专题01 解直角三角形（必备知识+21大题型+分层训练）（期末复习讲义）九年级数学上学期青岛版

该初中数学期末复习讲义以“解直角三角形”为核心，通过表格系统梳理锐角三角函数、解直角三角形及应用等考点，结合图示呈现正弦余弦正切定义、特殊角值等知识，构建清晰知识脉络，突出边角关系和实际应用重难点。 讲义亮点在于18种分层题型设计，从基础计算到综合应用，如仰角俯角问题培养模型意识，解题通法指导（如构造直角三角形）提升推理能力，分层练习适配不同学生，助力教师精准教学，学生自主复习高效。

专题01 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，能够应用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边的比 （2）知道30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数. 多聚焦锐角三角形基础概念、边角计算，常涉三角函数应用，以选择、填空、解答题呈现 解直角三角形及其应用 （1）理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系 （2）能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形 （3）了解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度（坡比）等测量中的有关概念，并弄清它们的意义 （4）会用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的应用 侧重解直角三角形基本概念、定理。常结合实际场景，考边角关系计算，题型涵盖选择、填空与解答，难度适中。 知识点01 正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即. 在中，， 余弦 在中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作. 在中，， 正切 在中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作. 在中，， 【注意】正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关. 锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数. 【重点】 （1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且，，. （2），和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化. （3）当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如，，，，，等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能 省略，如不能写成，不能写成等. 知识点02 锐角三角函数之间的关系 （1）同一锐角的三角函数之间的关系：. （2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或. （3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即. 知识点03 特殊角的三角函数值 1. 锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得到角的三角函数值.列表如下： 1 【说明】要熟记特殊角的三角函数值.已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. 【注意】锐角三角函数值随角度变化的规律 当角度在之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 2.角的三角函数值的记忆方法 （1）图形记忆法：如图所示，由三角函数的定义可得 角的三角函数值. （2）特殊值记忆法： ①角的正弦值依次为； ②角的余弦值依次为； ③（为锐角）的值随角的增大而增大，角的正切值依次为 （3）口诀记忆法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根号别忘添. 知识点04 解直角三角形的概念及直角三角形中的边角关系 1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【注意】在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包括求周长和面积. 2.直角三角形中的边角关系 如图所示，在中，，所对的边分别为，那么除直角外的五个元素之间有如下关系. （1）三边之间的关系：（勾股定理）. （2）两锐角之间的关系：. （3）边角之间的关系： ， ， . 【注意】 （1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三）. （2）在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形，按题意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边. 知识点05 解直角三角形的基本类型及解法 图形 已知条件 解法 两边 两直角边 由，求 斜边、一直角边（如） 由，求 一边和一锐角 一直角边和一锐角 一锐角与邻边（如） ； 一锐角与对边（如） ； 一锐角与斜边（如） ； 【解题通法】 一、已知两边解直角三角形的方法 （1）已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦（或余弦）值，求出这个锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. （2）已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. 二、已知一锐角和一边解直角三角形的方法 （1）已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边（求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边）. （2）已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边. 三、构造直角三角形解斜三角形问题的方法 先通过作垂线（高），将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 知识点06 利用解直角三角形解决实际问题 1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 【注意】 （1）当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解. （2）数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解. 【重点】在实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 2.解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念 （1）仰角、俯角 名称 定义 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角. 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线下方的是俯角. （2）方向角 名称 定义 举例 方向角 指北或指南的方向线与目标线所成的小于的角叫做方向角. 如右图所示，目标方向线 的方向角分别可以表示为北偏东、南偏东、北偏西，其中南偏东习惯上又叫做东南方向，北偏西习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 一般用字母表示 坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡 当时，坡度，坡角为 坡度 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比） 通常用表示，即 题型一 求角的余弦值 【例1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点，，均在格点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接．点，，，，均为格点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）通过网格得，可得，，利用相似三角形对应边成比例（），结合即可求出的长； （2）由得，在中（网格得，），用勾股定理可得，由余弦的定义可得，即可得出． 【规范解答】（1）解： 由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【变式】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【规范解答】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 题型二 已知余弦求边长 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【思路引导】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角余弦函数是解题关键． 根据余弦函数的定义，结合点P的坐标，建立方程求解m的值． 【规范解答】解：由题意，，又为锐角， ，， 两边平方可得：，， ， 交叉相乘可得：， ， ， ． 故选：D． 【变式】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【思路引导】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质．由锐角的余弦定义得到，据此求解即可． 【规范解答】解：由作图知，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 题型三 求角的正切值 【例3】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为 ； （2）若点F是的中点，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解． 【规范解答】解：（1）∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质．在图中标注C，D，设，先证，得出，再根据，列式计算出x的值，最后根据正切的定义求解． 【规范解答】解：如图，在图中标注C，D， 设， ， ， 又， ， ，即， ， 的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都是1， ， ， ， ， 解得，（舍）， ， ， 故答案为：． 题型四 已知正切值求边长 【例4】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，、分别为、的中点，为边上一点，，连接．若，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】（1）利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半证明，从而得，结合得，从而可得；根据三角形中位线的性质即可得，从而可证明四边形是平行四边形； （2）利用正切的定义设，，，根据求出x，根据平行四边形的性质和几何关系即可求出的长． 本题考查直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、正切函数的定义与应用． 【规范解答】（1）证明：为边的中点，， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ． 、分别为和的中点， 为的中位线， ， 四边形为平行四边形； （2）解：，，， ∴设，，， ， ， ， 为的中位线，， ∵四边形为平行四边形， ， ． 【变式】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为边的菱形，点C和点D均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为5； (2)在图中画出以为边的锐角，点G在小正方形的顶点上，且； (3)连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查网格的性质和解直角三角形，以及勾股定理的应用． （1）根据边长为，面积为5即可确定菱形的对角线长为和，利用网格作图即可； （2）以E为顶点找到两边长分别3和4的顶点即可； （3）根据边长为1，利用勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：由图可知． 题型五 已知角度比较三角函数值的大小 【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，正方形和正方形中，，将正方形绕点逆时针旋转，旋转过程中射线与射线交于点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，三角形函数的定义，勾股定理，同角的余角相等，掌握三角函数值与锐角之间的关系是解题的关系．过点作于点，则，根据三角形函数得出的值越大，越大，从而得当点与点重合时，即时，最大，最小，如下图，由勾股定理得，又根据三角函数得，从而求得，即可得解． 【规范解答】解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴ 越大，即的值越大，越大， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴越大，越大，即越大， ∴的值越大，越大， ∴当点与点重合时，即时，最大，最小，如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是， 故答案为：． 【变式】（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【思路引导】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【规范解答】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 题型六 根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例6】（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式】如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【思路引导】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【规范解答】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【考点评析】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 题型七 利用同角三角函数关系求值 【例7】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 【变式】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形的对角线与交于点，于点， 延长与交于点，若，，则点到的距离为 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再根据等面积法求出，利用角的余弦值求出，再利用勾股定理求出，从而得出，最后利用三角形面积求出即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ，，，， ， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 题型八 求证同角三角函数关系式 【例8】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【思路引导】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【变式】（24-25九年级下·福建泉州·月考）四边形为正方形． (1)如图1，，垂足为，求证：． (2)如图2，当点为中点，连接，在上取，连接并延长交于点． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识．解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）连接，①方法一：延长交于点，根据题意易得，根据等边对等角得，，根据三角形内角和得到，从而得到，正方形得到，，从而证明，可证，，由正方形得，可证，，，即可证明； 方法二：根据题意易得，根据等边对等角得，，根据三角形内角和得到，从而得到，由（1）得，，也能证明，，可得，即可证明； ②由（2）得，，可变形为，在直角中，，即可证明． 【规范解答】（1）证明：由正方形得， ， ， 又， ； （2）①证明：连接， 方法一：延长交于点， 为中点， ， ， ， ，， 又， ， ， 即， 由正方形得：，， ， ， ， ， 由正方形得， ， ， ， ， ， ； 方法二：为中点， ， ， ， ，， 又， ， ，即， 由（1）得， ．（Ⅰ） ，， ， ， ， ，（Ⅱ） 由（Ⅰ）（Ⅱ）可得． 又 ， ； ②证明：， ， ， ， ，（Ⅲ） ， ，， ，（Ⅳ） 由（Ⅲ）（Ⅳ）可得． 题型九 互余两角三角函数的关系 【例9】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【思路引导】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【变式】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【思路引导】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 题型十 殊角三角函数值的混合运算 【例10】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负指数运算． （1）直接代入特殊角的三角函数值计算； （2）先计算绝对值、负指数，再结合三角函数值进行运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2) (3)1 【思路引导】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简，进而得出答案； （3）利用绝对值的性质化简，再求特殊角的三角函数值，算术平方根，负指数幂，最后再进行加减运算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型十一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例11】（25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是 ． 【答案】 钝角三角形 【思路引导】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 【变式】（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【思路引导】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【考点评析】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 题型十二 根据特殊角三角函数值求角的度数 【例12】（25-26九年级上·山东淄博·期中）（1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了特殊角的三角函数值、直角三角形的边角关系，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再代入进行实数运算． （2）在直角三角形中，利用正切的定义求出，再根据特殊角的三角函数值确定的度数． 【规范解答】解：（1） ； （2）在中，， ， 因为， 所以． 【变式】（25-26九年级上·山东烟台·期中）若． (1)求出的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2)3 【思路引导】本题考查实数混合运算，涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据特殊的三角函数值进行求解即可； （2）根据负整指数幂、零指数幂、二次根式的化简和特殊的三角函数值进行求解即可； 【规范解答】（1）解：， ， ，又， ， ； （2）解：原式 ． 题型十三 含30度角的直角三角形 【例13】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键． 根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，即， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【变式】．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段表示公园内一棵直立于水平地面的大树，表示一面直立的墙，是一个支撑在墙上的梯子．大树在太阳光下的影子透过梯子恰好落在水平地面和墙面上．已知：虚线表示太阳光线，（，，，同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为．请根据已知条件求出大树的高度．（结果精确到，，） 【答案】大树的高度约为 【思路引导】本题考查了相似三角形的应用，含30度的直角三角形，勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 延长与交于点，根据直角三角形的性质得到，，由题意得，为的影子，则，再通过证明，得到，代入数据即可求出的高度． 【规范解答】解：如图，延长与交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得，为的影子， ∵同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：大树的高度约为． 题型十四 解直角三角形的相关计算 【例14】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在三角形中，已知，，点D为边上一点，且，，求的长． 【答案】 【思路引导】本题考查了解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关键． 过作交于，由可得，再根据可解得，再由，则即可求得，再由求解即可． 【规范解答】过作交于， ，， ，即， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 故的长为． 【变式】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （2）过点C作于点F，由题意易得，设，则根据勾股定理可得：，然后可得，进而根据（1）中结论可进行求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， 设，则根据勾股定理可得：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十五 解非直角三角形 【例15】．（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【规范解答】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 【变式】（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【思路引导】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【规范解答】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 题型十六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例16】（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【考点评析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式】（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【思路引导】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【规范解答】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型十七 三角函数综合 【例17】（2025·河南商丘·二模）光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角函数相关计算，根据，求得，进而将代入，进行计算即可求解． 【规范解答】解：∵ ∴，， ∵ ∴ 故选：D． 【变式】（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 题型十八 仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 【例18】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，欲拆除一座垂直于地面的烟囱，距烟囱水平距离米的处有坡度为，坝高（即）米的背水坡大坝，在坝顶处测得烟囱顶端的仰角为，，之间是宽为米的人行通道．为确保行人安全，在拆除烟囱时，是否需要将此人行通道封闭？并说明理由．（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）（参考数值：，） 【答案】需要封闭，理由见解析 【思路引导】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角、坡度问题），构造直角三角形并利用三角函数（正切）计算线段长度是解题的关键． 过点作于点，先由大坝坡度算出大坝水平宽度，再结合得到，由四边形是矩形可得、，接着用仰角的正切值求出，进而得到烟囱高度，最后计算人行通道到的距离，对比与的大小，即可判断． 【规范解答】解：需要封闭， 如图， 在中， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中， ， ∴ ∵， ∴， ∴需要封闭． 【变式】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】约213米 【思路引导】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意是解答的关键． 先得到，设，则，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【规范解答】解：由题意，，，，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即米， 答：塔的高度约为213米． 题型十九 方位角问题（解直角三角形的应用） 【例19】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． (1)求A、B之间的路程精确到米； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 【答案】(1)米 (2)该小车没有超速，理由见解析 【思路引导】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、锐角三角函数，是解题的关键． （1）过点C作直线l的垂线，垂足为D，据已知和特殊角的三角函数值求得，的长，从而得出的长； （2）根据测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒，求出小汽车的速度，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：过点C作直线l的垂线，垂足为D，如图， 则， 由题意可知，，，米， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 答：A、B之间的路程为米． （2）解：米千米，5秒小时， （千米/时）． ， 该小车没有超速． 【变式】（25-26九年级上·重庆潼南·月考）潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 【答案】(1)3860米 (2)小南先到达M处，理由见解析 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． （1）过点C作于H，，根据，，即可求解； （2）由（1）得，进而分别求得，分别计算小东和小南走所用的时间，比较即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意知，， 过点C作于H，， ∴， ∴． ∴（米）， 即：小南家到图书馆A的直线距离为3860米； （2）小南先到达M处，理由如下： 由（1）知， ∵M为的中点， ∴， ∴小东到点M需用（分钟）； 在中，，， ∴， ， ∴ ∴小南到点M需用（分钟）， ． ∴小南先到达M处． 题型二十 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 【例20】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【答案】B 【思路引导】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】(1)5米 (2)米 【思路引导】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； （2）解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 题型二十一 其他问题（解直角三角形的应用） 【例21】（25-26九年级上·陕西西安·月考）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为，遮阳篷长为，与水平面的夹角为16°，当太阳光线与地面的夹角为45°时，测得影长为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【思路引导】本题考查锐角三角函数的应用，构造合适的直角三角形，利用三角函数求解线段是解题关键． 过点A分别作，的垂线，利用三角函数求出所需的线段长，通过和差计算即可． 【规范解答】如图，过点A作于点，于点， ∵，， ∴， 由题意，得， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26九年级上·山东聊城·期中）图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则 分米． 【答案】 【思路引导】本题考查解直角三角形的应用，合理的构造直角三角形进行求解是解题的关键． 延长交l于点G，易得，则，设为，则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得x的值，即可求得的长即可． 【规范解答】解：延长交l于点G， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设为，则， ， ， 分米，分米， ， 解得：， 分米， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，然后根据勾股定理可得，进而根据正切的定义可进行求解． 【规范解答】解：过点A作于点D，如图所示： 由图可知：， ∴， 故选A． 2．（25-26九年级上·山东威海·期中）的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理逆定理和余弦定义，利用勾股定理判定出三角形是直角三角形，然后再利用余弦定义进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴是直角三角形， ∴最小角的余弦值是：， 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和性质，特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，从而求出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答． 【规范解答】解：∵，且， ∴， 即， ∵，均为锐角， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解坐标与长度的关系． 过点作轴的垂线，交轴于点，分别求出、的长度即可． 【规范解答】解： 是等边三角形，， 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点， ． 根据等边三角形的性质， ，， 由于轴， 则轴 轴， ， 则， 根据所对直角边等于斜边的一半， 可知， 根据勾股定理，有， 故点的坐标为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了勾股定理，求正弦值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点C作，交的延长线于点D，则，然后根据勾股定理求得，即可解答． 【规范解答】解：如图，过点C作，交的延长线于点D， 设小方格的边长为1， 则，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半． 首先求出，，然后得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】∵为等边三角形，的周长是24， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，则立柱 和 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了含角的直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半），熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 先利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半求；再利用同样性质求． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵点是斜梁的中点，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：；． 8．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）． 【答案】 【思路引导】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，代入特殊角三角函数值进行计算即可． 【规范解答】 ． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角函数，零指数幂，负整数指数幂． 先计算三角函数，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再计算加减即可． 【规范解答】解： 10．（25-26九年级上·广西柳州·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【思路引导】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负指数幂，特殊三角函数值，完全平方公式和平方差公式，掌握好实数的运算法则和乘法公式是解题关键． （1）利用绝对值的性质，零指数幂和负指数幂的运算法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可，要注意变号． 【规范解答】解：（1）； （2）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正多边形的内角问题，解直角三角形的相关计算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 求得出，，再利用三角函数求得，从而可求得． 【规范解答】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴ ， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为 ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．证明，可得，，结合三角形外角的性质可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 4．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【思路引导】由是等边三角形和相似三角形的性质，得出，进而得到，再根据直角三角形的性质，得到，而，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由，得，由与同高，可知，则判定③正确，由，得，则，然后等量代换得到，可判定④错误． 【规范解答】解：为等边三角形， ，， ∵正方形，， ， ， ， ， ，正方形中，， ， 在中， ， ， 又， ， 故①正确； ∵正方形中，，， ，， ， ， 故②正确； ， ， ， 又与同高， ， 又 ，， ， ， 故③正确； ∵正方形中， ， ∵， ， ， ， 又，， ， 故④错误， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，点D是等边中边上一点，连接，点E在上，连接，，若，，，则 ． 【答案】10 【思路引导】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 延长，使，连接，，过点作，证明≌，可得，，由直角三角形的性质和勾股定理可求解． 【规范解答】解：如图，延长，使，连接，，过点作， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10 ． 6．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，，为的角平分线，在上取一点，使得，则的长为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，分为如图，作于，交的延长线于点，则，证明，所以，求出，，通过直角三角形性质可得，由勾股定理得，，然后利用即可求解，当如图，当位置时，同理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作于，交的延长线于点，则， ∵为的角平分线 ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当位置时，同理可得：， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为 米． 【答案】 【思路引导】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角函数可得，进而求解即可． 【规范解答】解：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 故答案为． 8．（25-26九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法、乘方以及分母有理化，最后计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26九年级上·山东威海·期中）综合与实践 【问题情境】 在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上． 【问题解决】 (1)如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示） (2)如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．） 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解直角三角形和解方程，能通过解直角三角形求出和的长是解此题的关键． （1）作，解得，解得，联立方程组求解即可． （2）过点D作于点G．分别作，求出，，解求出，可求出，再解，求出即可． 【规范解答】（1）解：表示冬季的光线，表示夏季的光线．分别作， ∴，． 在中，可得． 在中，可得． 联立方程组． 解得，，； （2）解：过点D作于点G．分别作， ∴，，． 由（1）中的结论，可得：． ． 在中，得． ∴． 在中，得． 10．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，正方形与正方形有公共点，点分别在，上，点在正方形的对角线上．将正方形绕点逆时针方向旋转，旋转角为（）． (1)当时， ；直线与直线所夹锐角的度数是 ． (2)如图，当时，连接，是否为定值？直线与直线所夹锐角的度数是否发生变化？请说明理由； (3)若，，当三点共线时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)是定值；直线与直线所夹锐角的度数是，不变化；理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）根据正方形的性质可证等腰直角三角形，利用三角函数可得边的关系，则问题得解； （2）连接，可证，则，延长交于点，根据相似三角形的性质及对顶角相等可得； （3）分情况讨论，当时，点，，三点共线时，；当时，点，，三点共线时，，最后根据前一问的结论可得的长． 【规范解答】（1）解：∵正方形中，，平分、， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴； （2）答：；直线与直线所夹锐角的度数是，理由如下： 连接，延长交于点 ， ∵由（1）可知：正方形中，，， ∴，， 即：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上：；直线与直线所夹锐角的度数是； （3）解：当时，三点共线时， ∵正方形中，，， ∴是直角三角形，是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，三点共线时，连接，如图， ∵正方形中，，， ∴， 即：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或；     【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理以及旋转的性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，，若，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得，然后由勾股定理可得到的长，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴轴，， 根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D 2．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，，，，点、在边上，，点关于、的对称点分别为、，则线段的最小值等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，证得是等边三角形是解题的关键．设交于H，交于S，交于K，连接，根据轴对称的性质得出，进而得出，然后证得是等边三角形，从而证得，进一步证得，证得是等边三角形，得出，因为的最小值为3，所以的最小值为3． 【规范解答】解：设交于H，交于S，交于K，连接， ∵点E和F关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵点E和G关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵，即， ∵垂直平分，即， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵当时，最短，此时， ∴的最小值为3， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查旋转的性质与坐标变化，直角三角形性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转角度和旋转次数确定旋转周期，得出第次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置，过点作轴于点H，利用直角三角形性质和勾股定理即可求得点坐标． 【规范解答】解：将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∵， ∴每旋转4次回到初始位置， ∵， 即次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置． ∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 过点作轴于点H， ， 在中，， ∴， ， ∴的坐标为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴设，， ，互为三分余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 厘米． 【答案】60 【思路引导】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过A作于E，过B作.于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为10厘米，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【规范解答】解：过A作于E，过B作于F， ∵， ∴， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∴厘米， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为60厘米． 故答案为：60． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知在中，，，，点P是边上一点，将沿着翻折，点C落在点E处，连接，如果，设与边交于点M，那么的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，根据折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据勾股定理得到的长，连接交于H，根据面积公式得到的长度，得出的长，利用两直线平行同位角相等，得出，求出的长度，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图， ∵将沿着翻折，点C落在点E处，且， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接交于H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 ， 【思路引导】本题考查“分式的化简求值”，特殊角三角函数的混合运算；熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数是解题关键． 通过分式的化简法则化简式子，代入特殊角的三角函数值得到x的值，再代入x的值即可． 【规范解答】解：原式， ， 代入，得原式． 8．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图所示，为等边的高，点为射线上的动点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，当点在射线上时，___________．___________； (2)如图1，在（1）的条件下，直接利用（1）中结论，求证：； (3)如图2，当点在的延长线上时，补全图形，并判断（2）中的结论是否成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)证明见详解 (3)成立，证明见详解 【思路引导】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握手拉手的全等三角形模型是解题的关键． （1）根据旋转，得到，由得到，求得，即可求解． （2）根据（1）中的结论和等边三角形的性质，证，得到，再求出，即可求解． （3）通过旋转的性质和等边三角形的性质，证得，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：，由（1）知， ， ， ， ， ， 又是等边三角形，， ， ， ， ， ． （3）解：成立，理由如下， 如图所示， 是等边三角形， ， 由旋转的性质得， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 9．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）在四边形中，对角线相交于点E，，； (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F为上一点，连接，且，点G在上，，点H在上，连接，且，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）在线段上截取，根据线段的和差得出，证明为等边三角形，得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）假设，利用互补的角以及三角形内角和定理和三角形外角定理，表示出相关的角，最后利用等角对等边进行证明即可； （3）连接，在上截取，证明，得出相等的边和角，设借助（2）的结论表示出相关角的度数，证明，得出相等角和边，求出相关角的度数，得出，然后利用含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，在线段上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：假设， ∵， ∴， ∵，根据三角形内角和定理得， ∴， 由（1）得， ∴， 根据三角形外角定理得，， 根据三角形内角和定理得，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，连接，在上截取， ， ， 设 由（2）得， 由（2）得，， ∴，由三角形内角和定理得， ∴， 由（2）得， 是等边三角形， 又 由（1）得 又 10．（25-26九年级上·重庆·期中）为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） (1)求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 【答案】(1) (2)甲班先到 【思路引导】（1）过点C作于点F，过点D作于点E，根据特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，解直角三角形即可； （2）分别求出两个班用的时间，比较后即可得到结论． 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是关键． 【规范解答】（1）解：过点C作于点F，过点D作于点E， ∵点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向． ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据（1），得， 甲选择①，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 乙选择②，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 故甲先到达． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，能够应用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边的比 （2）知道30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数. 多聚焦锐角三角形基础概念、边角计算，常涉三角函数应用，以选择、填空、解答题呈现 解直角三角形及其应用 （1）理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系 （2）能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形 （3）了解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度（坡比）等测量中的有关概念，并弄清它们的意义 （4）会用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的应用 侧重解直角三角形基本概念、定理。常结合实际场景，考边角关系计算，题型涵盖选择、填空与解答，难度适中。 知识点01 正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即. 在中，， 余弦 在中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作. 在中，， 正切 在中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作. 在中，， 【注意】正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关. 锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数. 【重点】 （1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且，，. （2），和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化. （3）当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如，，，，，等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能 省略，如不能写成，不能写成等. 知识点02 锐角三角函数之间的关系 （1）同一锐角的三角函数之间的关系：. （2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或. （3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即. 知识点03 特殊角的三角函数值 1. 锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得到角的三角函数值.列表如下： 1 【说明】要熟记特殊角的三角函数值.已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. 【注意】锐角三角函数值随角度变化的规律 当角度在之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 2.角的三角函数值的记忆方法 （1）图形记忆法：如图所示，由三角函数的定义可得 角的三角函数值. （2）特殊值记忆法： ①角的正弦值依次为； ②角的余弦值依次为； ③（为锐角）的值随角的增大而增大，角的正切值依次为 （3）口诀记忆法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根号别忘添. 知识点04 解直角三角形的概念及直角三角形中的边角关系 1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【注意】在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包括求周长和面积. 2.直角三角形中的边角关系 如图所示，在中，，所对的边分别为，那么除直角外的五个元素之间有如下关系. （1）三边之间的关系：（勾股定理）. （2）两锐角之间的关系：. （3）边角之间的关系： ， ， . 【注意】 （1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三）. （2）在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形，按题意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边. 知识点05 解直角三角形的基本类型及解法 图形 已知条件 解法 两边 两直角边 由，求 斜边、一直角边（如） 由，求 一边和一锐角 一直角边和一锐角 一锐角与邻边（如） ； 一锐角与对边（如） ； 一锐角与斜边（如） ； 【解题通法】 一、已知两边解直角三角形的方法 （1）已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦（或余弦）值，求出这个锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. （2）已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. 二、已知一锐角和一边解直角三角形的方法 （1）已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边（求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边）. （2）已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边. 三、构造直角三角形解斜三角形问题的方法 先通过作垂线（高），将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 知识点06 利用解直角三角形解决实际问题 1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 【注意】 （1）当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解. （2）数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解. 【重点】在实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 2.解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念 （1）仰角、俯角 名称 定义 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角. 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线下方的是俯角. （2）方向角 名称 定义 举例 方向角 指北或指南的方向线与目标线所成的小于的角叫做方向角. 如右图所示，目标方向线 的方向角分别可以表示为北偏东、南偏东、北偏西，其中南偏东习惯上又叫做东南方向，北偏西习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 一般用字母表示 坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡 当时，坡度，坡角为 坡度 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比） 通常用表示，即 题型一 求角的余弦值 【例1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点，，均在格点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接．点，，，，均为格点． (1)求的长； (2)求． 【变式】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型二 已知余弦求边长 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 题型三 求角的正切值 【例3】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为 ； （2）若点F是的中点，则的值为 ． 【变式】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为 ． 题型四 已知正切值求边长 【例4】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，、分别为、的中点，为边上一点，，连接．若，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 【变式】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为边的菱形，点C和点D均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为5； (2)在图中画出以为边的锐角，点G在小正方形的顶点上，且； (3)连接，请直接写出线段的长． 题型五 已知角度比较三角函数值的大小 【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，正方形和正方形中，，将正方形绕点逆时针旋转，旋转过程中射线与射线交于点，则的最小值是 ． 【变式】（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 题型六 根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例6】（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【变式】如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 题型七 利用同角三角函数关系求值 【例7】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【变式】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形的对角线与交于点，于点， 延长与交于点，若，，则点到的距离为 题型八 求证同角三角函数关系式 【例8】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【变式】（24-25九年级下·福建泉州·月考）四边形为正方形． (1)如图1，，垂足为，求证：． (2)如图2，当点为中点，连接，在上取，连接并延长交于点． ①求证：； ②求证：． 题型九 互余两角三角函数的关系 【例9】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【变式】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 题型十 殊角三角函数值的混合运算 【例10】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）计算： (1) (2) 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）计算： (1) (2) (2) 题型十一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例11】（25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是 ． 【变式】（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 题型十二 根据特殊角三角函数值求角的度数 【例12】（25-26九年级上·山东淄博·期中）（1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 【变式】（25-26九年级上·山东烟台·期中）若． (1)求出的值； (2)计算：． 题型十三 含30度角的直角三角形 【例13】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ． 【变式】．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段表示公园内一棵直立于水平地面的大树，表示一面直立的墙，是一个支撑在墙上的梯子．大树在太阳光下的影子透过梯子恰好落在水平地面和墙面上．已知：虚线表示太阳光线，（，，，同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为．请根据已知条件求出大树的高度．（结果精确到，，） 题型十四 解直角三角形的相关计算 【例14】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在三角形中，已知，，点D为边上一点，且，，求的长． 【变式】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型十五 解非直角三角形 【例15】．（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【变式】（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 题型十六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例16】（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【变式】（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 题型十七 三角函数综合 【例17】（2025·河南商丘·二模）光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为 ． 题型十八 仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 【例18】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，欲拆除一座垂直于地面的烟囱，距烟囱水平距离米的处有坡度为，坝高（即）米的背水坡大坝，在坝顶处测得烟囱顶端的仰角为，，之间是宽为米的人行通道．为确保行人安全，在拆除烟囱时，是否需要将此人行通道封闭？并说明理由．（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）（参考数值：，） 【变式】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 题型十九 方位角问题（解直角三角形的应用） 【例19】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． (1)求A、B之间的路程精确到米； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 【变式】（25-26九年级上·重庆潼南·月考）潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 题型二十 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 【例20】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 题型二十一 其他问题（解直角三角形的应用） 【例21】（25-26九年级上·陕西西安·月考）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为，遮阳篷长为，与水平面的夹角为16°，当太阳光线与地面的夹角为45°时，测得影长为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【变式】（25-26九年级上·山东聊城·期中）图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则 分米． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东威海·期中）的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为 ． 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为 ． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为 ． 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，则立柱 和 ． 8．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）计算：． 10．（25-26九年级上·广西柳州·月考）计算： （1）； （2）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（   ） A．6 B．7 C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②5．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，点D是等边中边上一点，连接，点E在上，连接，，若，，，则 ． 6．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，，为的角平分线，在上取一点，使得，则的长为 ． 7．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为 米． 8．（25-26九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2) 9．（25-26九年级上·山东威海·期中）综合与实践 【问题情境】 在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上． 【问题解决】 (1)如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示） (2)如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．） 10．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，正方形与正方形有公共点，点分别在，上，点在正方形的对角线上．将正方形绕点逆时针方向旋转，旋转角为（）． (1)当时， ；直线与直线所夹锐角的度数是 ． (2)如图，当时，连接，是否为定值？直线与直线所夹锐角的度数是否发生变化？请说明理由； (3)若，，当三点共线时，直接写出的长度． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，，若，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，，，，点、在边上，，点关于、的对称点分别为、，则线段的最小值等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则 ． 5．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 厘米． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知在中，，，，点P是边上一点，将沿着翻折，点C落在点E处，连接，如果，设与边交于点M，那么的值是 ． 7． （25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求代数式的值，其中． 8．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图所示，为等边的高，点为射线上的动点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，当点在射线上时，___________．___________； (2)如图1，在（1）的条件下，直接利用（1）中结论，求证：； (3)如图2，当点在的延长线上时，补全图形，并判断（2）中的结论是否成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 9．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）在四边形中，对角线相交于点E，，； (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F为上一点，连接，且，点G在上，，点H在上，连接，且，若，求线段的长． 10．（25-26九年级上·重庆·期中）为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） (1)求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $