专题07等比数列的概念与前n项和（考点清单，知识导图+2考点清单+10题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题07等比数列的概念与前n项和 【清单01】等比数列的概念与通项公式 一．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 二．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±. 三．等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1. 四．等比数列的性质 1.若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列． 特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列． 2.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq. 3.数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． 4.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. 5.当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． 【清单02】等比数列的前n项和 一．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 二．等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 【考点题型一】等比数列基本量的计算 方法总结：等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知等比数列满足，若，则（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）设等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式1-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ） A．24 B．48 C．39 D．36 【变式1-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）在等比数列中，已知，，则 . 【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则公比 . 【考点题型二】等比数列的通项公式 方法总结：定义法:先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式。 【例2】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项之和为，满足，且，则时， ． 【变式2-2】（20-21高二上·江苏·期中）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为 . 【变式2-3】（21-22高二上·江苏徐州·期中） (1)已知数列满足，求数列的通项公式； (2)已知数列中，，其前n项和满足()，求数列的通项公式． 【变式2-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）设是公差不为0的等差数列，，为，的等比中项. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【考点题型三】等比数列的前n项和 方法总结：注意:(1)公式的推导方法是错位相减法，即先求前n项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数 (2)在求等比数列的前n项和时，一要讨论公比q是否能为 1 【例3】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）数列满足，，. (1)的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【变式3-2】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足：，，设． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【变式3-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求． 【变式3-4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【考点题型四】等比数列的证明 方法总结：判断一个数列是等比数列的常用方法 1.定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． 2.通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． 3.等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 4.构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可． 【例4】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）设数列的前n项和为，已知，，，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【变式4-1】（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，则（ ） A．当且时，为等比数列 B．当时，为等比数列 C．当时，为等差数列 D．当，且时，的前n项和为 【变式4-2】（多选）（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏南通·期中）设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若则既是等差数列又是等比数列 B．若，则为等差数列 C．若为等比数列，则成等比数列 D．若，是等比数列 【变式4-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列的前项和为，且 ． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【考点题型五】等比数列的性质 方法总结： 1.若数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意：如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0. 2.等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝q. 【例5】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【变式5-1】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，，则使的最大正整数的值为15 B．若（为常数），则必有 C．必为等差数列 D．必为等比数列 【变式5-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 【变式5-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 【变式5-4】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列共有10项，该数列的前5项成等比数列，后6项成等差数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 . 【考点题型六】等比数列的单调性 方法总结：等比数列的单调性基本方法： 1a1>0时， ①公比q>1，单调递增;②q=1无单调性;③0<q<1，单调递减;④q<0，无单调性. 2a1<0时， ①公比q>1，单调递减;②q=1无单调性;③0<q<1，单调递增;④q<0，无单调性. 【例6】（多选）（20-21高二上·江苏无锡·期中）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（    ） A．当 B． C． D． 【变式6-1】（20-21高二上·江苏连云港·期中）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】(多选)（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】(多选)（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前n项和为，则以下命题正确的有（    ）． A．若数列为等差数列，则为等比数列 B．若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到 【变式6-4】（20-21高二上·江苏苏州·期中）在①1，，成等差数列；②递增等比数列中的项，是方程的两根；这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由. 已知数列和等差数列满足__________，且，，是否存在使得是数列中的项？（为数列的前n项和，为数列的前n项和） 【考点题型七】等比数列实际应用 【例7】（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）（23-24高二下·江苏盐城·期中）在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（    ） A． B． C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和取值范围 【变式7-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有511个正方形，且其最大的正方形的边长为1，则其最小正方形的边长为 . 【变式7-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则 ． 【变式7-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：）． 【考点题型八】等比数列恒成立 【例8】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为 ． 【变式8-1】（20-21高二上·江苏南通·期中）等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为（    ） A．102 B．203 C．204 D．205 【变式8-2】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【变式8-3】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，且不等式对任意恒成立，求正整数的最大值． 【变式8-4】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得． (1)若，，求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型九】等比数列分奇偶 【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，若， 则（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式9-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列满足且，． (1)求通项； (2)求数列的前项之和． 【变式9-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）在数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式9-3】（21-22高二上·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，，，数列为各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前2n项和． 【变式9-4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【考点题型十】等比数列综合考点 【例10】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知，，（，），为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等比数列中，，，则（    ） A． B． C．5 D．1 【变式10-1】（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数列满足，，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）若是等比数列，且前项和为，则 . 【变式10-3】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列为等差数列，其公差，若数列中的部分项组成的数列，，…，，…恰为等比数列，其中，，，则 . 【变式10-4】（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知等比数列的前n项和，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07等比数列的概念与前n项和 【清单01】等比数列的概念与通项公式 一．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 二．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±. 三．等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1. 四．等比数列的性质 1.若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列． 特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列． 2.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq. 3.数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． 4.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. 5.当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． 【清单02】等比数列的前n项和 一．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 二．等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 【考点题型一】等比数列基本量的计算 方法总结：等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知等比数列满足，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得等比数列的公比为，再由等比数列的性质求解即可. 【详解】因为等比数列满足，设等比数列的公比为， 所以，则， 解得：. 故选：C. 【变式1-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）设等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项及前n项和的意义，列式计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，由得：， 而，则有，解得， 所以. 故选：C 【变式1-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ） A．24 B．48 C．39 D．36 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质可知，，是等成比数列，由此列式计算即可. 【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列， ∴，，∴，∴． 故选：C 【变式1-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）在等比数列中，已知，，则 . 【答案】或 【分析】根据等比数列的公式直接计算得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，在等比数列中，，， ，解得，或，， 则或. 故答案为：或 【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【分析】根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，解得. 故答案为：. 【考点题型二】等比数列的通项公式 方法总结：定义法:先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式。 【例2】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质与累加法求解， 【详解】根据题意得，，解得，故， 时，， 故 ． 故选：A 【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项之和为，满足，且，则时， ． 【答案】 【分析】先得到是等比数列，求出，从而利用时，求出答案. 【详解】∵，， ∴是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴， ∴时，． 故答案为：. 【变式2-2】（20-21高二上·江苏·期中）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为 . 【答案】， 【解析】设出等比数列的公比，列方程求解即可 【详解】由是正项等比数列，，，设公比为，则有 ，化简得，，得到， ，，则的通项公式为 故答案为：， 【变式2-3】（21-22高二上·江苏徐州·期中） (1)已知数列满足，求数列的通项公式； (2)已知数列中，，其前n项和满足()，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将给定的递推公式变形构造等比数列求解即可. (2)利用“当时，”将原递推公式转化为数列项间关系即可计算作答. 【详解】（1）数列中，因，则，而， 于是得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以数列的通项公式是. （2）因数列前n项和满足，则， 而当时，，因此有，又由得满足上式， 于是得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则， 所以数列的通项公式是. 【变式2-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）设是公差不为0的等差数列，，为，的等比中项. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用等比中项，和已知条件构造方程，解出，后用等差数列通项公式计算即可; （2）求出，后用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设的公差为，因为，为，的等比中项， 所以，解得，所以的通项公式为； （2）， ①， ②， ①-②得， ， 所以. 【考点题型三】等比数列的前n项和 方法总结：注意:(1)公式的推导方法是错位相减法，即先求前n项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数 (2)在求等比数列的前n项和时，一要讨论公比q是否能为 1 【例3】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据所给条件及等差、等比数列通项公式得到关于、、方程组，解得即可； （2）由（1）可得，再由分组求和法计算可得. 【详解】（1）设数列的公差为， 依题意可得，解得， 所以，． （2）由（1）可得， 所以 . 【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）数列满足，，. (1)的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配凑法证得数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，进而求得的通项公式. （2）利用错位相减法求得数列的前项和. 【详解】（1）数列 满足 ， 整理得 ，又， 即 (常数)， 所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. 故 ， 整理得 . （2）由于 ，所以 ， 所以 ①， ②， ① - ②得： ， 所以 . 【变式3-2】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足：，，设． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）将变形为，得到为等比数列， （2）由（1）得到的通项公式； （3）结合（2）中通项利用错位相减法求得. 【详解】（1）由，，可得， 因为，即，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得：，即，所以. （3）由（2）可知：， 则， 可得， 上面两式相减可得： ， 所以． 【变式3-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，利用累乘法计算出，检验时，也成立，得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由， 得， 则当时，， 所以， 当时，上式成立， 所以； （2）由（1）知①， ②， ①-②得，， ． 【变式3-4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，且成等差数列，解出和，即可写出通项公式； （2）由（1）可得，则数列的前项和可以分为奇数项和和偶数项和两组分别求和，计算可得结果. 【详解】（1）因为成等差数列，所以，即， 又，所以，所以通项公式为，； （2）由（1）可知， 则， 所以 ． 【考点题型四】等比数列的证明 方法总结：判断一个数列是等比数列的常用方法 1.定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． 2.通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． 3.等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 4.构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可． 【例4】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）设数列的前n项和为，已知，，，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】ABD 【分析】根据的关系，即可作差求解是从第二项开始的等比数列，是等比数列，即可结合等比数列的通项公式及性质检验各选项即可判断． 【详解】因为，所以，， 故时，两式相减得，，即， 因为不适合上式， 故数列是从第二项开始的等比数列，公比为4，，C错误； 则，A正确； ，B正确； 因为，所以， 即数列是以1为首项，以4为公比的等比数列，D正确． 故选：ABD． 【变式4-1】（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，则（ ） A．当且时，为等比数列 B．当时，为等比数列 C．当时，为等差数列 D．当，且时，的前n项和为 【答案】ACD 【分析】利用等差数列，等比数列的定义判断ABC，利用裂项求和来计算D. 【详解】对于A：当且时，，数列是公比为2的等比数列，A正确； 对于B：当，即时，数列不为等比数列，B错误； 对于C：当时，，等式两边同除得，数列是公差为的等差数列，C正确； 对于D：当，，得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以， 所以， 的前n项和为，D正确. 故选：ACD. 【变式4-2】（多选）（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知结合等比数列的定义检验各选项即可判断. 【详解】若数列是等比数列，则， A：，符合等比数列，A正确； B：，符合等比数列，B正确； 当时，CD显然不符合题意. 故选：AB. 【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏南通·期中）设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若则既是等差数列又是等比数列 B．若，则为等差数列 C．若为等比数列，则成等比数列 D．若，是等比数列 【答案】BD 【分析】举出反例，如，即可判断A； 根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等差数列的定义即可判断B； 举出反例，如为，为偶数时，即可判断C； 根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的定义即可判断D； 【详解】对于A，若，则既是等差数列，但不一定是等比数列，故A错误； 对于B，由， 当时，， 当时，， 当时，适合上式， 所以， 则为常数， 所以为等差数列，故B正确； 对于C，若为等比数列，如为，为偶数时， ，由等比数列中没有0这一项， 所以不成等比数列，故C错误； 对于D，若， 当时，， 当时，， 当时，适合上式， 所以， 则， 所以数列是以2为首项，-1为公比的等比数列，故D正确. 故选：BD. 【变式4-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列的前项和为，且 ． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据的关系即可作差得，进而可得是以1为首项，2为公比的等比数列，即可根据等比通项求解， （2）根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）∵ ，∴ , 两式相减得：，∴ , ∴ ， 令得：，∴ ，, ∴ 是以1为首项，2为公比的等比数列, ∴ ，即． （2）由（1）得：，是以1为首项，为公比的等比数列， ∴ 【考点题型五】等比数列的性质 方法总结： 1.若数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意：如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0. 2.等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝q. 【例5】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【解析】由等比数列前项和的性质即可求得. 【详解】解：数列是等比数列， ，，，也成等比数列， 即，，，也成等比数列， 易知公比， ，， . 故选：B. 【变式5-1】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，，则使的最大正整数的值为15 B．若（为常数），则必有 C．必为等差数列 D．必为等比数列 【答案】BCD 【分析】A由已知可得，且，再应用等差数列前n项和公式及得，即可判断；B由等比数列前n项和公式有，即可判断；C、D根据等差、等比数列片段和的性质直接判断. 【详解】令的公差为，则， 所以，故，且， 使，则， 而，即，故， 所以使的最大正整数的值为30，A错； 令的公比为且，则（公比不能为1）， 所以，即，B对； 根据等差、等比数列片段和的性质知：必为等差数列，必为等比数列，C、D对. 故选：BCD 【变式5-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】设数列，的公比分别为，在已知式中令得，再令,得的关系，进而联立方程组解得，进而求解即可． 【详解】设数列，的公比分别为， 则时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 联立，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 所以. 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】 由等比数列的性质可得：，，成等比数列，可得：进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 由等比数列的性质可得：，，成等比数列， 则， 由于，所以 ， 当且仅当时取最小值，故最小值为 故答案为：． 【变式5-4】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列共有10项，该数列的前5项成等比数列，后6项成等差数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 . 【答案】 【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式求出公差公比，进而根据公式计算可得答案. 【详解】由已知成等比数列，设公比为， 成等差数列，设公差为， ，， ， ， 数列所有项的和 故答案为：30；252. 【考点题型六】等比数列的单调性 方法总结：等比数列的单调性基本方法： 1a1>0时， ①公比q>1，单调递增;②q=1无单调性;③0<q<1，单调递减;④q<0，无单调性. 2a1<0时， ①公比q>1，单调递减;②q=1无单调性;③0<q<1，单调递增;④q<0，无单调性. 【例6】（多选）（20-21高二上·江苏无锡·期中）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（    ） A．当 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项，公比不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】，当时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确； ，当 ，时，为摆动数列，故错误； ，当，时，数列为递减数列，故错误； ，若，且取负数时，则为 摆动数列，故错误， 故选：BCD． 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 【变式6-1】（20-21高二上·江苏连云港·期中）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意转化条件得数列的连续四项在集合中，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】 ，且数列有连续四项在集合中， ，数列的连续四项在集合中， 因为是等比数列，等比数列中一定有正项和负项相邻，则，所以等比数列各项的绝对值递增或递减. 按绝对值的顺序排列上述数值得，相邻两项相除， 则可得是数列的连续四项， 或（舍去） 故选:A. 【变式6-2】(多选)（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正项等比数列知，又且知：且，再由等比数列的性质有即可判断各选项的正误. 【详解】由题意知：，即中一个大于1，另一个小于1. ∵等比数列的各项均为正数，公比为，即， ∴要么递增，要么递减，而， ∴综上知：，即为递减数列且， ∵，又， ∴，而. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：由等比正项数列性质，结合已知推出，，并结合应用等比数列下标和相等的两项之积相等，判断，与1的大小关系. 【变式6-3】(多选)（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前n项和为，则以下命题正确的有（    ）． A．若数列为等差数列，则为等比数列 B．若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到 【答案】ACD 【分析】用定义法判断数列为等比数列，利用等差数列，等比数列的性质解题. 【详解】选项A：若为等差数列，设公差为，则为常数， 则为等比数列； 选项B：若数列为等差数列，设公差为，首项为， 则， 当时，恒成立，数列为常数列，则不是严格增数列； 选项C：若数列为等比数列，设首项为，公比为， 时，为常数列，，所以，， 时， ， 所以若数列为等比数列，则恒成立； 选项D：若数列为等差数列，，，可得， 又等差数列性质有，，由可知， 所以的最大值在n为8或9时取到. 故选：ACD 【变式6-4】（20-21高二上·江苏苏州·期中）在①1，，成等差数列；②递增等比数列中的项，是方程的两根；这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由. 已知数列和等差数列满足__________，且，，是否存在使得是数列中的项？（为数列的前n项和，为数列的前n项和） 【答案】任选①②，结论都是：不存在使得是数列中的项． 【解析】选①，由得出数列是系数，求得其通项公式后，可得，公差为，从而得，根据的表达式知时，，结合表达式可得结论． 选②，由方程的根，及数列的性质得出，从而可得，求出，得公差后可得，在时，，结合可得结论． 【详解】若选①，∵1，，成等差数列，∴， 即，显然，， 时，，化简得，∴是等比数列，公比为2，∴， ∴，，是等差数列，则， ， ，，，时都有，而， ∴不存在使得是数列中的项． 若选②，∵递增等比数列中的项，是方程的两根， ∴，则，，， ，，， ， 易知，时，，而， ∴不存在使得是数列中的项． 【点睛】关键点点睛：本题考查注等比数列的通项公式，求等差数列的前项和，解题关键是由基本量法法求得和，然后分析与的性质，确定结论． 【考点题型七】等比数列实际应用 【例7】（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，结合等面积法即可求解. 【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折5次后，得到腰长为等腰直角三角形，斜边长为， 设该等腰直角三角形的内切圆半径为，则由等面积法可得，解得. 故选：A. 【变式7-1】（多选）（23-24高二下·江苏盐城·期中）在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（    ） A． B． C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和取值范围 【答案】ABD 【分析】利用正方形的特征结合的三角函数值可判定A、B选项，利用相似三角形的相似比可判定C选项，同时结合等比数列的求和公式可判定D选项. 【详解】对A：由题意可知， ， 而，则， 所以，故A正确； 对B：由上可知， 所以，故B正确； 对C：易知，此后对应三角形均相似， 而相似比， 即是首项为3，公比为的等比数列， 是首项为，公比为的等比数列，故C错误； 对D：由上可得，则， 则， 显然单调递减，即，所以的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出等比数列的首项和公比，由此即可顺利得解. 【变式7-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有511个正方形，且其最大的正方形的边长为1，则其最小正方形的边长为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得方形的边长构成以1为首项，为公比的等比数列，结合等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由题意，得正方形的边长构成以1为首项，为公比的等比数列， 现已知共含有511个正方形，则有， 解得，所以最小正方形的边长为. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则 ． 【答案】 【分析】分析可知，位于第行第项，根据题意得出，，再根据已知条件可得出关于、的方程组，由此可解得的值. 【详解】第行最后一项为，第行最后一项为，第行最后一项为，， 以此类推可知，第行最后一项为， 因为，所以，位于第行第项， 由题意可知，，则①， ，②， 由①②可得，. 故答案为：. 【变式7-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：）． 【答案】 【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解. 【详解】设第个正方形的边长为，则， 因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， 所以，， 所以外围第2个正方形的边长为， 同理，外围第个正方形的边长为， 即数列是首项为3，公比为的等比数列， 所以， 所以， 所以第7个正方形的周长是； 所以第个正方形的面积为， 所以前个正方形的面积之和， 由得， 两边取常用对数得，，， 因为，所以至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：；8 【考点题型八】等比数列恒成立 【例8】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】先通过递推公式求出的通项公式，代入求出的通项公式，最后代入转化为恒成立问题，研究新数列的单调性即可求出最小值. 【详解】因为，所以， 所以，即， 两边同除可得， 又因为时，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以， 代入不等式可得， 即， 令，则， 所以 ， 因为， 所以， 所以恒成立，即为单调递增数列，所以， 所以，即的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：数列的恒成立问题往往需要研究数列的单调性，一般通过作差法来判断单调性. 【变式8-1】（20-21高二上·江苏南通·期中）等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为（    ） A．102 B．203 C．204 D．205 【答案】C 【解析】由题意可得，，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由，即，则有，即。 所以等比数列各项为正数， 由，即， 可得：， 所以， ， 故使得成立的最大自然数n的值为204， 故选：C 【点睛】关键点点睛：在分析出，的前提下，由等比数列的性质可得，，即可求解，属于难题. 【变式8-2】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【答案】【小题1】； 【小题2】①；②． 【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解； （2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解；       ②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果. 【详解】（1）依题意得，解得， ，即． （2）①，， ， ， 所以 ． ． ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则， 又， 当时，；时，， 所以，且，则． 所以实数的最大值为． 【变式8-3】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，且不等式对任意恒成立，求正整数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式与前项和公式列列方程组求解，由与的关系求解， （2）转化为最值问题求解， 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得：   ∴ ． 由得： 当时， 又适合上式，所以． （2）不等式对任意恒成立 则， 显然，则为单调递增数列， ， 正整数的最大值为． 【变式8-4】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得． (1)若，，求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，． 【分析】（1）根据求； （2）根据和等差数列的定义证明； （3）根据等差、等比数列的求和公式和得到，然后结合，为不小于3的正整数得到，. 【详解】（1）当时，， 因为，，所以． （2）由，得， 两式相减，得，即， 所以． 两式相减，得，所以数列为等差数列． （3）依题意：，由得：， 即，所以． 因为，且，所以， 又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时， 所以，． 【考点题型九】等比数列分奇偶 【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，若， 则（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】按奇偶性分类讨论即可求解. 【详解】为奇数时，依题意有， 又由可知，故上式无解. 为偶数时，依题意有， 故选：A 【变式9-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列满足且，． (1)求通项； (2)求数列的前项之和． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据数列递推公式的分段形式，分别求为奇数和偶数的通项公式; （2）由（1）可知，利用错位相减法求和. 【详解】（1） 当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列， ，∴，为奇数； 当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列， ，∴，为偶数 ∴； （2） 记， 相减得： ∴ 【变式9-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）在数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可； （2）根据等比数列、等差数列前项和公式分组进行求和即可. 【详解】（1）由已知得，， 即， 又数列是公比为4的等比数列； （2）由（1）知，            . 【变式9-3】（21-22高二上·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，，，数列为各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前2n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，根据，令求得公差即可；根据 ，，求得首项和公比求解. （2）由，利用分组求和法求解. 【详解】（1）解：设数列的公差为d，数列的公比为q， 因为， 所以令得，即， 又， 所以， 因为，， 所以， 解得或（舍） 所以. （2）由（1）得， 所以， . 【变式9-4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，且成等差数列，解出和，即可写出通项公式； （2）由（1）可得，则数列的前项和可以分为奇数项和和偶数项和两组分别求和，计算可得结果. 【详解】（1）因为成等差数列，所以，即， 又，所以，所以通项公式为，； （2）由（1）可知， 则， 所以 ． 【考点题型十】等比数列综合考点 【例10】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知，，（，），为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前n项和公式求答案. 【详解】由（，）可得， 已知，，所以， 即是一个以3为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， ，，，，， ， 故选B. 【变式10-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等比数列中，，，则（    ） A． B． C．5 D．1 【答案】C 【分析】由等比数列前项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得. 【详解】设公比为，显然，则由题意得，两式相除得， 所以， 故选：C. 【变式10-1】（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数列满足，，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意求得，得到的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，即可求出的通项公式，即可判断A；求得为奇数和为偶数时，数列的通项公式，可判定B正确；根据为奇数和偶数，求得，可判定C正确；结合时，可判定D错误. 【详解】由题意，数列满足， 所以， 可得， 因为，可得，所以， 所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，， 即是以为首项，为公比的等比数列，所以，故A正确； 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以，故B正确； 对于C中，当时， ， 当时，， 所以恒成立，即C正确； 对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误. 故选：ABC. 【变式10-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）若是等比数列，且前项和为，则 . 【答案】 【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解. 【详解】当时，，当时，， 所以， 又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列， 此数列的前项和，则的值为. 故答案为：. 【变式10-3】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列为等差数列，其公差，若数列中的部分项组成的数列，，…，，…恰为等比数列，其中，，，则 . 【答案】 【分析】根据等比中项的性质化简可得，进而求得的公比，再根据等差数列与等比数列的通项公式列等式化简求解即可得出表达式，然后根据分组求和即可得出结果. 【详解】由题意有，即，所以， 由化简可得， 所以，所以等比数列的公比， 由于是等差数列的第项，且是等比数列的第项， 故，所以． 所以 . 故答案为：. 【变式10-4】（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知等比数列的前n项和，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前n项和的递推公式，求出，代入即可求解. 【详解】因为等比数列的前n项和， 当时，， 当时，， 因为为等比数列，所以公比，则， 所以， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司33 学科网（北京）股份有限公司 $$