第14讲 三角函数的性质-2026年广东省春季高考数学复习资料

第14讲 三角函数的性质 考向一 周期 【例1-1】函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 【例1-2】下列函数中，周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【例1-3】已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式】 1．下列函数中，以为周期的函数是（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中周期不是π的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 考向二 对称性 【例2-1】函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】函数的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2．如果函数的图象关于点中心对称（），那么函数的一条对称轴是（    ）． A． B． C． D． 3．函数的对称轴为 . 4．写出函数的一个对称中心 ． 考向三 单调性 【例3-1】函数的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【例3-3】已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式】 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象关于直线对称，则的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，，则的最小正周期为 ，单调递增区间为 . 4．函数，的单调递增区间为 ，单调递减区间为 考向四 奇偶性 【例4-1】下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【例4-3】已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例4-3】下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是奇函数，则的值为 ． 6．函数（其中）为偶函数，则 . 考向五 值域 【例5-1】已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【例5-3】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【例5-4】已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式】 1．下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 2．函数在上的最大值是 . 3．函数最大值为 ． 4．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 考向六 解析式 【例6】已知函数的部分图象如图所示.则的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【变式】 1．已知简谐运动的部分图象如图示， 则该简谐运动的最小正周期和初相分别为 A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 3．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 考向七 伸缩平移 【例7-1】为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【例7-2】为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【例7-3】将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【例7-4】要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式】 1．已知函数的图象（部分）如图所示则 A．1 B．－1 C． D． 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 5．函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，则所得的函数解析式为 A． B． C． D． 考向八 综合运用 【例8】．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，求的最大值以及取到最大值时的值． 【变式】 1．已知函数． (1)求的最小正周期，并求出的对称轴方程； (2)若，求的单调递增区间和最小值． 2．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的最值及相应x的值． 题组一 周期 1．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．下列四个函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 6．函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 7．函数的最小正周期是，则 ． 8．已知函数的最小正周期为，则 . 9．下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 10．函数的最小正周期 题组二 对称性 1．函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数，则的对称中心为 ． 4．已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 5．写出曲线的一条对称轴的方程： ． 6．函数的图象的一个对称中心的坐标是 . 7．若函数图象的一个对称中心为，则函数的最小正周期为 . 8．函数的对称中心为 . 9．函数，的图象的对称中心的坐标是 . 10．在函数的图象的对称轴中，则离轴最近的一条对称轴方程为 . 题组三 单调性 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 4．求函数的周期 .单调递增区间 . 5．函数的单调增区间为 ． 6．函数的单调增区间为 ． 7．函数 在 上的单调递减区间为 . 题组四 奇偶性 1．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是最小正周期为的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 6．最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 9．函数是（   ） A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 10．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 11．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 12．已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 13．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 14．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 题组五 值域 1．函数，的值域为 ． 2．函数的最小值和最小正周期分别为 3．的值域是 ． 4．函数的值域为 ． 5．的最大值为 . 题组六 解析式 1．如图是函数的部分图象，则，的值是 A．， B．， C．， D．， 2．函数的图象如图所示，则 A． B． C． D． 3．已知函数 的部分图象如图，则 A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．图象的对称中心为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 5．如图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 题组七 伸缩平移 1．若想要得到函数的图象，只需要将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．2 6．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（  ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向左平移个单位长度 7．已知函数，要得到一个偶函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 8．已知函数的部分图象如图所示.则函数f(x)的图象可由函数y=sinx的图象经过下列哪种变换得到（    ） A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 8．函数（，，）的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．已知函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 10．函数（其中， ）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 11．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 12．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点　　 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 题组八 综合运用 1．已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)求使取得最小值的的集合. (4)求函数单调递增区间. 2．记向量，记函数． (1)求的最小正周期． (2)求在的最大值和最小值． 3．已知函数. (1)求函数最大值、最小值以及相应的值； (2)若，求函数的单调增区间. 4．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值． 5．已知函数的图象的一个对称中心为． (1)求的解析式； (2)求的最小值，并求出此时x的取值集合． 6．已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 7．已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 三角函数的性质 考向一 周期 【例1-1】函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】A 【解析】的最小正周期．故选：A. 【例1-2】下列函数中，周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 【例1-3】已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解析】依题意，，因，则得.故选：B. 【变式】 1．下列函数中，以为周期的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的周期为，A选项不正确； 的周期为，B选项不正确； 的周期为，C选项正确； 的周期为，D选项不正确； 故选：C. 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的最小正周期为. 故选：B. 3．下列函数中周期不是π的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数的周期为，A不是； 对于B，函数的周期为，B是； 对于C，函数的周期为，C不是； 对于D，函数的周期为，D不是. 故选：B 4．下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知的最小正周期为，的最小正周期为； 而的最小正周期为，的最小正周期为. 故选：D 考向二 对称性 【例2-1】函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 所以函数的图象的对称中心为，， 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心. 故选：C. 【例2-2】函数的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，，解得，， 当时，， 所以函数的图象的一条对称轴方程为. 故选：D. 【例2-3】若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值， 故选：C 【变式】 1．已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知,则，可得， 根据余弦函数对称轴方程得，解得得． 故选：B. 2．如果函数的图象关于点中心对称（），那么函数的一条对称轴是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数关于点中心对称， 所以，即， 又，所以，，即， 令，解得， 所以对称轴为（），则函数的一条对称轴是. 故选：B． 3．函数的对称轴为 . 【答案】 【解析】由题意有：令，解得， 故答案为：. 4．写出函数的一个对称中心 ． 【答案】（答案不唯一，） 【解析】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 故答案为： 考向三 单调性 【例3-1】函数的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 故的单调减区间为，对比各选项，只有C符合.故选：C. 【例3-2】下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误； 对C：的最小正周期为，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 【例3-3】已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【解析】由函数， 令，解得， 令，解得， 所以函数的递增区间为，递减区间为 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为， 结合选项，可得选项B正确.故选：B. 【变式】 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 2．已知函数的图象关于直线对称，则的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得， 因为，所以，，故， 令，解得， 当时，，经检验，其余选项无法满足. 故的一个单调递减区间为. 故选：A 3．已知函数，，则的最小正周期为 ，单调递增区间为 . 【答案】 （） 【解析】由题, , 所以, 令,则, 即单调增区间为（） 故答案为:；（） 4．函数，的单调递增区间为 ，单调递减区间为 【答案】 【解析】由题知函数， 令，，得，， 又，所以，即函数的单调递减区间为， 令，，得，， 又，所以，即函数的单调递增区间为， 故函数，的单调递减区间为， 单调递增区间为． 故答案为：； 考向四 奇偶性 【例4-1】下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，最小正周期为，不满足最小正周期为，故A错； 对于B，最小正周期为，但，所以是偶函数，非奇函数，故B错误； 对于C，最小正周期为，不满足周期，故C错误； 对于D，定义域为R，最小正周期为，满足最小正周期为， 又，是奇函数，故D正确． 故选：D. 【例4-3】已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为奇函数， 则，则. 故选：D 【例4-3】下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为， 且，所以是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为 且，所以是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为， 且， ，，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 【变式】 1．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，，函数不是奇函数，C不是； 对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D是. 故选：D 2．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，定义域为，而，则为奇函数，A选项错误； 对于定义域为，，则为偶函数，B选项正确； 对于定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，C选项错误； 对于定义域为，令，，不相等，也不互为相反数，是非奇非偶函数，D选项错误． 故选：B． 3．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【解析】因为函数， 所以函数的最小正周期为，函数是偶函数. 故选：D. 4．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数； 对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于D选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数是最小正周期为的偶函数. 故选：D. 5．已知函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【解析】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 6．函数（其中）为偶函数，则 . 【答案】/ 【解析】由题意可得，又，所以.故答案为：. 考向五 值域 【例5-1】已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则， 所以. 故选：B 【例5-2】函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为. 故选：B 【例5-3】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，令，则， 由，则函数的值域为.故选：C. 【例5-4】已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【解析】（1）由题可得   所以 ，则的最小正周期        （2）由于 ， 令，解得：, 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则， 又，， 所以,所以在区间上的最大值为，最小值为． 【变式】 1．下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：，不符； B：，符合； C：，不符； D：，不符. 故选：B 2．函数在上的最大值是 . 【答案】1 【解析】， 当时，， 所以由余弦函数的性质可知，当时，即时，有. 故答案为： 3．函数最大值为 ． 【答案】 【解析】依题意，， 而，所以当时，取得最大值. 故答案为： 4．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【解析】（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 考向六 解析式 【例6】已知函数的部分图象如图所示.则的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象知：，所以， 又函数图象过点，所以 ，解得 ， 又因为 ，所以，的解析式为：.故选：B 【变式】 1．已知简谐运动的部分图象如图示， 则该简谐运动的最小正周期和初相分别为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得T=2（4-1）=6,ω=，由图象过点（1，2）且A=2可得sin(+φ)=1,φ=． 故选C． 2．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】D 【解析】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么. 对于A，，所以选项A错误； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因， 所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项D正确. 故选：D. 3．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】C 【解析】对于A选项，由图可知，函数的图象过点， ，， ，解得， ，，故A正确； 对于B选项，，令，则， 的图象关于对称， 当时，函数关于对称，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位长度，得到， 则的对称轴为，故C错误； 对于D选项，函数， 当时，， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：C. 考向七 伸缩平移 【例7-1】为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象；故选：A. 【例7-2】为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【答案】C 【解析】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C 【例7-3】将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数的图像向右平移个单位，得到图像， 所以函数， 故选：A. 【例7-4】要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】由于， 所以将的图象向左平移个单位长度即得. 故选：B． 【变式】 1．已知函数的图象（部分）如图所示则 A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【解析】∵根据图象判断，周期为T＝4×（﹣）＝2，A＝2，∴＝2，解得：ω＝π； 又2sin（π×+φ）＝2，∴+φ＝2kπ+，k∈z，∴φ＝2kπ+，k∈z； ∴f（x）的解析式为f（x）＝2sin（πx+），x∈R．∴f（1）=2sin（）=-1 故答案为B. 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】因为， 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度. 故选：D. 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】，又， 则将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：B 4．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】由题图象知， 所以．所以， 又图象过点，由五点法知，所以， 所以． 故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象． 故答案为：A. 5．函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，， 函数的最小正周期为，则， 所以，则，故， 所以，，，则，故， 所以，ABC选项正确，D选项错误. 故选：D. 6．已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，则所得的函数解析式为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据余弦函数的图象的对称性求得：，根据余弦函数图象：，解得：，利用周期公式：，解得，根据函数的图象，时，，，由于，解得，则， 若将函数的图象向右平移个单位， 则所得的函数解析式为故选B 考向八 综合运用 【例8】．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，求的最大值以及取到最大值时的值． 【答案】(1) (2)(开区间亦可) (3)当时，取得最大值 【解析】（1）由题意知： ． 所以，函数的最小正周期是． （2）令，函数的单调递减区间为． 由，解得， 所以函数的单调递减区间为（开区间亦可）． （3）当时，． 当时，即时，取得最大值. 【变式】 1．已知函数． (1)求的最小正周期，并求出的对称轴方程； (2)若，求的单调递增区间和最小值． 【答案】(1)，； (2)单调递增区间为，． 【解析】（1）由已知 ， 所以最小正周期， 令，解得， 所以的对称轴方程为. （2）当时，， 又在上单调递增， 所以由，解得， 即的单调递增区间为， 因为，所以， 所以， 即的最小值为. 2．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的最值及相应x的值． 【答案】(1)， (2)当时，取最大值为，当时，取最小值为 【解析】（1）（1）因为 ， 所以令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， （2）因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以时，； 时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为． 题组一 周期 1．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为：，故选：B 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，，所以最小正周期为.故选：D 3．函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的最小正周期， 所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：B. 4．下列四个函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数的最小正周期为，B是； 对于C，函数的最小正周期为，C不是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是. 故选：B 5．下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 6．函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 【答案】1 【解析】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 7．函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【解析】因为函数的最小正周期是， 所以可得，解得， 故答案为：. 8．已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】/ 【解析】， 所以的最小正周期为，解得，即， . 故答案为： 9．下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【答案】 ②⑤ 【解析】① ① 不正确； ② ，函数周期为 ，②正确； ③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确； ④ ④不正确 ； ⑤ ，函数周期为 ，⑤正确. 故答案为：②⑤. 10．函数的最小正周期 【答案】 【解析】， 所以最小正周期为.故答案为：. 题组二 对称性 1．函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 2．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】，由题意可得， 解得，当时，. 故选：C 3．已知函数，则的对称中心为 ． 【答案】 【解析】令，则，故的对称中心为，. 故答案为：，. 4．已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 【答案】 4 【解析】若的最小正周期为，可得，则，令， 解得，当时，，则a的最小正值为． 故答案为：4； 5．写出曲线的一条对称轴的方程： ． 【答案】（答案不唯一，只要对称轴方程满足即可） 【解析】由题意可得，令，得． 令，则其一条对称轴为. 故答案为: 6．函数的图象的一个对称中心的坐标是 . 【答案】(答案不唯一) 【解析】令，因为的对称中心为， 所以令，解得， 所以的对称中心坐标为， 当时，函数的一个对称中心坐标为. 故答案为： 7．若函数图象的一个对称中心为，则函数的最小正周期为 . 【答案】； 【解析】由题意得，， ，所以 的最小正周期为 故答案为： 8．函数的对称中心为 . 【答案】 【解析】令得，所以的对称中心为. 故答案为： 9．函数，的图象的对称中心的坐标是 . 【答案】，，. 【解析】由可得， 又，所以或或， 所以函数的对称中心为，，. 故答案为：，，. 10．在函数的图象的对称轴中，则离轴最近的一条对称轴方程为 . 【答案】 【解析】令，整理得. 当时，满足题意. 故答案为：. 题组三 单调性 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，将函数图象上的每一个点，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的函数图象，如图： 由图可知在区间上单调递增，但其最小正周期为，故A错误； 对于B，因在区间上单调递减，且其最小正周期为，故B错误； 对于C，因在区间上单调递增，且其最小正周期为，故C正确； 对于D，将正弦函数图象位于轴以下的部分翻折至轴以上，可得出的函数图象， 如图： 由图可知，在区间上单调递减，且其最小正周期为，故D错误. 故选：C. 2．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以A错误； 是奇函数，且在上单调递增，所以B正确； 是偶函数，所以C错误； 在和上无定义，所以D错误； 故选：B. 3．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 【答案】D 【解析】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以图象关于对称，故B正确； 对于C，，，故在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项B，可知D错误. 故选：D. 4．求函数的周期 .单调递增区间 . 【答案】 【解析】函数的周期； 当时，，而正弦函数在上单调递增， 则由，解得，所以所求单调递增区间是. 故答案为：； 5．函数的单调增区间为 ． 【答案】 【解析】由余弦函数图像性质，可得的单调递减区间为， 故的单调递增区间为. 故答案为：. 6．函数的单调增区间为 ． 【答案】 【解析】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 7．函数 在 上的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由，可得， 又，所以的单调递减区间为. 故答案为：. 题组四 奇偶性 1．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 2．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：为偶函数，故A错误； 对于B：的最小正周期为，故B错误； 对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D：，则，故为偶函数，故D错误； 故选：C 3．下列函数中，是最小正周期为的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数，A不满足要求； 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，B不满足要求； 对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数，C满足要求； 对于D选项，设，该函数的定义域为， 因为， ， 所以函数的最小正周期为， 因为，即函数为奇函数，D不合乎要求. 故选：C. 4．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的最小正周期为，故A不合题意； 对于B，的最小正周期为，令，定义域为， 因为为偶函数，故B不合题意； 对于C，，最小正周期为， 令，定义域为， 为偶函数，故C不合题意； 对于D，，最小正周期为， 令，定义域为， ，为奇函数，故D符合题意， 故选：D． 5．下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为， 所以函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数的最小正周期， 因为， 所以函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，因为， 所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的最小正周期，故D不符题意. 故选：B. 6．最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．是最小正周期为的偶函数，符合题意； B．是最小正周期为的奇函数，不符合题意； C．是偶函数，但不是周期函数，不符合题意； D．是最小正周期为的偶函数，不符合题意； 故选：A． 7．已知函数为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数为偶函数，需满足. 将函数化简：. 由偶函数性质得： 即 利用正弦函数的性质，可得： （舍去，因为不恒成立）， 或 解得：，即 结合，得. 故选：B. 8．已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，所以在处取到最值， 所以（）， 故选：C． 9．函数是（   ） A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 【答案】D 【解析】函数 所以周期是，且函数是奇函数； 故选：D. 10．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B符合题意， 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故D不符合题意． 故选：B 11．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是； 对于D，是偶函数，D不是. 故选：C 12．已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是奇函数，则是偶函数， 所以，即， 故当时，， 故选：A． 13．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【解析】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 14．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：是奇函数，不满足题意； 选项B：令，定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以既是周期函数又是偶函数，满足题意； 选项C：画出的图象如图所示， 则不是周期函数，不满足题意； 选项D：令，则， 所以不是偶函数，不满足题意； 故选：B 题组五 值域 1．函数，的值域为 ． 【答案】 【解析】当时，，则.故答案为：. 2．函数的最小值和最小正周期分别为 【答案】 【解析】因为 ， 所以当时，函数取最小值， 函数的最小正周期为． 3．的值域是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 则，而， 因此当时，；当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 4．函数的值域为 ． 【答案】 【解析】， 设，则，， 则在上单调递减，， 故函数的值域为， 故答案为： 5．的最大值为 . 【答案】 【解析】函数， 令，， 则，， 所以当时，函数取得最大值为. 故答案为： 题组六 解析式 1．如图是函数的部分图象，则，的值是 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由函数图像可知函数的最小正周期，则， 且当时，， 据此可得：，令可得. 本题选择A选项. 2．函数的图象如图所示，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，其中. 由图象可得， 且 又，即 解得满足. , . 故选：. 3．已知函数 的部分图象如图，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象可得，解得，故函数的解析式为，代入点，可得，解得，故函数的解析式为，所以，故选B. 4．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．图象的对称中心为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】B 【解析】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，且为正弦型函数的振幅，所以. 设函数的周期为，根据正弦函数图象性质，，则，所以，此时. 已知函数图象过点，将其代入可得，即. 因为，所以，，解得，那么.   对于A，将代入，得，所以选项A错误. 对于B，对于正弦函数，其对称中心的横坐标满足，. 令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项B正确. 对于C，对于正弦函数，其对称轴方程满足，. 令，，解得，. 当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到. 根据诱导公式，，所以选项D错误. 故选：B. 5．如图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，，， 注意到在余弦函数的减区间里，因此，不妨取， ，. 故选：A． 题组七 伸缩平移 1．若想要得到函数的图象，只需要将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解析】由于，所以若想要得到函数的图象， 只需要将的图象向左平移个单位. 故选：C. 2．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解析】对于A，由诱导公式得，故A错误， 对于B，由诱导公式得，故B错误， 对于C，由诱导公式得，故C正确， 对于D，由诱导公式得，故D错误. 故选：C 3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向左平移个单位长度， 得到， 故选：B. 4．将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将图像向左平移个单位， 得到． 故选：A． 5．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】， 将的图象向右平移个单位长度后得到函数 的图象， 所以. 故选：D. 6．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（  ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】因为， 所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移2个单位长度， 故选：A. 7．已知函数，要得到一个偶函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】依题意，， 对于A，，所得函数不是偶函数，A错误； 对于B，，所得函数不是偶函数，B错误； 对于C，，所得函数是偶函数，C正确； 对于D，，所得函数不是偶函数，D错误. 故选：C 8．已知函数的部分图象如图所示.则函数f(x)的图象可由函数y=sinx的图象经过下列哪种变换得到（    ） A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】由图可得，则，，即， ，则，又，， ， 故f(x)的图象可由函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）变换而来. 故选：A. 8．函数（，，）的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】由函数的图象，可得， 即，所以，所以， 当 时，，可得， 解得， 因为，令，可得，所以 ， 又由， 所以为了得到的图象，可以将的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 9．已知函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】由函数的图象可知，故， 由得，且，则， 由得，则（）， 即， 由函数图象可知,即， 当时，，则， 要得到函数只需将的图象向左平移个单位即可. 故选：. 10．函数（其中， ）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】根据图像有,, 所以,则. 不妨取， 又有， 得,又. 所以，即， 所以由向右平移个单位长度可得的图像. 故选：B 11．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【解析】由图象知：，∴. 又时函数值最大， 所以.又， ∴，从而，， 只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象， 故选C. 12．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点　　 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】根据函数 （其中，，）的图象， 可得，，． 再利用五点法作图可得，求得， 为了得到的图象， 只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可， 故选A． 题组八 综合运用 1．已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)求使取得最小值的的集合. (4)求函数单调递增区间. 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由，得. （2）函数，所以函数的最小正周期为. （3）当，即时，函数取最小值， 所以使取得最小值的的集合为. （4）由，解得， 所以函数单调递增区间为. 2．记向量，记函数． (1)求的最小正周期． (2)求在的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值. 【解析】（1）. 所以的最小正周期为. （2）由（1），因为，令，则， 所以当，即时取得最小值； 当，即时，取得最大值. 3．已知函数. (1)求函数最大值、最小值以及相应的值； (2)若，求函数的单调增区间. 【答案】(1)处取得最大值,处取得最小. (2)，， 【解析】（1）由题意得，在中， ， 当，即时, 此时，函数有最大值为； 当，即时, 此时，函数有最小值为， 综上，在处取得最大值,函数在处取得最小. （2）当，解得， 即函数区间单调递增， 所以在范围内，函数的增区间，，. 4．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【解析】（1）由， 所以函数的单调递增区间为； （2）令，因为，所以， 因为函数在单调递增，在单调递减， 在，， 所以， 因此当时，即当时，函数有最小值， 当时，即当时，函数有最大值. 5．已知函数的图象的一个对称中心为． (1)求的解析式； (2)求的最小值，并求出此时x的取值集合． 【答案】(1) (2)最小值是，此时的取值集合是． 【解析】（1）因为的图象的一个对称中心为， 所以，解得，又，所以， 所以． （2）当时，， 令，解得， 所以的最小值是，此时x的取值集合是． 6．已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因， 由，可得， 即函数的图象的对称轴方程为； （2）由，可得， 即函数的单调递增区间为； （3）因，当时，取， 因函数在上单调递增， 故的值域为. 7．已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 令，其中， 解得，其中， 所以函数的单调减区间为. （2）， 易知当时，其中，函数取得最小值为， 所以函数取得最小值时，，其中. 1 学科网（北京）股份有限公司 $