第2章 解直角三角形（复习课件）数学青岛版九年级上册

单元复习课件 第二章 解直角三角形 青岛版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3.理解并利用三角函数解决实际问题。能够识别和应用三角函数解决仰俯角问题；②能够利用三角函数解决方位角问题；能够利用三角函数解决坡度比问题。 2.掌握已知直角三角形的斜边和一条直角边解直角三角形方法;掌握已知直角三角形的斜边和一条锐角解直角三角形。 1.掌握直角三角形中的边角关系，熟记特殊角的三角函数值。掌握锐角三角比的定义；熟记特殊角的三角函数值。 单元学习目标 解直角三角形 解直角三角形应用 锐角三角比 用计算器求三角比 特殊角的三角比 解直角三角形 坡度和坡角 仰角和俯角 方位角 30º,45º,60º的三角比 单元知识图谱 考点一、三角比的定义 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即 ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即 锐角A的正弦、余弦和正切统称锐角A的三角比. 考点串讲 考点二、特殊角的三角函数 角α 三角比 30° 45° 60° sin α cosα tanα 1 2 2 2 2 3 2 3 如果∠A ＋∠B=90 °，那么sin A = cosB , cos A = sinB ． 3 3 2 1 2 3 2 1 反过来通过锐角三角函数值可以求角度 考点串讲 考点三、用科学计算器求一般锐角的三角函数值： 通过前面的学习，我们知道，当锐角A是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角丽数值;如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢? 我们可以借助计算器求锐角三角函数值. 锐角度数 三角函数值 考点串讲 考点三、通过锐角三角函数值可以求角度 用科学计算器求一般锐角的三角函数值： （1）我们要用到科学计算器中的键： sin cos tan （2）按键顺序 ◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下： ∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.31 sin 18 sin18 0.309 016 994 考点串讲 考点四、解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. A B C a b c ┓ 解直角三角形的依据： （1）三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）； （2）锐角之间的关系 ∠ A＋ ∠ B＝ 90º （3）边角之间的关系 sinA=，cosA=，tanA=. 考点串讲 已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c= 若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；②a=c·sin A ; ③b=c·cos A. 考点四、解直角三角形 考点串讲 考点五、解直角三角形的应用 （一）仰角和俯角问题。 仰角、俯角： A B 视线 视线 水平线 O C 如： 图中∠AOC是仰角 ∠COB是俯角 考点串讲 考点四、解直角三角形 （二）方位角问题。 方位角： 视线与正北（南）方向的夹角. 特别地： 西北方向指：北偏西45° 西南方向指：南偏西45° 东北方向指：北偏东45° 东南方向指：南偏东45° 考点串讲 考点四、解直角三角形 （三）坡角问题。 坡角：山坡与地平面的夹角.如图中的∠ACB 坡度：山坡的垂直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值. 如图中，山坡AC的坡度为tan∠ACB. α C B A 考点串讲 例１.在Rt△ABC中,∠C=90°，如果cosA=0.8，AB=15，求BC和tanB. 题型一、三角比的定义 A C B 解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15 题型剖析 考点二、特殊角的三角函数 例2. 计算 题型剖析 考点三、用科学计算器求一般锐角的三角函数值： 例3.求sin63°52′41″的值(精确到0.0001). 【解析】 按下列顺序依次按键： 显示结果为0.897 859 012. 所以sin63゜52′41″≈0.8979. 题型剖析 题型四、解直角三角形 例4. 在图中的Rt△ABC中，∠C=90。，根据AC＝，BC＝，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ tanB ∠B ∠A 勾股定理或者cosB或者sinA求BC （一）已知两边解直角三角形。 题型剖析 题型四、解直角三角形 方法一： 方法二： 由勾股定理可得AB= . 题型剖析 题型四、解直角三角形 （二）已知一边及一锐角解直角三角形。 例5.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 单元学习目标 题型五、解直角三角形应用 （一）仰角俯角问题。 例6.如图，厂房屋顶人字架的跨度为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 260 ．求中柱BC 和上弦AB 的长（精确到0 . 01 米）. B A C D 26° 中柱 上弦 跨度 解：由题意可知，△ ABD 是等腰三角形，BC是底 边AD 上的高，AC = CD , AD = 10 米． 在Rt △ABC 中∠ACB =90°， ∠A =26 °， 即中柱BC 长为2 . 44 米，上弦AB 长为5 . 56 米． AC = AD = 5 （米）． 2 1 由tanA = 　　，得BC = AC · tanA = 5 · tan 26 °= 2 . 44（米）. AC BC 由cosA = ，得AB = = =5.56(米) cos26° AC AB AC cosA AC 题型剖析 题型五、解直角三角形应用 （二）方位角问题。 例7.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25° 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB= ∴= 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile ． 题型剖析 题型五、解直角三角形应用 （三）坡角问题。 例8.如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号) 解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中，∵∠ABF =∠α=60°,AB=20m ∴AF=AB·sin60°=m 又∵∠E=∠β=45° 故改造后的坡长AE为 题型剖析 1.如图△ABC中，tanA＝ ，cosB＝ ，BC＝10. C A B 求：AB的长 解：过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡB于点Ｄ， D ∵cosB= ∴∠Ｂ＝45°. 在Rt△CＤＢ，BD=BC·cos= ∴CD=BC·cos= 在Rt△AＣＤ中，tanＡ＝ 即AＤ=CD= AB= 针对训练 2.已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0， ∴ tanA＝1，sinB＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 针对训练 (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝37°，BC＝32，则AC＝________ 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 所以tanB＝，即tan37＝ ， 所以AC＝32tan37°≈32×0.75＝24. 有斜求对乘正弦 有斜求邻乘余弦 无斜求对乘正切 无斜求邻除正切 针对训练 C B A 点拨：作垂线斜三角形转化为两个直角三角形 针对训练 5、如图，某直升飞机执行海上搜救任务，在空中A 处观测到海面上有一目标B ，俯角是α= 18°23 ' ，这时飞机的高度为1500 米，求飞机A与目标B的水平距离（精确到1 米）. A B C ( α 在Rt△ABC中，AC=1500 米，∠ABC＝∠α= 18°23 ' . 解:设经过B点的水平线为BC，作AC⊥BC，垂足为C ． BC AC 由tanB = ,得BC= = ≈ 4 514(米) . tanB AC ' 23 18° tan 1500 即飞机A与目标B的水平距离约为4 514 米． 针对训练 6.如图，在宿舍楼的C，D两点观测对面的建筑物AB，从点D观测建筑物的底部A的俯角是27°，从点C观测建筑物的顶端B的仰角是50°，已知宿舍楼CD的高度是20m，求建筑物AB的高(精确到1m)。 针对训练 7.如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号) 解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中，∵∠ABF =∠α=60°,AB=20m ∴AF=AB·sin60°=m 又∵∠E=∠β=45° 故改造后的坡长AE为 针对训练 ✅ 知识构建：，从锐角三角比→解直角三角形解斜三角形→做辅助线垂线转化为解直角三角形 →解直角三角形应用→回归生活中实际问题的解决 ✅ 思想方法： 方程思想、转化思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $