3.4 曲线与方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦曲线的方程与方程的曲线概念，系统讲解轨迹方程的求法。通过直线与方程关系、函数图像与方程关系的思考问题，搭建从具体实例到抽象定义的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以典型例题（如三角形内切圆轨迹、圆上点垂线段中点轨迹）培养数学眼光，通过条件判断题（例1）发展数学思维，归纳直接法六步骤规范数学语言。学生能深化概念理解与方法掌握，教师可借助系统案例与检测题提升教学效率。

3.4 曲线与方程 第3章 作者编号:32200 作者编号:32200 1.进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念,掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法. 2.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法,熟悉求曲线方程的步骤. 3.掌握求轨迹方程的几种常用方法. 学习目标 作者编号:32200 思考1:如图:直线l与方程x−y=0之间有什么关系? x−y=0 x O 1 1 y l (1)直线l上点的坐标都是方程x−y=0的解 (2)以方程x−y=0的解为坐标的点都在l上 ∴直线l的方程是x−y=0,也说方程x−y=0表示的直线是l. 新课导入 … … … 作者编号:32200 思考2:画出函数y=2x2的图象C,考察曲线C与方程①的关系?曲线C与方程②的关系呢? y x O −1 2 8 C 2 1.曲线C上的点的坐标都是方程①的解. 但方程①的解为坐标的点不都在曲线C上. 所以方程①不是曲线的方程. 2.方程②满足以上两点,所以②是曲线C的方程. y=2x2 作者编号:32200 曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形. 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是方程的解; (2)以方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线. 曲线的方程与方程的曲线 知识梳理 作者编号:32200 解析:∵y2=4x或, 故点M在曲线y2=4x上,但不一定在曲线上, ∴点M的坐标不一定满足方程y=-, 反过来,点M的坐标满足方程y=-,则点M一定在曲线上, 故也一定在曲线y2=4x上, ∴“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-”的必要不充分条件. 例1 “点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 新知探究 … … … 作者编号:32200 例2 已知 ABC的顶点A(-5,0),B(5,0), ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程为( ) 解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, ∴|CA|-|CB|=8-2=6<10=|AB|. 根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支 (y≠0),方程为(x>3). C 新知探究 … … … 作者编号:32200 归纳总结 定义法求曲线方程 若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程. 作者编号:32200 例3 一个动点P到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 解:设P(x,y),则|8-x|=2|PA|, 则|8-x|=2, 化简得3x2+4y2=48, 故动点P的轨迹方程为. 新知探究 … … … 作者编号:32200 归纳总结 直接法求轨迹方程最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性. 作者编号:32200 例4 如图,在圆 x2+y2 = 9上任取一点P,过点P向 x 轴作垂线段PD,D为垂足,求线段PD的中点M的轨迹方程. 解:设点M的坐标为,点的坐标为, 则 ∵点圆上,∴ 即所求轨迹方程为 点的轨迹是长轴长为6,短轴长为3的椭圆. 新知探究 … … … 作者编号:32200 归纳总结 作者编号:32200 根据本节课所学,回答下列问题: 1.说说曲线的方程和方程的曲线的概念是什么? 2.求轨迹方程的方法. 课堂总结 … … … 作者编号:32200 1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是真命题,则下列命题为真命题的是( ) A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是曲线C B.方程f(x,y)=0所表示的曲线不一定是曲线C C.f(x,y)=0是曲线C的方程 D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 B 当堂检测 … … … 作者编号:32200 2.已知点F(,0),直线l:x=-,点B是l上的动点,若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 3.在平面直角坐标系中,动点P关于x轴对称的点为Q,且 =2,则点P的轨迹方程为( ) A.x2+y2=2 B.x2-y2=2 C.x+y2=2 D.x-y2=2 D B 当堂检测 … … … 作者编号:32200 A.-=1 B.-=1 C.-=1(x>3) D.-=1(x>4) 代入法求点的轨迹方程的步骤: (1)设动点P(x,y),相关动点M(x0,y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理,得所求轨迹方程. 其步骤可总结为“一设二找三代四整理”. $