专题2.6直角三角形（一课一练）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.6直角三角形（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．如图，在中，，是边上的高，则图中与互为余角的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 3．在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 4．在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 5．如图是由4个相同的正方形组成的网格，则与的和为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知为等腰直角三角形，，，为的中点．若分别为延长线上的点，且，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 7．如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C．7 D． 8．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是 ． 12．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则 ．    13．如图，已知，点在边上，，点、点在边上，．若，则等于 ． 14．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点，连接．若，则的长为 ． 15．等腰直角三角形底边上的高为，则该三角形的面积是 ． 16．某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ． 17．图，在边长为等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则 ．(用含a，b的代数式表示) 18．如图，中，，点D在上，连接为的角平分线，过的中点F作的垂线，点G为垂足，若，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 20．如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系，并证明． 21．如图，已知 ， (1)在边上找一点D，使得点 D到，边的距离相等；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若 ，且，求的长． 22．在中，． (1)如图1，已知平分，求的度数． (2)如图2，请直接写出与相等的角(不包括) 23．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 24．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.6直角三角形（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．如图，在中，，是边上的高，则图中与互为余角的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了余角、直角三角形两锐角互余的知识，解题的关键是熟练掌握余角和直角三角形两锐角互余性质，从而完成求解．根据若两个角之和等于，则这两个角互为余角；结合题意，即可找到互为余角的个数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 即与互余的角有：，共2个． 故选：C． 2．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是斜边上的中线，且， ∴； 故选A． 3．在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 4．在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和直角三角形的性质，由垂直平分线的性质可得，则，再求出，，在中利用直角三角形的性质即可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图是由4个相同的正方形组成的网格，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据网格可推出，根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，已知为等腰直角三角形，，，为的中点．若分别为延长线上的点，且，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，证明，得出相等的角和边，然后再利用角的和差得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵为等腰直角三角形，点为的中点， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， 故选：B． 7．如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了含直角三角形的性质；根据含直角三角形的性质求出，得到的取值范围即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点P是边上的动点， ∴， ∴长不可能是， 故选：D． 8．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．分、两种情况，根据直角三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵是的外角， ∴， 综上所述，的度数为或， 故选：C． 9．如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，三线合一，得到，等边对等角，求出，进而求出，利用含30度的直角三角形的性质，得出，进一步求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 10．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形外角性质的应用． 根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，从而可求得顶角的邻补角的度数为，根据直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半即可求得腰上的高的长． 【详解】解：如图，过作，交延长线于， ，， ， 为上的高，， ． 故答案为：． 12．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论． 【详解】解：， 直尺的两对边平行， ， 故答案为：．    13．如图，已知，点在边上，，点、点在边上，．若，则等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，三线合一，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用含有度角的直角三角形的性质求得，再利用等腰三角形三线合一求得，从而可利用线段差求得． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：8． 14．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点，连接．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查垂直平分线的定义和含角的直角三角形性质，根据题意知为的垂直平分线，得到，结合题干给定的角度可求得，进而求得，即可求得答案． 【详解】解：由题意得为的垂直平分线，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 则， 故答案为：3． 15．等腰直角三角形底边上的高为，则该三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形既有等腰三角形的性质，也有直角三角形的性质成为解题的关键． 先根据等腰三角形三线合一的性质得出斜边上的高与斜边上的中线重合，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求得其斜边长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形其底边上的高也是底边上的中线，等腰直角三角形斜边上的高为， ∴等腰直角三角形斜边上的中线为， 又∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边长是， ∴该三角形的面积是． 故答案为：16． 16．某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ． 【答案】15米 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出，则，最后根据含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 在中， （米） 故答案为：15米． 17．图，在边长为等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．根据平行线的性质可得知是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． 故答案为：． 18．如图，中，，点D在上，连接为的角平分线，过的中点F作的垂线，点G为垂足，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形综合，熟练掌握等腰三角形性质，三角形内角和定理，等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，是解题的关键． 根据等腰三角形性质可得，得，得，根据角平分线计算与三角形外角性质可得， ，∴可得为等边三角形，在上截取，连接，得，可得，由，可得．结合中点性质可得，即得． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵为的角平分线， ∴． ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴． 在上截取，连接． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵F为中点， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答；掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）先根据垂直的定义和直角三角形的性质可得，再结合可得，最后根据直角三角形的性质即可解答；掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，进而可得，再结合含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：，理由如下： ∵在等边中，，是中线， ∴，，，， ∴，， ∴． 21．如图，已知 ， (1)在边上找一点D，使得点 D到，边的距离相等；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若 ，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的作图，判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的判定可知，点D在的角平分线上，作的角平分线，交于点D，点D即可求解； （2）根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，再根据线段和差关系即可得解． 【详解】（1）解：如图①，点 D 即为所求， （2）解：如图②，过点D作，垂足为点E， 由（1）知， 平分， ， ∴， ， ， ， ， ． 22．在中，． (1)如图1，已知平分，求的度数． (2)如图2，请直接写出与相等的角(不包括) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）三角形的内角和定理求出，角平分线求出，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据同角或等角的余角相等，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵ ，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故与相等的角有． 23．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是，求解即可； （2）①由题意可得，所以只要证与满足，即可解答，②由题意可得，所以分两种情况，，，分别求解即可． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”， ②∵， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为或． 24．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，，见解析；②， 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质； （1）①选择小喆同学的解题思路：由，和平分，得到，即可证明，得到，再证明，得到，则，最后由，得到． ②选择小昀同学的解题思路：先证明是等边三角形，再证明，得到，根据证明即可． （2）参考（1）中的两种方法证明即可，注意部分细节结合图形有变化． （3）①由点C与点D关于直线对称，得到，，再根据和，得到，最后根据外角求得 ．在上取点M使，连接，则是等边三角形，证明，得到，即可证明． ②由点C与点D关于直线对称，得到，，则，，．在上截取，连接，则是等边三角形，再证明，得，最后根据证明即可． 【详解】解：（1）①选择小喆同学的解题思路：证明：如图1，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． ②选择小昀同学的解题思路：如图2，在射线上截取，连接， ，平分， ， ， 是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）证明：方法一：如图3，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． 方法二：如图4，在上截取，连接． ，平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即， ，， ， 又， ， ， ， ， ． （3）①结论：当时，，． 理由：如图5，连接，是等边三角形， ，， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上取点M使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， ， ． ②，． 如图6，连接， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $