第15讲正余弦定理-2026年广东省春季高考数学复习资料

第15讲 如 加识导图 正余弦定理 正余弦定理 正弦定理 公式一 abc =2R(R为AABC的外接圆的半径) sinA sinB sinC ①sinA= b sin B= sin C=- 2R 2R (角化边) 2R 变形公式一 ②a=2 R.sin A,b=2 R.sin B,c=2 R.sin C边化角) 3a:b:c=sin A:sin B:sin C a+b a+b+c sinA-sin A+sin B sin A+sin B+sin C 使用范围一(1)已知两角和一边(2)已知两边一对应角 余弦定理 cos A=b'te a2=b2+c2-2bc-cosA 2be 公式-b2=a2+c2-2 ac-cosB 两边一角求边一 cos B=+eb 三边求角 2ac c2=a2+b2-2ab.cosC cosC=a+bc2 2ab 使用范围一已知三角求边一已知两边一角求边 三角形面积 ①S4c=h,山，为a边上的高) 2 -bcsinA-acsinB 2 2 ③S度r(a+b+cXr2为三角形内切圆的半)径 常见结论 ∠A+∠B+∠C=π 在三角形中大边对大角，大角对大边 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 三角形中的射影定理 在△4ABC中，a=bcos C十ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A十acos B. sin(A+B)=sinC sin(B+C)=sin A sin(A+C)=sin B cos(A+B)=-cosC cos(A+C)=-cos B cos(C+B)=-cosA tan(A十B)=一tanC tan(B十C)=-tanA tan(A十C)=-tanB 考点突破 2 考向一正余弦定理的选择 考向五正余弦定理在几何中的应用 考向二边角互换 正余弦定理 考向六三角形周长的最值 考向三三角形形状的判断 考向七三角形面积的最值 考向四三角形面积 考向一正余弦定理的选择 【例1-1】在48C中，a=2,c=4∠8-号，则6=（) A.22 B.2W5 C.4 D.6 【例1-2】在ABC中，BC=2√2，AC=2,AB=√5+1，则A=（) A.30 B.60 C.120 D.150 【例1-3】在ABC中，若BC=2,CA=√7，AB=3,则ABC的最大角与最小角之和是（) A.90° B.120° C.135° D.150° 【倒1-4】在4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,若A=骨a=5.c=l,则角C的大小 是() A君 B.8 C. D.π或 6 6 例151在4B0中，若A,osB乌，8C=6,期1C() A.4 B.4N2 C.3 D.45 3 【例1-6】在ABC中，A= -3.cosC= 7，BC=V7,则AB=() A.4 B.3 C.2W3 D.2 【例1-7】已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C所对的边，若B=60,b=V5,c=V2,则C=（) A.45° B.135° C.45°或135° D.120° 【变式】 1.在ABC中，A=60°，b=1,c=4,则a等于（) A.13 B.√15 C.√19 D.21 2.在4Bc中，4C=44B=LC-三，别BC为() A.5 B.3 C.2 D.1 3.在ABC中，BC=√6，AC=V5+L,AB=V10,则A=() A.45° B.60° C.120 D.135 4,已知ABC的角A,B,G对边分别为a,b,c,若a=4,b=45,B-行，则本（) A 8.月 C.2r 3 D. 6 5.已知Bc中，a=5.b=6B-年，别A=（) A B,支 c.5 D. 2π 6 3 6.在48c中，已知C=至，b=2,c=2,则8为（) A君 B. D. 5π 6 7在ABC中，2A=B+C,AC=8,cosC=则BC=(） A.11 B.7 0.16 6 0.5 考向二边角互换 【例2-1】在ABC中，满足a2=b2+c2+V3bc,则A=（) A.150° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 【例2-2】设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,若bsin A=5sinB,则a= 【例2-3】已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若V3a=2bsin(B+C),则B=（) A君 B. c号 【例2-4】在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,cc0sB-(2a-b)cosC=0,则角C=（) A君 6.号 C. 0. 6 【例2-5】.在ABC中，asinC+acosC-b-√2c=0,则A仁（) A子 B.5 D. 【变式】 1.已知ABC的内角A,B,C分别所对的边a,b,c,若满足a+b+c(a+b-c-3ab=0,则角C的大 小为（) A.60° B.90° C.150° D.120° 2.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=2 acosA,则A=（) A君 B.号 C.π 4 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,且acosC-2b-ccos A=0,则角A的大小为（) A B.号 c.牙 0.4 π 4.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且2b=c+2ac0sC.则角A=一 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+bsinC=a+c,则B= 考向三三角形形状的判断 【例3-2】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a cos A=bcosB,则ABC为（). A.等腰直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 【例3-2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b=ccosA.,则△ABC的形状为()· A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 【例3-3】记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且cosC+CcosB=sinA,则ABC是() a A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.钝角三角形 【变式】 1.在ABC中，若a=2 bcosC,则ABC是（) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形 2.在ABC中，若2 sin B cos A=sinB+A,则ABC一定是（) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 3.在ABC中，若OA-三，则ABC的形状是（) cosC a A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形 4.在ABC中，a=2 bcos C,则ABC的形状一定为（) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 5.在ABC中，若a cos A=bcos B,则ABC的形状为（) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形 6.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-ccosB=b-ccosA,则ABC的形状是（) 三角形 A.等腰 B.直角 C.等腰直角 D.等腰或直角 考向四三角形面积 【例4-1】BC内角A,8,C的对边分别为a,b,6,且a=2c=点B=石，则48C的面积为() A.3 2 B.3 C.5 D.2√5 4 【例4-2】已知ABC的面积为V3,B=T,AB=4,则边AC的长度为（) 3 A.3 B.4 C.√10 D.√13 【例4-3】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b=c+2 a cosC. (1)求A: ②)若4BC的周长为9，面积为3，求日 【变式】 1.在4C中，共内角4,8，C的对边分别为abc,若a=1b=C=5,则4BC的面积为（) A B c.35 0.35 2 4 2.在ABC中，A= :,1C:2,且48c的西积为原，到4=() A.1 B.√ C.2 D.3 3.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3 asinC=c(1+cosA. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的周长为6，求ABC的面积. 6 4.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a=2,bsin A=√3 a cos B. (1)求角B的大小 (2)若b=√7. （i)求c的值 (ii)求ABC的面积. 考向五正余弦定理在几何中的应用 例5-1】如图，已知△45C中，AB=6,ZABC=45,∠4CB=60P （1)求AC的长： (2)若CD=5,求AD的长. 2.如图，在平面四边形ABCD中，LADB=45°，∠BAD=105°， y (1)求边AB的长： (2)求ABC的面积. 【变式】 1.知图，已知在ABC中，MB=3y6,∠ABC=45∠ACB=60, 2’ B C (1)求AC的长； (2)若CD=5,求AD的长. 8 AD=6 =2,8C=2,4AC=3. 点D在边BC的延长线上. 2.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=120°， D (1)求AC; (2)求LACD. 3.如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD, D A B (1)求cos∠ADB; AB=2,AD=2√2，ABC的面积为V5. ∠R1D-年，21B-BD-4 9 (2)若BC=√22，求CD. 考向六三角形周长的最值 【例6-1】.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)求C的大小； (2)若a>2,且b-c=1,求ABC周长的最小值. 【例6-2】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b=√3， (1)求角B的大小： (2)求△ABC周长的取值范围. 10 且3 acosC=csin A. (a-sin C)cos B sin B cosC. 第15讲 正余弦定理 考向一 正余弦定理的选择 【例1-1】在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解析】依题意，.故选：B 【例1-2】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理， 又，所以.故选：B. 【例1-3】在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，即角与角分别为的最大角与最小角， 由余弦定理，， 因，则，故. 故选：B. 【例1-4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题设及，则， 又，故C为锐角，且，所以. 故选：B． 【例1-5】在中，若，，，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】根据题意，，所以，且， 由正弦定理得，即，解得. 故选：A. 【例1-6】在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 【例1-7】已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 【变式】 1．在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得， 解得.故选：A 2．在中，，则为（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】在中，因为， 由余弦定理， 解得，或（舍去），即. 故选：D． 3．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 又，所以. 故选：A 4．已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，因为，所以. 故选：A 5．已知中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】根据正弦定理可得：，，解得. 因为，所以，所以.故选：A. 6．在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，由正弦定理得， 而，即，所以.故选：A 7．在中，，，，则（    ） A．11 B．7 C．16 D． 【答案】D 【解析】由，可得.显然，故， 于是. 在中由正弦定理可得，故.故选：D. 考向二 边角互换 【例2-1】在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 【例2-2】设的内角，，的对边分别是，，，若，则 . 【答案】5 【解析】因为，由正弦定理可得：，又，解得.故答案为：5 【例2-3】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理可得， ，且，为锐角三角形，则故选:C. 【例2-4】在中，角，，的对边分别是，，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由及正弦定理， 得， 则， 而，，则，所以. 故选：B 【例2-5】．在中， 则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由及正弦定理， 得， 即， 整理得，而， 因此，即，由，得， 则，所以. 故选：D 【变式】 1．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【解析】由，得，即， 所以，又，所以.故选：A 2．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2acosA，则A=（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】∵bcosC+ccosB=2acosA， ∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA， 可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosA， ∵A∈（0，π），sinA≠0， ∴cosA=， ∴可得A=． 故选B． 3．在中，角，，的对边分别是，，，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， 由正弦定理可得，即.∵，∴.∵，∴.选A． 4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【解析】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得： 即所以 又，所以，又，， 解得或，又，所以．故答案为：． 考向三 三角形形状的判断 【例3-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ）． A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】因为，根据余弦定理得， 整理得，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故选：B. 【例3-2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（ ）. A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理可得，化简得， 由勾股定理的逆定理可知是以角为直角的直角三角形. 故选：B. 【例3-3】记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 【变式】 1．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，则. 故选：A. 2．在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】由题设， 则，又， 所以，即一定是等腰三角形. 故选：C 3．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 4．在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 5．在中，若，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】由已知及正弦边角关系有，则， 三角形中，则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【答案】D 【解析】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确．故选：D． 考向四 三角形面积 【例4-1】内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在中，， 所以的面积为. 故选：A 【例4-2】已知的面积为，则边的长度为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，可得， 所以，故选:D． 【例4-3】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的周长为9，面积为，求a. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. （2）由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 【变式】 1．在中，其内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，， 所以的面积为. 故选：D 2．在中，，，且的面积为，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据题意，，，解得.故选：A. 3．记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的周长为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）（方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. （2）由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 4．在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1）由和正弦定理，可得， 而，则，故， 即，解得. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得，解得或（舍去）. （ii）由三角形面积公式得. 考向五 正余弦定理在几何中的应用 【例5-1】如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°． （1）求AC的长； （2）若CD＝5，求AD的长． 【答案】（1）3，（2）7 【解析】（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，, 则， （2）因为∠ACB＝60°，所以, 在中，由余弦定理得， 2．如图，在平面四边形中，，，，，． (1)求边的长； (2)求的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得． （2）在中，由余弦定理得 ． ∴． ∴． 【变式】 1．如图，已知在中，，，点D在边的延长线上． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】(1) 3   (2)  7 【解析】（1）在中，， 由正弦定理可得，所以 （2）由题意，则 由余弦定理可得： 所以 2．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. (1)求AC； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为的面积为，所以. 又因为，，所以. 由余弦定理得，， ，所以. （2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以. 3．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD， ∠BAD=，2AB=BD=4. （1）求cos∠ADB； （2）若BC=，求CD. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）中，，即，解得，故； （2） 中，，即， 化简得，解得． 考向六 三角形周长的最值 【例6-1】．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小; (2)若，且，求周长的最小值. 【答案】(1) (2). 【解析】（1） 因为，由正弦定理. 由，得，所以，即. 又，所以. （2） 由（1）知，则. 因为，所以，则. 的周长为. 因为，所以，当且仅当时，等号成立. 故周长的最小值为. 【例6-2】在中，角的对边分别为，其中，且. (1)求角的大小； (2)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以； （2）解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为 【变式】 1．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1），由倍角公式得， 由余弦定理，，化简得， 则，由，得. （2）由正弦定理得︰ ， ∴ ， ，， ， 由， ，∴， 即（当且仅当时，等号成立）， 从而周长的取值范围是 2．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：由正弦定理及， 所以. 所以由余弦定理得， 又，所以. （2）解：因为，，由余弦定理可得， 可得，所以，， 可得，当且仅当时取等号， 又由三角形三边关系得， 所以的取值范围是. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）∵，∴，， ∴，又，∴； （2）由余弦定理，得，即． 因为， 所以．即（当且仅当时等号成立）． 所以．故周长的最大值. 考向七 三角形面积的最值 【例7】在中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求角的值； (2)若外接圆的半径，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：由及正弦定理可得， 即， 因为，则，所以，，则， ，因此，. （2）解：由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为. 【变式】 1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求C； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由得， ， 故， 由正弦定理得， 即， 即， 故，即，故； 或，不合题意，舍去．故． （2）因为，故，则， 当且仅当时，取得最大值，故面积的最大值为． 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角C； (2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，故，，因为，所以 （2）根据正弦定理得：，解得：， 根据余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当时等号成立，此时，所以面积的最大值为 3．已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若，求△的面积S的最大值. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由正弦定理知：， ∴，又， ∴，则，故. （2）由，又，则， ∴，当且仅当时等号成立， ∴△的面积S的最大值为. 题组一 正余弦定理的选择 1．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】B 【解析】由题可得，因为，所以.故选：B 2．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得.故选：A. 3．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得在中，，由正弦定理得，解得，故A正确. 故选：A 4．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，所以.因为，所以.故选：C. 5．在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，即，所以， 又，所以，故.故选：C 6．在中，，，，则（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由，，则，由正弦定理，， 又，则，故.故选：A. 7．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理得. 故选：A 8．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，设，，， 所以由余弦定理得， 因为为的内角，所以. 9．在中，已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由，得， 由正弦定理得.故选：D 10．记内角B，C所对的边为b，c.若，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理可得， 结合，即得， 而，所以， 从而，故， 则，故.故选：A. 题组二 边角互换 1.在中，若，则等于 【答案】或； 【解析】由，结合正弦定理可得：， 因为，所以，因为，所以或 2.在中，记内角所对的边分别为.若，则 【答案】 【解析】由，得，由余弦定理得， 又，所以. 3.在中，角，，的对边分别是，，，，则角 【答案】 【解析】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 4.在中，内角所对的边分别为，，，则 【答案】 【解析】解因为，由正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴.故选：D. 5.已知在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则 【答案】 【解析】由得：，所以，即， 则，又，所以．故选：． 6已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 【答案】 【解析】由，根据正弦定理有，所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 7.在中，，，分别为内角，，的对边，且，则 【答案】 【解析】， 由正弦定理可得， 又在中，， ，， 在中，，，且为的内角， 8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则 【答案】 【解析】在中，因为， 由正弦定理，可得，即， 可得， 因为，可得，即， 因为，可得，所以. 9.在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________． 【答案】 【解析】由正弦定理：故 即 故，又故故答案为： 10已知中，，，则______. 【答案】 【解析】∵，∴根据正弦定理得，，又， ∴，∴， ∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴， ∵A是三角形内角，∴，∴.故答案为：. 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝ 【答案】 【解析】由正弦定理得， 即， 所以，在中，所以，，又，所以， 则． 12．在中，内角所对的边分别为，，则 【答案】 【解析】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得，得， 因为，所以， 所以，解得. 13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C= 【答案】 由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 故答案为：. 题组三 三角形形状的判断 1．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】可得，由正弦定理可得: ，即， 可得，，或，解得或，即是等腰或直角三角形.故选：D 2．若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】因为，，所以或者. 即或者（）.所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：C 3．在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 【答案】B 【解析】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 4．在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】由可得， 又， 所以， 由于为的内角，所以， 故为等腰三角形， 故选：B 5．已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】由余弦定理得， 所以， 可得，所以是直角三角形. 故选：C. 6．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】在中，由及正弦定理，得， 于是，而，则， 所以是等腰三角形. 故选：A 8．已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】根据正弦定理知 ， 所以， 在三角形中， 所以，则，即A为直角.故选：B 9．在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D 10．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】由得：，即， 即，且，所以. 故选：B． 11．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形或直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由及正弦定理， 得， 因为，且， 则，且，且， 所以或，即或， 故是等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 12．中，角的对边分别为，若，则是（     ）三角形. A．等边 B．等腰 C．直角 D．等腰或直角 【答案】B 【解析】，由正弦定理得， 即， 由于，故，故， 故，所以或. 若，则，与三角形内角和矛盾，舍去， 若，则是等腰三角形，满足要求. 故选：B 13．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由，得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 14．记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确.故选：B 15．已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是（    ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①，由，由正弦定理可得， 即，所以，是以是等边三角形，故①正确； 对于②，由正弦定理可得，可得， 所以或， 所以或 所以是等腰或直角三角形，故②不正确； 对于③，因为， 由正弦定理可得，即， 由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理可得，所以角为锐角， 而角不一定是锐角，④不正确．故选：B． 题组四 三角形面积 1．在中，，，，则这个三角形的面积为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由题意知，三角形的面积.故选：D. 2．在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积为，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为在中，，，的面积为， 所以，解得. 故选：A 3．在中，已知.且的面积为，则边长 . 【答案】4 【解析】由. 故答案为：4. 4．在中，若，，且的面积为，则 ． 【答案】 【解析】因为，，且的面积为， 所以，，解得：. 故答案为：. 5．在中，角A，B，C所对的边分别为的面积 . 【答案】/ 【解析】，故答案为： 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）在中，由及余弦定理得，而， 所以. （2）由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以， 又，所以． （2）由正弦定理，得，又，所以． 因为，所以， 由，得，所以，，又，所以． 所以的面积为． 8．在中，内角所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由余弦定理得：， ， 又由，因为，所以； （2）由，， 可得，所以的面积为. 9．的内角A，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得. 又，所以. 因为，所以； （2）的面积，则. 由余弦定理：， 得， 所以， 故的周长为. 10．记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且. (1)求. (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）因为，且， 所以， 所以， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以 111．的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由余弦定理可知，. 因为，所以， 即. 由，且， 解得，则. （2）的面积，则. 因为，所以由，可得 ， 则，， 故的周长为. 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得， 即， 由正弦定理可得， 即， 因为，，所以得， 即，又因为，所以； （2）由（1）知，，又， 由余弦定理得，得， 解得或（舍）， 所以的面积． 题组五 正余弦定理在几何中的应用 1．如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，. (1)求的长； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）在中，由余弦定理得： ，解得：， 设为外接圆半径，由正弦定理得：， 即. （2）为直径，， ，，又， . 2．如图，在中，，，，点在上，且． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）3；（2）． 【解析】（1）∵ 在中，由余弦定理得或（舍）． （2）由已知， ∴ 由正弦定理得 ∴ ∴ 3．已知中，，是边上一点，，，. （1）求的长； （2）求的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 1）由已知得， 在中，， ∴，得. （2）中，由余弦定理得， 又，，， ∴， 解得. 4．如图，在平面四边形中，与互补，， （1）求的长； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，在中，根据余弦定理得： ， ； （2）因为且，， 又与互补，则 由正弦定理得： . 5．如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，. （1）求的长； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）因为，在中，由余弦定理得 ，所以，所以 ，所以. （2）在中，由正弦定理得，所以， 所以.因为点在边上，所以，而， 所以只能为钝角，所以， 所以 . 6．如图，在中，为边上一点，且，已知，. （1）若是锐角三角形，，求角的大小； （2）若的面积为，求的长. 【答案】（1）.（2）. 【解析】（1）在中，，，，由正弦定理得， 解得，所以或. 因为是锐角三角形，所以. 又，所以. （2）由题意可得，解得， 由余弦定理得 ，解得， 则. 所以的长为. 7．如图，在中，是边的中点，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）在中，，， ； （2）由（1）知，，且， ， 是边的中点， ， 在中，， 解得， 由正弦定理，可得． 8．如图，在四边形中，，，. （1）求的长； （2）若的面积为6，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题可知. 在中，， 所以. （2），则. 又， 所以. 9．如图，在中，已知，是边上的一点，，，. （1）求的面积； （2）求边的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）在中，由余弦定理得 ， ∵为三角形的内角， ，     ， ． （2）在中，， 由正弦定理得： ∴． 10．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知得， ，， 所以 是等腰三角形，， 所以， 所以. （2）由（1）知中，，， 又， 所以. 11．如图，在四边形ABCD中，，，. （1）求的大小； （2）若，，求AD的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）在△ABC中，S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC，得sin＝， ∴，∴AB＝BC，又∵，∴∠ACB； （2）∵BC⊥CD，由（1）得∠ACD，在△ABC中， 由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos＝（）2+（）2﹣2×＝9， ∴AC＝3，∴在△ACD中，由正弦定理可得：AD＝＝＝． 12．如图，在平面四边形ABCD中，，BC＝CD＝2，∠ADC＝150°，∠BCD＝120°． （1）求BD的长； （2）求∠BAD的大小． 【答案】（1）；（2）45°. 【解析】（1）如图: 在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，由余弦定理得， ， ∴. （2）在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°， ∴∠CDB=∠CBD=30° ∵∠ADC=150° ∴∠ADB=120° 在ΔADB中，由正弦定理得， ∵ ∴ ∴ ∵为锐角 ∴∠BAD=45°. 13．如图，在四边形中，，，，. (1)求； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2)3 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，根据正弦定理知，， 即， 解得. （2）因为且， 所以. 因为， 所以， 在中，由余弦定理知，， 即， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以的长为3. 14．在平面四边形中，． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）因为为直角三角形，， 所以． 在中，， 由余弦定理，得，所以． （2）由（1）知，，，所以， 所以为直角三角形，且， 所以， 故． 15．如图，在中，D为边BC上一点，，，，. (1)求的大小； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，， 又，所以 ； （2）在中，， 则 ， 因为，所以， 在中，，则 ， ， 在中，因为，所以， 则 ， 故. 题组六 三角形周长的最值 1．已知的内角的对边分别为，且. (1)求边长和角A； (2)求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ， 可得， 因为，所以， 由得， 得， 故或，故或0 (舍去). （2）因为， 由余弦定理得，即， 所以， 又，即， 解得， 根据三角形三边关系得到， 故， 的周长的取值范围是. 2．的内角，，的对边分别为，，，为中点，设. (1)求； (2)若的面积等于，求的周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为. 由正弦定理与诱导公式可得. 显然，所以，所以， ∵，所以，∴. （2）依题意，即，∴， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当时取等号， 所以的周长最小值为. 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由正弦定理得，， 由于，所以. （2）由正弦定理得， ， ， 三角形的周长为 ， 由于， 所以. 所以周长的最大值为. 4．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若的面积为，求周长的最小值． 【答案】（1）；（2）9. 【解析】（1）由正弦定理： 化简， 可得， 所以，即． 又， 所以． （2）结合三角形的面积公式得到，即． 所以，当且仅当时取等号． 又由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号． 所以周长的最小值为． 5．在中，内角，，对应的三边长分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，在中，且满足， 由余弦定理，可得，即， 可得， 又因为，所以． （2）由正弦定理可得，， 所以 因为，所以，可得， 所以，所以周长． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由，利用正弦定理可得：，化为：． 由余弦定理可得：，，∴． （2）在中有正弦定理得，又， 所以，， 故， 因为且，故且，所以，，则， 故周长的取值范围为 7．内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵， 由正弦定理得， 得：，又， ∴ . （2）∵， 由正弦定理得：， ∴的周长： ， ∵，∴， ∴，即：， ∴， ∴的周长的取值范围是. 8．设的内角所对的边分别为且. （1）求角的大小; （2）若,求的周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）， 根据正弦定理，得． 又中，， ， 化简得，结合可得 ，； （2），， 根据正弦定理，可得，同理可得， 因此，的周长 ． ，得， ，，可得， 即的周长的取值范围为． 9．已知的内角所对的边分别为 （1）求； （2）已知，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由可得 即，则， 所以 （2）， 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以 所以三角形周长的取值范围是 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足． (1)求角B的大小； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】1）因为， 由余弦定理得，又，所以. （2）因为， 由（1）得，当且仅当时取等号， 所以， 面积 所以三角形面积的最大值为． 题组七 三角形面积的最值 1．已知锐角△中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，求△面积的最大值 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵ ∴， ∴ ∴ ∵△为锐角三角形，为锐角，∴ ∴，即， ∴△内角. （2）由余弦定理知，， ∴，当且仅当时取等号， 即当且仅当时， ∴ ∴△面积的最大值为. 2．在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：选①，由及正弦定理可得， 所以， 因为、，所以，则， 所以，； 选②，由及正弦定理可得， 所以， 、，，所以，则. （2）解：因为，、， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积． 3．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知的角对边分别为，而且_____． （I）求； （Ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（I）；（Ⅱ） 【解析】（I）选①，∵a， ∴， ∵sinA≠0， ∴，即， 又0＜C＜π， ∴，故，即； 选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC， ∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab， ∴， ∵0＜C＜π， ∴； （Ⅱ）由（I）可知，， 在△ABC中，由余弦定理得，即， ∴ ∴，当且仅当那个a＝b时取等号， ∴，即△ABC面积的最大值为． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为 由正弦定理可得，即，又，所以，因为，所以 （2）因为，，所以，又，所以，即，当且仅当时取等号； 所以，故三角形面积的最大值 1 学科网（北京）股份有限公司 $