第九章 统计（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

第九章 统计 教学目标 1. 核心概念理解 掌握总体、个体、样本、样本容量的定义，能区分普查与抽样调查的适用场景；理解简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的原理与操作步骤。 2. 数据处理能力 能对数据进行收集、整理、描述，熟练绘制频率分布表、频率分布直方图、茎叶图、散点图等图表；会计算平均数、中位数、众数、方差、标准差等统计量，并理解其统计意义。 教学重难点 重点 1. 核心概念与抽样方法 重点掌握总体与样本的关系，简单随机抽样、分层抽样的操作步骤，这是统计推断的基础。 2. 数据描述与统计量计算 核心是频率分布直方图的绘制与解读，平均数、方差的计算与意义，这是分析数据特征的关键工具。 3. 用样本估计总体 理解样本统计量（如样本均值、样本方差）对总体的估计作用，掌握线性回归方程的建立与应用。 4. 统计思想的渗透 体会“抽样—估计—推断”的统计思维，理解统计结论的概率性特征，避免绝对化解读 难点 1. 抽样方法的合理选择 难点在于根据总体特征（如总体是否分层、个体分布是否均匀）选择合适的抽样方法，理解分层抽样中样本量的分配原理。 2. 统计量的深层解读 区分平均数、中位数、众数的适用场景，理解方差的“离散程度”本质；易混淆样本方差与总体方差的计算差异。 3. 线性回归的本质理解 难点在于理解线性相关关系的“相关性”与“因果性”的区别，掌握残差分析检验模型拟合效果的方法。 4. 统计推断的严谨性 学生易忽视样本的代表性，过度推广统计结论；需理解抽样误差的存在，学会用概率语言表述推断结果。 5. 实际问题的模型转化 难点在于将生活中的问题（如产品质量检测、高考成绩分析）转化为统计模型，设计合理的抽样与分析方案。 知识点01 抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做_______． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做_______． 2、简单随机抽样 （1）定义 一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量______________． ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． 注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置． （3）抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （4）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 3、分层抽样 （1）定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的_______． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 【即学即练】 1．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ． 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 24 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 2．某大型企业对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下（单位：人）： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下 200 400 800 35岁及以上 100 100 400 则下列说法正确的是（    ） A．所有参与调查的有2000人 B．按照年龄进行分层随机抽样，则抽取的35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为 C．从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，则 D．从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是4 知识点02 用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 . 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是_______． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3、百分位数 （1）定义 一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为_______． 4、样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的_______． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． 5、标准差和方差 （1）定义 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用_______． （2）数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差_______，则数据的离散程度_______；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． （3）平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，那么 ①一组新数据的平均数为，方差是． ②一组新数据的平均数为，方差是． ③一组新数据的平均数为，方差是． 【即学即练】 1．某班50个同学的数学成绩构成一组数据，这组数据的每个数依次减去它们的平均数，得到另一组新数据，则（    ） A．新数据与原数据的平均数相同 B．新数据与原数据的方差相同 C．新数据与原数据的中位数相同 D．新数据与原数据的极差相同 2．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 题型01 随机抽样、分层抽样 【典例1】下列抽样方法是简单随机抽样的有（　　） A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码 【典例2】为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调查，则下列说法正确的是（    ） A．1500名运动员的年龄是总体 B．抽取到的150名运动员是样本 C．这个抽样方法可以采取随机数表法抽样 D．每个运动员被抽到的机会相等 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． 【变式1】某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，从中抽取个样本，下面提供随机数表的第行到第行： ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， 若从表中第行第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是（    ） A． B． C． D．4 【变式2】一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】某社区有男性居民1600名，女性居民1400名，该社区卫生室为了解该社区居民身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用分层抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中男性居民的人数为 . 题型02 频率分布直方图、条形统计图、折线统计图、扇形统计图 【典例1】某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），其中所有学生的成绩范围是.根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人. (1)求，的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到0.01）. 【典例2】某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩整理后，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值； (2)估计这次竞赛成绩的平均分（各组数据以该组区间的中点值作代表）； (3)若该中学计划奖励竞赛成绩前15%的学生，求获得奖励的学生竞赛成绩的最低分． （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 . 频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 【变式1】课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人． (1)求n和a的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数． 【变式2】为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 【变式3】2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 题型03 百分位数 【典例1】某校高三年级共有名学生参加数学测验，已知所有学生成绩的第百分位数是分，则数学成绩不低于分的人数大约为（   ） A．200 B．300 C．1200 D．1300 【典例2】已知一组数据：的平均数为.则该组数据的分位数为（   ） A．11.5 B．12 C．12.5 D．13 计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 【变式1】若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据的60%分位数为（   ） A．5.735% B．5.60% C．5.87% D．5.90% 【变式2】某校高一年级10个班参加艺术节合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85．则这组数据的25%分位数、70%分位数为（   ） A．88，92 B．88，92.5 C．89，92.5 D．90，94.5 【变式3】已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（    ） A．该样本数据的第百分位数为 B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C．剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D．若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 题型04 样本的数字特征 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．数据1，3，2，4，3，3，4的中位数是4 B．数据1，2，2，3，3，3，4的众数是3 C．若数据的平均数为，则数据的平均数为 D．若数据的方差为，则数据的方差为 【典例2】一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记 ，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． （1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小． （2）方差的简化计算公式：或写成，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 【变式1】A，B两个小组各有6名同学，他们一周的课外阅读时长（单位：小时）如下： A组：  5  6  7  8  9  8 B组：  9  6  7  8  9  10 设A，B两组同学课外阅读时长的平均数依次为，方差依次为，.则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 1．高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 2．已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（   ） A．这组数据的上四分位数为8.5 B．这组数据没有众数 C．这组数据的极差为6 D．这组数据的平均数为6 3．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 4．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 5．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003…899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（   ） 05 26 93 70 60    22 35 85 58 51    51 03 51 59 77    59 56 78 06 83    52 91 05 70 74 07 97 10 88 23    09 98 42 99 64    61 71 62 99 15    06 51 29 16 93    58 05 77 09 51 51 26 87 85 85    54 87 66 47 54    73 32 08 11 12    44 95 92 63 16    29 56 24 29 48 A．680 B．585 C．467 D．15 6．某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 7．教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 8．某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 9．某高中共有学生2800人，高一、高二、高三人数比为2:2:3，为了解该校学生每天阅读的时间，采取分层抽样的方法从高一中抽取了14人，那么在全体学生中抽取的样本总数为（ ） A．49 B．42 C．48 D．50 10．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（   ） A．可求得 B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在之间的频率为 D．得分在之间的共有80人 11．如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 12．学校分别对高一年级和高二年级开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是(　　) A．样本中高二年级成绩的众数是85 B．样本中高二年级成绩在80分以上的频率高于高一年级成绩在80分以上的频率 C．样本中高二年级成绩的方差高于高一年级成绩的方差 D．样本中高二年级成绩的中位数高于高一年级成绩的中位数 13．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的中位数； (2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 14．某商店销售海鲜，现统计了该商店今年国庆、中秋双节前后50天该海鲜每天的需求量（，单位：千克）得频率分布直方图如右.已知该商店每天进该海鲜一次，商店每销售1千克，可获利50元，若供大于求，剩余的低价处理，每处理1千克，亏损10元；若供不应求，可以从其他商店调拨，每销售1千克获利30元.假设该商店每天进海鲜14千克，商店的日利润为（单位：元）.    (1)求该商店的日利润关于需求量的函数表达式； (2)假设每一组数据的均值用同一组数据区间的中点值代替，视频率为概率. ①求这50天该商店销售海鲜的日利润的平均数； ②估计日利润在区间内的概率. 15．衡阳县第一中学为预备2026年的全国高中数学联赛预赛，在该校先选取了前60名的学生（含60名），进行选拔，随后根据分数线选取参赛选手，该60名学生的成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是（本场选拔总分为100分）. (1)估计该一中学生选拔成绩的平均值（提示：同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)这次选拔测试成绩的第60百分位数可估计为? (3)若学校定75分为标准选拔分数线，则参赛人数大约为? 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计 教学目标 1. 核心概念理解 掌握总体、个体、样本、样本容量的定义，能区分普查与抽样调查的适用场景；理解简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的原理与操作步骤。 2. 数据处理能力 能对数据进行收集、整理、描述，熟练绘制频率分布表、频率分布直方图、茎叶图、散点图等图表；会计算平均数、中位数、众数、方差、标准差等统计量，并理解其统计意义。 教学重难点 重点 1. 核心概念与抽样方法 重点掌握总体与样本的关系，简单随机抽样、分层抽样的操作步骤，这是统计推断的基础。 2. 数据描述与统计量计算 核心是频率分布直方图的绘制与解读，平均数、方差的计算与意义，这是分析数据特征的关键工具。 3. 用样本估计总体 理解样本统计量（如样本均值、样本方差）对总体的估计作用，掌握线性回归方程的建立与应用。 4. 统计思想的渗透 体会“抽样—估计—推断”的统计思维，理解统计结论的概率性特征，避免绝对化解读 难点 1. 抽样方法的合理选择 难点在于根据总体特征（如总体是否分层、个体分布是否均匀）选择合适的抽样方法，理解分层抽样中样本量的分配原理。 2. 统计量的深层解读 区分平均数、中位数、众数的适用场景，理解方差的“离散程度”本质；易混淆样本方差与总体方差的计算差异。 3. 线性回归的本质理解 难点在于理解线性相关关系的“相关性”与“因果性”的区别，掌握残差分析检验模型拟合效果的方法。 4. 统计推断的严谨性 学生易忽视样本的代表性，过度推广统计结论；需理解抽样误差的存在，学会用概率语言表述推断结果。 5. 实际问题的模型转化 难点在于将生活中的问题（如产品质量检测、高考成绩分析）转化为统计模型，设计合理的抽样与分析方案。 知识点01 抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量． 2、简单随机抽样 （1）定义 一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本． ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． 注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置． （3）抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （4）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 3、分层抽样 （1）定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 【即学即练】 1．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ． 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 24 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 【答案】623 【分析】根据随机表数据的读取方法确定前6个编号，即可得. 【详解】按照随机数表的数据，三位一组进行读数，只取001到650内的数，重复的数只取一次． 从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数是253， 第二个数是313， 第三个数是457， 下一个数是860，不符合， 下一个数是736，不符合， 下一个数是253，重复，不符合， 第四个数是007， 第五个数是328， 第六个数是623． 故答案为：623 2．某大型企业对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下（单位：人）： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下 200 400 800 35岁及以上 100 100 400 则下列说法正确的是（    ） A．所有参与调查的有2000人 B．按照年龄进行分层随机抽样，则抽取的35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为 C．从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，则 D．从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是4 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的概念、等比例性质分析判断各项的正误. 【详解】A：由题意得，所有参与调查的人数为，对； B：35岁以下的人数为1400，35岁及以上的人数为600， 所以按照年龄进行分层随机抽样，抽取35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为，错； C：从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取人， 已知从支持A方案的人中抽取了6人，则，解得，对； D：从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，年龄在35岁及以上的人数为，错. 故选：AC 知识点02 用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 . 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3、百分位数 （1）定义 一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 4、样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． 5、标准差和方差 （1）定义 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． （2）数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． （3）平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，那么 ①一组新数据的平均数为，方差是． ②一组新数据的平均数为，方差是． ③一组新数据的平均数为，方差是． 【即学即练】 1．某班50个同学的数学成绩构成一组数据，这组数据的每个数依次减去它们的平均数，得到另一组新数据，则（    ） A．新数据与原数据的平均数相同 B．新数据与原数据的方差相同 C．新数据与原数据的中位数相同 D．新数据与原数据的极差相同 【答案】BD 【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义逐一判断即可. 【详解】设50个同学的数学成绩构成一组数据（原）数据：， 它们的平均数为（由实际意义可知），方差为， 得到的新数据为：，它们的平均数为，A错误； 新数据的方差：，B正确； 因为，所以新数据与原数据的中位数相差，C错误； 新数据与原数据的极差相同，D正确. 故选：BD 2．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 【答案】(1) (2)2 (3)98 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）根据分层抽样的方法求解. （3）利用频率分布直方图估计平均数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知： ， 解得. （2）采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：， 即成绩在的学生有2名. （3）由频率分布直方图知：平均数为： . 题型01 随机抽样、分层抽样 【典例1】下列抽样方法是简单随机抽样的有（　　） A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码 【答案】ABD 【分析】根据简单随机抽样定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动，是简单随机抽样，故正确； 对于B，是简单随机抽样，一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次，故正确； 对于C，不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的， 而不是随机抽取的，故错误； 对于D，中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码，是简单随机抽样，故正确. 故选：ABD. 【典例2】为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调查，则下列说法正确的是（    ） A．1500名运动员的年龄是总体 B．抽取到的150名运动员是样本 C．这个抽样方法可以采取随机数表法抽样 D．每个运动员被抽到的机会相等 【答案】BD 【分析】根据总体、样本的定义，结合随机抽样的性质逐一判断即可. 【详解】1500名运动员是总体，故A错误；抽取到的150名运动员是样本，故B正确；随机数表法常常用于总体的个体较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“傥拌均匀”也比较困难，用随机数表法产生的代表性不合理，故C错误；在简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，故D正确. 故选：BD 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． 【变式1】某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，从中抽取个样本，下面提供随机数表的第行到第行： ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， 若从表中第行第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用随机数表法依次写出前5个样本的编号，即可得. 【详解】由随机数表法，第2行第7列是第2行从左到右数到第7个数字，对应数字为6， 前5个样本的编号依次为， 所以第个样本编号是. 故选：C 【变式2】一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用分层抽样的定义求解. 【详解】由题意可知 抽取男运动员的人数为. 故选：B. 【变式3】某社区有男性居民1600名，女性居民1400名，该社区卫生室为了解该社区居民身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用分层抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中男性居民的人数为 . 【答案】80 【分析】根据分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意知，抽样比为，所以样本中男性居民的人数为. 故答案为：80 题型02 频率分布直方图、条形统计图、折线统计图、扇形统计图 【典例1】某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），其中所有学生的成绩范围是.根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人. (1)求，的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到0.01）. 【答案】(1)， (2)平均数为72；中位数为73.33. 【分析】（1）根据成绩在的学生人数为30人可求得，再由小矩形面积之和为1可得； （2）利用频率分布直方图平均数求法可直接计算出结果，再由中位数定义可计算出结果. 【详解】（1）由题意可得， 易知， 解得. （2）平均数为. 因为，， 所以中位数在之间，设中位数为， 则，解得. 即中位数为. 【典例2】某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩整理后，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值； (2)估计这次竞赛成绩的平均分（各组数据以该组区间的中点值作代表）； (3)若该中学计划奖励竞赛成绩前15%的学生，求获得奖励的学生竞赛成绩的最低分． 【答案】(1) (2)分 (3)分 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，结合频率和为，列出方程，即可求解； （2）由频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解； （3）由的频率为，的频率为，得到前的学生的成绩位于之间，设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为，列出方程，即可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，可得， 可得，解得. （2）由（1）知， 由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这次竞赛成绩的平均分分. （3）由题意知，前的学生对应的频率为， 因为的频率为，的频率为， 所以前的学生的成绩位于之间， 设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为，则， 所以获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为分. （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 . 频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 【变式1】课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人． (1)求n和a的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数． 【答案】(1)400； (2)105 (3)106.25 【分析】（1）由频率分布直方图，先求得课外阅读时间在内的频率，进而求得的值，利用各小组频率之和为1求得a的值； （2）利用频率分布直方图对应的平均数公式计算即得； （3）根据中位数的定义，结合频率分布直方图列方程计算即得. 【详解】（1）根据题意，课外阅读时间在内的有80人，频率为， 所以． 由频率分布直方图可知，， 解得． （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ． （3）因为，所以中位数位于内， 设中位数为x，则，解得， 所以估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数为106.25． 【变式2】为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 【答案】(1)， (2) (3)325分钟 【分析】（1）由频率分布直方图的面积特征结合题意计算可得； （2）由频率分布直方图中平均数的计算可得； （3）由频率分布直方图计算第90百分位数可得. 【详解】（1）由图知：，， ， ，，， 由于，则； （2）平均时长为 分钟； （3）由题目可知即求样本数据的第90百分位数，由（1）可知 ，， 故第90百分位数落在第六组，由， 可算出第六组小长方形的高为， 假设第90百分位数为x，则有， 解得，故最少需要325分钟. 【变式3】2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率和为1即可求解； （2）利用百分位数的定义求解即可； （3）利有平均数的定义求解即可. 【详解】（1）由，得； （2）设第70百分位数为，则，解得； （3）这600名学生成绩的平均数为. 题型03 百分位数 【典例1】某校高三年级共有名学生参加数学测验，已知所有学生成绩的第百分位数是分，则数学成绩不低于分的人数大约为（   ） A．200 B．300 C．1200 D．1300 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义求小于或等于分的人数，再用总人数减去小于或等于分的人数即可． 【详解】因为所有学生成绩的第百分位数是分 ， 所以小于或等于分的学生约有人， 则数学成绩不低于分的学生大约有人， 故选：B. 【典例2】已知一组数据：的平均数为.则该组数据的分位数为（   ） A．11.5 B．12 C．12.5 D．13 【答案】C 【分析】根据平均数的求法，可得值，根据百分位数的求法，即可得答案. 【详解】由题意平均数：，解得：， 则这组数按从小到大排列为：，共个， 则， 所以第百分位数为， 故选：C. 计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 【变式1】若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据的60%分位数为（   ） A．5.735% B．5.60% C．5.87% D．5.90% 【答案】C 【分析】将给定数据组由小到大排列，利用百分位数的步骤即可求出第60百分位数. 【详解】将该组数据从小到大排列为1.06%，2.80%，4.49%，5.60%，5.87%，5.90%，6.03%，6.40%， 由8×60%=4.8，得该组数据的60%分位数为第5个数据，即5.87%. 故选：C. 【变式2】某校高一年级10个班参加艺术节合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85．则这组数据的25%分位数、70%分位数为（   ） A．88，92 B．88，92.5 C．89，92.5 D．90，94.5 【答案】C 【分析】由百分数的计算可得. 【详解】从小到大排列为85，87，89，90，91，91，92，93，94，96， 因为，， 所以这组数据的25%分位数为89，70%分位数为. 故选：C. 【变式3】已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（    ） A．该样本数据的第百分位数为 B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C．剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D．若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 【答案】BC 【分析】根据中位数的定义可判断A选项；由频率分布直方图中中位数、平均数的概念即可判断B；由极差的定义即可判断C；由方差计算公式即可判断D. 【详解】对于A选项，由，所以样本数据的第百分位数为，A错； 对于B选项，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，则其平均数大于中位数，B对； 对于C选项，若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，由不等式的基本性质可得， 即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，即新样本数据的极差等于原样本数据的极差； 综上可知剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，C对； 对于D选项，由，则， 所以、、、的方差为，D错. 故选：BC. 题型04 样本的数字特征 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．数据1，3，2，4，3，3，4的中位数是4 B．数据1，2，2，3，3，3，4的众数是3 C．若数据的平均数为，则数据的平均数为 D．若数据的方差为，则数据的方差为 【答案】BC 【分析】将数据按照从小到大顺序排列，根据中位数定义计算数据中位数可以判断A；根据众数定义判断B；根据平均数定义计算新数据平均数，再结合原平均数可以判断C；求出新数据的平均数，再根据方差定义求方差即可判断D. 【详解】对于A，数据1，3，2，4，3，3，4从小到大排列为1，2，3，3，3，4，4， 数据个数为7，是奇数，中间的数是3，所以中位数是3，故A错误； 对于B，众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据的众数是3，故B正确； 对于C，由题意知， 则，故C正确； 对于D，由题意知， 对于数据，平均数为， 方差为 ，故D错误， 故选：BC. 【典例2】一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记 ，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平均值，方差，极差，中位数的定义及性质求解即可. 【详解】由题意可得，，，. 故选：ACD． （1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小． （2）方差的简化计算公式：或写成，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 【变式1】A，B两个小组各有6名同学，他们一周的课外阅读时长（单位：小时）如下： A组：  5  6  7  8  9  8 B组：  9  6  7  8  9  10 设A，B两组同学课外阅读时长的平均数依次为，方差依次为，.则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据均值与方差的计算公式直接求解即可． 【详解】根据题意，， ， ， ，． 故选：C． 【变式2】已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 【变式3】某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)，第80百分位数为，样本平均数为74； (2)，. 【分析】（1）由频率之和为1即可求a，先依次求出前4组和前5组频率之和得到样本成绩的第80百分位数所在区间即可计算求解，由频率分布直方图的平均数计算公式直接计算即可求平均数； （2）先依次求出两区间的样本个数、样本平均成绩、方差，再由总体平均数公式和总体方差公式即可计算两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【详解】（1）由题意， 所以前4组频率之和， 前5组频率之和， 所以样本成绩的第80百分位数在区间内，且为， 样本平均数为； （2）由题可得落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 所以两组样本成绩合并后的平均数为， 两组样本成绩合并后的方差为. 1．高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【分析】根据平均数、方差的定义即可解答． 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 2．已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（   ） A．这组数据的上四分位数为8.5 B．这组数据没有众数 C．这组数据的极差为6 D．这组数据的平均数为6 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即可. 【详解】对于A，将给定数据从小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而， 所以这组数据的上四分位数为，故A正确； 对于B，这组数据的众数是3和9，故B错误； 对于C，这组数据的极差为6，故C正确； 对于D，这组数据的平均数为，故D正确. 故选：ACD. 3．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 4．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 【答案】丙 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除甲乙丁，由假设推理判断丙． 【详解】对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故甲错误； 对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故乙错误； 对于丙，若出现6点，因为平均数为2，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故丙正确； 对于丁，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故丁错误； 故答案为：丙． 5．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003…899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（   ） 05 26 93 70 60    22 35 85 58 51    51 03 51 59 77    59 56 78 06 83    52 91 05 70 74 07 97 10 88 23    09 98 42 99 64    61 71 62 99 15    06 51 29 16 93    58 05 77 09 51 51 26 87 85 85    54 87 66 47 54    73 32 08 11 12    44 95 92 63 16    29 56 24 29 48 A．680 B．585 C．467 D．15 【答案】A 【分析】读取样本数据，即可根据百分位数的计算公式求解. 【详解】由题意可知：抽取的样本容量为8，故抽取的八个数据分别为：060,223,585,151,035,159,775,780,将其从小到大排列为035,060,151,159,223,585,775,780， ，故样本编号的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即， 故选：A 6．某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 【答案】(1) (2)中位数为：；平均数为： 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计中位数和平均数. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以． （2）由频率分布直方图，样本数据在的频率为，在的频率为， 因此语文成绩的中位数，则，则， 这100名学生语文成绩的平均数为： . 7．教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【分析】选项A:由表中数据可以看出乙成绩在以下（含）的一共有4个，所以优秀的概率为. 选项B:比较甲乙比赛成绩的平均数因为两人比赛成绩都是3分多，所以比较秒数即可.选项C:与选项B的思路一样，只需比较秒的数据的方差即可. 选项D:因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差，说明甲比乙稳定，所以派甲更好. 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为，故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，因为甲乙的成绩都是3分多，所以只需要根据秒数计算即可. 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差， 说明甲比乙稳定，所以派甲更好.故D错误. 故选：AC. 8．某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 【答案】BD 【分析】根据折线图结合极差、中位数的理解逐项分析即可得出. 【详解】由图知11月21日至30日最低气温的最大值均小于，最小值为，则极差小于，故A不正确； 由图可知11月21日至30日的日最高气温共计10天， 从小到大排序的日期为：25日，26日，27日，22日，21日，24日，23日，28日，29日，30日， 所以日最高气温的中位数为21日，24日两天对应气温的平均值，即， 故11月21日至30日的日最高气温的中位数是，故B正确； 由图可知在11月21日至30日中，有24日，25日，26日共3天的日最低气温低于，故C不正确； 由11月21日的日温差为，11月22日的日温差约为， 11月23日的日温差约为，11月24日的日温差为， 11月25日的日温差约为，11月26日的日温差约为， 11月27日的日温差约为，11月28日的日温差约为， 11月29日的日温差约为，11月30日的日温差为， 所以11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大，故D正确. 故选：BD. 9．某高中共有学生2800人，高一、高二、高三人数比为2:2:3，为了解该校学生每天阅读的时间，采取分层抽样的方法从高一中抽取了14人，那么在全体学生中抽取的样本总数为（ ） A．49 B．42 C．48 D．50 【答案】A 【分析】由分层抽样比即可求解. 【详解】设全体学生中抽取的样本总数为，则，解得. 故选：A 10．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（   ） A．可求得 B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在之间的频率为 D．得分在之间的共有80人 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】选项A：由题意得，解得，故A正确； 选项B：，， 所以中位数位于内，且设为x， 则，解得，故B错误； 选项C：得分在之间的频率为，故C正确； 选项D：得分在之间的频率为， 所以得分在之间的共有人，故D正确. 故选：B 11．如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 【答案】C 【分析】利用图象数据分析选项即可. 【详解】根据图象可以发现：2018年到2019年进口总额是降低的，故C错误. 故选：C 12．学校分别对高一年级和高二年级开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是(　　) A．样本中高二年级成绩的众数是85 B．样本中高二年级成绩在80分以上的频率高于高一年级成绩在80分以上的频率 C．样本中高二年级成绩的方差高于高一年级成绩的方差 D．样本中高二年级成绩的中位数高于高一年级成绩的中位数 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图的众数、平均数、方差、中位数、频率等逐项分析判断即可得结论. 【详解】对于A，由高二年级学生成绩的频率分布直方图，高二年级学生成绩的众数位于区间[80,90]的中点横坐标，所以众数为85，故A正确； 对于B，由样本中高二年级成绩在80分以上的人数的频率为(0.04＋0.015)×10＝0.55， 高一年级成绩在80分以上的人数的频率为(0.022＋0.010)×10＝0.32， 所以高二年级成绩在80分以上的频率高于高一年级成绩在80分以上的频率，故B正确；对于C，由频率分布直方图，可得高一学生成绩的平均数为(45×0.004＋55×0.011＋65×0.018＋75×0.035＋85×0.022＋95×0.010)×10＝74， 则高一学生成绩的方差为＝(45－74)2×0.04＋(55－74)2×0.11＋(65－74)2×0.18＋(75－74)2×0.35＋(85－74)2×0.22＋(95－74)2×0.10＝159， 高二学生成绩的平均数为(45×0.002 5＋55×0.002 5＋65×0.005＋75×0.035＋85×0.04＋95×0.015)×10＝80.25， 可得高二学生成绩的方差为＝(45－80.25)2×0.025＋(55－80.25)2×0.025＋(65－80.25)2×0.05＋(75－80.25)2×0.35＋(85－80.25)2×0.4＋(95－80.25)2×0.15≈110， 所以样本中高二年级成绩的方差低于高一年级成绩的方差，故C不正确； 对于D，由高一学生成绩的频率分布直方图，可得其中前3个矩形的面积和为(0.004＋0.011＋0.018)×10＝0.33， 前4个矩形的面积和为(0.004＋0.011＋0.018＋0.035)×10＝0.68，所以高一学生成绩的中位数位于[70,80]之间， 设中位数为x1，则x1＝70＋×10≈74.86，由 高二学生成绩的频率分布直方图，可得其中前4个矩形的面积和为(0.002 5＋0.002 5＋0.005＋0.035)×10＝0.45， 前5个矩形的面积和为(0.002 5＋0.002 5＋0.005＋0.035＋0.04)×10＝0.85，所以高二学生成绩的中位数位于[80,90]之间， 设中位数为x2，则x2＝80＋×10＝81.25， 其中74.86<81.25，所以样本中高二年级成绩的中位数高于高一年级成绩的中位数，所以D正确. 故选：ABD. 13．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的中位数； (2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)，75 (2)62,37 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；由频率分布直方图求中位数的计算公式即可求解； （2利用平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 设中位数为m， 由，得，故中位数为75. （2）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的样本人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 14．某商店销售海鲜，现统计了该商店今年国庆、中秋双节前后50天该海鲜每天的需求量（，单位：千克）得频率分布直方图如右.已知该商店每天进该海鲜一次，商店每销售1千克，可获利50元，若供大于求，剩余的低价处理，每处理1千克，亏损10元；若供不应求，可以从其他商店调拨，每销售1千克获利30元.假设该商店每天进海鲜14千克，商店的日利润为（单位：元）.    (1)求该商店的日利润关于需求量的函数表达式； (2)假设每一组数据的均值用同一组数据区间的中点值代替，视频率为概率. ①求这50天该商店销售海鲜的日利润的平均数； ②估计日利润在区间内的概率. 【答案】(1) (2)①698.8元；②0.54 【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式； （2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率. 【详解】（1）当时，则； 当时，则； 综上所述：. （2）①由频率分布直方图得： 海鲜需求量在区间的频率是，利润为元； 海鲜需求量在区间的频率是，利润为元； 海鲜需求量在区间的频率是，利润为元； 海鲜需求量在区间的频率是，利润为元； 海鲜需求量在区间的频率是，利润为元； 所以这50天该商店销售海鲜的日利润的平均数 （元）； ②因为 可知在区间上单调递增， 令，得；令，得； 日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：. 15．衡阳县第一中学为预备2026年的全国高中数学联赛预赛，在该校先选取了前60名的学生（含60名），进行选拔，随后根据分数线选取参赛选手，该60名学生的成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是（本场选拔总分为100分）. (1)估计该一中学生选拔成绩的平均值（提示：同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)这次选拔测试成绩的第60百分位数可估计为? (3)若学校定75分为标准选拔分数线，则参赛人数大约为? 【答案】(1) (2)75 (3)24 【分析】（1）根据平均数的计算公式即可求解， （2）根据百分位数的计算公式即可求解， （3）根据频率即可得解. 【详解】（1）由图可估计选拔成绩的平均值为， （2）成绩位于的频率为， 成绩位于的频率为， 因此第60百分位数位于，设为， 则，故， （3）由（2）可知75分为第60百分位数，故能参赛的人约有个. 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $