精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

牡丹江二中2025-2026学年度第一学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线和的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 4. 在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法即可求得答案. 【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点， 以过B作的垂线为x轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 易知平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为，， 则. 故选：A 5. 在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 6. 已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【详解】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 8. 已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由及已知得，，，四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，应用点面距的向量求法求的最小值. 【详解】设，， 因为，则，则， 所以，，，四点共面，当平面时，有最小值. 由，，若平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项B，利用直线的截距求解即；选项C，利用点到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可. 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 长方体中，，，则异面直线和所成角的余弦值是________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线和所成角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故异面直线和所成角的余弦值为 . 故答案为： 13. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】 由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线l经过两直线与的交点，且与直线平行． （1）求直线l的方程； （2）若点到直线l的距离与直线到直线l的距离相等，求实数a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案； （2）直接由点到直线的距离公式及平行直线之间的距离公式列方程求解即可． 【小问1详解】 联立，解得， 即两直线交点坐标为(1，6). 因为直线的斜率为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即. 【小问2详解】 由题意得， 整理得，解得或. 16. 已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； 【小问2详解】 . 17. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 18. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1）或. （2）最小值为4，. 【解析】 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【小问1详解】 当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. 【小问2详解】 由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，首先证明四边形为平行四边形，从而得到.再利用，证明.最后利用平面平面的条件，证明平面，进而证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量表示点位置，通过向量的点积和夹角公式，求解二面角大小为时，的值. 【小问1详解】 证明：，，为的中点， 四边形为平行四边形，， 又，，即， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 平面，平面平面； 【小问2详解】 解：，为的中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面的法向量为， 又，，，，， 设，， ，又， 设平面的法向量为，则，即. 令，得， 二面角为，，解， 即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2025-2026学年度第一学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线和的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与夹角是 D. 与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 长方体中，，，则异面直线和所成角的余弦值是________． 13. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 14. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线l经过两直线与的交点，且与直线平行． （1）求直线l的方程； （2）若点到直线l的距离与直线到直线l的距离相等，求实数a的值． 16. 已知，与、夹角都是，并且，，．计算： （1）； （2）． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $