数． 【例2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知为等差数列，数列满足：，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式 . 【变式2-2】（23-24高二上·江苏·期中）写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式 ．①；②． 【变式2-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）设等差数列，且满足 (1)求； (2)若是公差为18的等差数列，求通项公式． 【变式2-4】（22-23高二上·江苏常州·期中）记为数列的前n项和，已知，． (1)求，； (2)求数列的通项公式． 【考点题型三】等差数列的前n项和 方法总结：求等差数列前n项和的方法: 1.用倒序相加法求数列的前n项和。 如果一个数列，与首未项等距的两项之和等于首未两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。 2.用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式:或+ 对等差数列，求前n项和可直接用等差数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 3、用裂项相消法求数列的前n项和。 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 4、用构造法求数列的前n项和。 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 【例3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列的前项和为，，，则 . 【变式3-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）在等差数列中，，，，则 . 【变式3-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设是等差数列的前项和， (1)证明：数列是等差数列； (2)当 ， 时，求数列的前项和． 【变式3-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列的前n项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，求． 【变式3-4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）在等差数列中，已知 且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【考点题型四】等差数列的证明 方法总结：判断等差数列的方法 1.定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. 2.等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． 3.通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 【例4】（22-23高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列，并求. 【变式4-1】（20-21高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，且，数列满足，且，(). （1）求证：数列是等差数列，并求通项； （2）解关于的不等式：. 【变式4-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设是等差数列的前项和， (1)证明：数列是等差数列； (2)当 ， 时，求数列的前项和． 【变式4-3】（20-21高二上·江苏常州·期中）设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都有. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前n项和. 【变式4-4】（19-20高二上·江苏徐州·期中）已知等差数列前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求证：数列是等差数列. 【考点题型五】等差数列前n项和的性质 方法总结：等差数列的前n项和常用的性质： 1.等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列； 2.数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列； 3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝ 【例5】（23-24高二下·江苏盐城·期中）等差数列 中， 是其前 项和，，则公差 的值为（       ） A． B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为（      ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．36 B．45 C．54 D．63 【变式5-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列，，则的值为 . 【考点题型六】等差数列前n项和最值 方法总结： 1.项的符号法(邻项变号法)： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 2.二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*. 3.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值． 【例6】（多选）（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差，且，前项和为，若是的最大值，则的可能值为（    ） A．6 B．7 C．12 D．13 【变式6-1】（多选）（20-21高二下·辽宁大连·期中）等差数列{an }的前n项和记为Sn，若>0， <0， 则（    ） A．a1>0 B．d<0 C．前15项和最大 D．从第32项开始，<0 【变式6-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知为数列的前项和，且，（，），若，．求： (1)数列的通项公式； (2)的最值． 【变式6-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值． 【变式6-4】（21-22高二上·江苏淮安·期中）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及相应的的值. 【考点题型七】等差数列函绝对值的前n项和 【例7】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为.已知，. (1)求； (2)当为何值时，最小？并求此最小值. 【变式7-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若且数列的前项和为，求. 【变式7-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式7-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知正项数列的前项和记为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值． 【考点题型八】恒成立问题 【例8】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列的前项和，，则使成立的的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-1】（23-24高二下·湖南·期中）已知是正项数列，其前项的和为，且满足表示不超过的最大整数，若恒成立，则的取值范围为 ． 【变式8-2】（21-22高二下·北京·期中）已知等差数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项和，求正整数n的范围，使得． 【变式8-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得 成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-4】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前n项和满足 (1)求数列的通项公式; (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型九】等差数列中的其他问题 【例题9】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·江苏·期中）已知数列中，，对于任意的，都有，若正整数满足，则（    ） A．1 B．10 C．50 D．100 【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-4】20-21高二上·江苏常州·期中）已知数列为等差数列，为的前项和，若，，则的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06等差数列的概念与前n项和 【清单01】等差数列的定义与前n项和 一.等差数列的定义 1.文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2.符号语言：若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列 二.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) 三.等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝. 四.等差数列的证明 1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； 2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． 五.等差数列的性质 1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． 3.若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． 4.若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． 【清单02】等差数列的前n项和 一.数列的前n项和 对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 二．等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 + 三．等差数列前n项和的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和： 1.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 【考点题型一】等差数列基本量的计算 方法总结：等差数列的基本运算： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　 【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．78 B．100 C．116 D．120 【答案】D 【分析】先利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，进而用求和公式求出即可. 【详解】设等差数列的公差为， ， 解得， 则. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ∵等差数列的前项和为，， ∴，整理得， ∴． 故选：. 【变式1-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等差数列中，若，则的值为（    ） A．36 B．24 C．18 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列通项公式求基本量得，再由即可求值. 【详解】令的公差为，则，即， 则. 故选：B 【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知为等差数列，，，则 【答案】 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为为等差数列，，，设等差数列的公差为， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据条件先计算出公差，然后根据求解出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【考点题型二】等差数列的通项公式 方法总结：等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． (3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数． 【例2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知为等差数列，数列满足：，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由结合，可得，由可得，即可得. 【详解】令，，又，则. 设公差为，，则. 故. 故选：B 【变式2-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式 . 【答案】， 【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式. 【详解】设数列的公差为由题意可知，，， 于是 因为，所以，所以 所以 故答案为：， 【变式2-2】（23-24高二上·江苏·期中）写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式 ．①；②． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意可得数列为等差数列，且为递减数列，即可得解. 【详解】因为，所以数列为等差数列， 因为，所以数列数列为递减数列， 则可取. 故答案为：.（答案不唯一） 【变式2-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）设等差数列，且满足 (1)求； (2)若是公差为18的等差数列，求通项公式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）直接利用等差数列的性质即可求解； （2）利用等差数列基本量代换，即可求解. 【详解】（1）因为等差数列，所以. 因为，所以，所以. （2）设等差数列的公差为d，由题意可得： 即，解得：，所以. 【变式2-4】（22-23高二上·江苏常州·期中）记为数列的前n项和，已知，． (1)求，； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，. (2) 【分析】(1)根据递推关系可求得，.(2)由可求得通项公式. 【详解】（1）当时，，解得或(舍) 当时，，解得或(舍) 所以，. （2）当时，①，②， 由①-②得，，因为，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 当时，由(1)可知，满足，故数列的通项公式为 【考点题型三】等差数列的前n项和 方法总结：求等差数列前n项和的方法: 1.用倒序相加法求数列的前n项和。 如果一个数列，与首未项等距的两项之和等于首未两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。 2.用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式:或+ 对等差数列，求前n项和可直接用等差数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 3、用裂项相消法求数列的前n项和。 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 4、用构造法求数列的前n项和。 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 【例3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【分析】利用与题设条件推得，从而得到是等差数列，进而利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 所以当时，，即， 若，则，故，显然与矛盾，故， 所以，又， 所以是以首项为，公差为的等差数列， 所以，故. 故答案为：. 【变式3-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）在等差数列中，，，，则 . 【答案】26 【分析】根据等差数列的下标和性质可得，代入等差数列的求和公式运算求解. 【详解】∵数列为等差数列，则，即， ∴，解得. 故答案为：26. 【变式3-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设是等差数列的前项和， (1)证明：数列是等差数列； (2)当 ， 时，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等差数列的定义证明即可； （2）由已知条件求出和，然后求的前项和即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ， ， 为常数. 所以数列是等差数列 . （2）， ， ， ， . 【变式3-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列的前n项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用替换原式中的，然后两式作差，结合与的关系，即可得到为等差数列，从而得到其通项； （2）由（1）的结论，求得及，代入化简，得到的式子，再裂项相消即可求出结果. 【详解】（1）因为，当时，，两式作差得， 即，又，所以，当时，， 又当时，，解得， 可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以，即 （2）由（1）知，所以， . 【变式3-4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）在等差数列中，已知 且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可； （2）根据等差数列求和公式计算可得. 【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为， 则，， 解得，， ，； （2）解：因为， 所以. 【考点题型四】等差数列的证明 方法总结：判断等差数列的方法 1.定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. 2.等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． 3.通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 【例4】（22-23高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据递推关系式求得. （2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， 则， 故， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 则. 【变式4-1】（20-21高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，且，数列满足，且，(). （1）求证：数列是等差数列，并求通项； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】（1）将变形为，由等差数列的定义得出数列是等差数列； （2）将变形为，利用累乘法求出数列的通项公式，从而将化简为，令，求出当时的值并与1比较，当时，求出的增减性，由增减性确定不等式的解. 【详解】（1）证：由，且知， 故有得，所以数列是等差数列 由于，所以，即； （2）由得，，由累乘法得， 则不等式可化为，即 令，则. 当时，，不符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，不符合； 而当时， 故当不符合； 综上所述，. 【点睛】根据递推公式求等差数列的通项公式时，通常是将递推公式进行变形，结合等差数列的定义证明其为等差数列，进而得出其通项公式. 【变式4-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设是等差数列的前项和， (1)证明：数列是等差数列； (2)当 ， 时，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等差数列的定义证明即可； （2）由已知条件求出和，然后求的前项和即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ， ， 为常数. 所以数列是等差数列 . （2）， ， ， ， . 【变式4-3】（20-21高二上·江苏常州·期中）设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都有. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）令求出首项，令求出，将换为，两式相减得出，再将换为，两式相减得，即得证； （2）求出，分别讨论为奇数和偶数，并项求和结合等差数列的求和公式可求出. 【详解】（1） 当时，，， 当时，， 两式相减得， ，则， 两式相减得，即， 因为各项为正，， 当时，则，即，解得，满足， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可得， ， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上，. 【点睛】方法点睛：证明或判断等差数列的方法， （1）定义法：对于数列，若，则数列为等差数列； （2）等比中项法：对于数列，若，则数列为等差数列； （3）通项公式法：若，则数列为等差数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断. 【变式4-4】（19-20高二上·江苏徐州·期中）已知等差数列前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求证：数列是等差数列. 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用已知条件列出方程组求解数列的首项与公差，即可得到数列的通项公式； （2）求出等差数列的前项和，化简，然后利用定义可证明出数列是等差数列. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， ； （2），， 从而（常数），所以数列是等差数列. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用定义证明等差数列，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 【考点题型五】等差数列前n项和的性质 方法总结：等差数列的前n项和常用的性质： 1.等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列； 2.数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列； 3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝ 【例5】（23-24高二下·江苏盐城·期中）等差数列 中， 是其前 项和，，则公差 的值为（       ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ，则， 则. 故选：C 【变式5-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ∵等差数列的前项和为，， ∴，整理得， ∴． 故选：. 【变式5-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．36 B．45 C．54 D．63 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质得到，然后求和即可. 【详解】，所以，. 故选：C. 【变式5-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列，，则的值为 . 【答案】24 【分析】利用等差数列的前项和公式的性质求解即可 【详解】在等差数列中，由等差数列的前项和公式的性质得： 成等差数列 所以有 又 所以 所以 故答案为：24. 【考点题型六】等差数列前n项和最值 方法总结： 1.项的符号法(邻项变号法)： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 2.二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*. 3.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值． 【例6】（多选）（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差，且，前项和为，若是的最大值，则的可能值为（    ） A．6 B．7 C．12 D．13 【答案】AB 【分析】根据得到，，然后结合二次函数的性质得到的可能取值. 【详解】因为，所以， 即，又， 所以，， 对称轴为，所以的可能值为6或7. 故选：AB. 【变式6-1】（多选）（20-21高二下·辽宁大连·期中）等差数列{an }的前n项和记为Sn，若>0， <0， 则（    ） A．a1>0 B．d<0 C．前15项和最大 D．从第32项开始，<0 【答案】ABC 【分析】结合等差数列的性质、等差数列前项和公式确定正确选项. 【详解】依题意等差数列{an}满足>0， <0， 所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和最大，所以ABC选项正确． ， 所以D选项错误． 故选∶ ABC 【变式6-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知为数列的前项和，且，（，），若，．求： (1)数列的通项公式； (2)的最值． 【答案】(1) (2)最大值，无最小值． 【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可 （2）利用等差数列求和公式表示出，由二次函数的性质可求得最值. 【详解】（1）由，（，），知为等差数列，公差为d， 设首项为，由，， 得， 解得或， 因为，所以， 故． （2）当时，， ， 所以当或4时，有最大值，无最小值． 【变式6-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为25. 【分析】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式； （2）令，解不等式，求出当时，取得最大值，并用等差数列求和公式求出最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得：， 则的通项公式为； （2）因为， 令得：，令得：， 故当时，取得最大值， 其中，故最大值为. 【变式6-4】（21-22高二上·江苏淮安·期中）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及相应的的值. 【答案】(1) (2)当或时，有最大值是20 【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. 【详解】（1）在等差数列中，∵, ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴当或时，有最大值是20 【考点题型七】等差数列函绝对值的前n项和 【例7】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为.已知，. (1)求； (2)当为何值时，最小？并求此最小值. 【答案】(1) (2)8，4 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由，求解； （2）由，分，，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d， 又，， 所以， 解得， 所以； （2）由（1）得， 当时，， 当时，递增，当时，递减，又， 所以的最小值为7； 当时，，在上递增，又， 所以的最小值为4， 综上：的最小值为4. 【变式7-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用与的关系式进行通项公式的求解； （2）由通项公式可知，当时，其和为负数，则当求绝对值之和时，可直接添加负号即可，当时，可通过前8项的变号来进行计算即可. 【详解】（1）由， 当时，可得， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由，可得，则， 令，可得， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以. 注意：分类标准和，都可以. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若且数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列方程组，解方程组可得与，进而可得通项公式与前项和； （2）分别计算和的各项和. 【详解】（1）由数列为等差数列，设其公差为， 所以， 解得， 所以， ； （2）由已知， 所以 . 【变式7-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得. （2）由，令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 因为，所以， 所以，由，解得， 又，所以； （2） 设，的前项和为，得， ，得 当时，，即，所以 当时，得 ，所以， 则 综上所述： 【变式7-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知正项数列的前项和记为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由数列的递推式，推得是首项为2的常数列，可得所求； （2）由数列的裂项相消求和，以及的定义，结合等差数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）解：因为是正项数列，即， 因为，且， 当时，，则； 当时，由，可得， 两式相减可得， 整理得，即有， 又因为，所以数列是首项为2的常数列，则，所以， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）得，则， 所以， 则， 可得，，当时，，则， ， 整理得，即， 因为，所以． 【考点题型八】恒成立问题 【例8】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列的前项和，，则使成立的的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据与之间的关系求得，再结合裂项相消法运算求解. 【详解】因为数列的前项和， 当时，则； 当时，则； 且符合上式，所以. 当时，，符合题意； 当时，可得， 所以， 若，解得； 综上所述：的最大值为7. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高二下·湖南·期中）已知是正项数列，其前项的和为，且满足表示不超过的最大整数，若恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，可得，可得，可得，分类讨论可求的取值范围. 【详解】当时，，解得 当时，， 变形得，所以是公差为等差数列， 所以，所以，所以有； ①当为正整数时，，此时； ②当为正整数时，，此时恒成立； 当时，有最大值，此时恒成立，为正整数，故， 综上的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由数列新定义求解参数值，根据取整定义求解数列具体数值. 【变式8-2】（21-22高二下·北京·期中）已知等差数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项和，求正整数n的范围，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可求出的公差，进而可求得的通项公式； （2）结合（1）可得到，然后解不等式即可求得正整数n的范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）结合（1）可得， 令，即，解得或（舍去）， 所以存在，使得成立， 故正整数n的范围为． 【变式8-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得 成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，，取值见解析. 【分析】（1）利用的关系求得递推公式，变形可得为常数列，然后可得通项； （2）由，根据裂项相消法可得； （3）根据等差中项列式整理可得，由和都为正整数可解. 【详解】（1）由①，当时，，       当时，②， ①-②得，即， 所以，所以， 当时，，上式也成立， 所以数列为常数列，，                    所以. （2）由，， 则， 所以的前项和为 . （3）由（1）知. 要使成等差数列，则， 即，整理得， 因为，为正整数，所以只能取2，3，5. 当时，； 当时，； 当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将分裂为，然后根据裂项相消法即可得解. 【变式8-4】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前n项和满足 (1)求数列的通项公式; (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】首先令求出首项，然后当时，有，两式相减，得到数列的递推关系，发现数列是以2为首项，1为公差的等差数列，从而求得，得到所求； 将的通项公式代入不等式等价于对恒成立，即进一步求出的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 即， 解得： ； 当时，， 则， 即， 即， 数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ， 即； 又 也适合上式， 故. （2）原不等式可化为：， 等价于， 记， 则对恒成立， ， 又， 当时，， 即； 当 时，， 即 ， 数列的最大项为， 即， 解得： . 【点睛】易错点点睛：本题主要考查由数列的与的关系式求通项公式的方法以及求与数列有关的恒成立中参数范围的求法；在由数列的与的关系式求通项的时候要注意的范围及验证. 【考点题型九】等差数列中的其他问题 【例题9】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 【变式9-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和. 【详解】明显数列和数列均为等差数列 令，可得， 则， 则数列为等差数列，且，公差为， 所以的前项的和为. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高二上·江苏·期中）已知数列中，，对于任意的，都有，若正整数满足，则（    ） A．1 B．10 C．50 D．100 【答案】A 【分析】先对赋值得到为等差数列，求出通项代入求出即可. 【详解】令，则，所以是首项为1公差为1的等差数列， 所以， ， 解得， 故选：A 【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 【变式9-4】20-21高二上·江苏常州·期中）已知数列为等差数列，为的前项和，若，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由的范围得到，再利用可得答案. 【详解】因为，，所以 ， 的取值范围是， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司28 学科网（北京）股份有限公司 $$