2.5 直角三角形（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦直角三角形的定义、性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半）、判定（两角互余）及全等判定（HL定理），构建从概念到性质判定再到全等应用的知识支架，明晰性质与判定的双向逻辑关系。 资料通过易错提醒（如区分性质与判定逻辑、HL适用条件）、随学随练及题型分类（角度计算、中线应用、HL证明等），培养学生推理意识与规范表达能力。课中助力教师系统授课，课后学生可通过例题与练习巩固知识，查漏补缺。

第二章 特殊三角形 2.5 直角三角形及其全等的判定 课标要点 1.理解直角三角形的定义与基本概念，掌握直角三角形的表示方法，明晰直角三角形的边角基本特征，熟练掌握直角三角形按边、角的分类特点。 2.掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，能利用该性质进行角度计算、角度推理与简单几何说理。 3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，能根据角度关系判定三角形是否为直角三角形，厘清性质与判定的双向逻辑关系。 4.掌握直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握定理的几何语言表达，理解定理的推导过程与几何内涵。 5.掌握直角三角形全等的特殊判定定理——斜边、直角边（HL）定理，准确理解定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，明确HL定理的专属适用条件。 6.能在复杂图形、折叠图形、几何变式题型中识别直角三角形模型，挖掘隐含的直角、互余角、斜边中线等条件，规范几何推理过程。 学习重难点 重点： 1.掌握直角三角形两锐角互余的性质及对应的判定定理，熟练进行直角三角形角度计算与三角形形状判定。 2.熟练掌握直角三角形斜边中线定理，能运用定理解决线段长度计算、线段相等证明、角度推导等基础问题。 3.熟练区分直角三角形全等的通用判定方法与特殊HL定理，能根据题干条件灵活选用最优判定方法。 4.熟练运用直角三角形的性质与判定，结合已学几何知识，规范完成基础几何计算与证明题型的解答。 难点： 1.精准区分直角三角形性质与判定的逻辑关系，理清“直角推锐角互余”和“锐角互余推直角”的双向推理，避免定理混用。 2.在复杂图形、折叠、组合直角三角形模型中，挖掘隐含条件（公共斜边、公共直角边、垂直、等角等），精准凑齐全等判定条件。 3.在复杂图形、折叠、动态几何题型中，快速识别直角三角形模型，挖掘隐藏的斜边中线、30°角、互余角等关键条件。 4.综合运用多个直角三角形性质定理，结合等腰三角形、全等三角形知识完成多步递进推理，构建完整、严谨的几何逻辑链。 5.灵活运用特殊直角三角形的边角关系解决几何综合题型，掌握线段倍分关系的转化方法，突破几何线段推导难点。 知识点 直角三角形的性质（重点） 1.直角三角形的定义：有一个角时直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形用符号“Rt△” 2.直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余。 2.直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 易错提醒 1）斜边上的中线性质仅限斜边中线，两条直角边的中线无此性质； 2）两锐角互余不能用于非直角三角形。 随学随练 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，．求证：． 知识点 直角三角形的判定（重点） 1.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 易错提醒 1）仅有一个锐角为90°表述错误，三角形内角最大为180°，只能是有一个内角是直角； 2）不能用“两个角相加为90°”直接口述判定，需规范表述两角互余。 随学随练 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，平分．求证：是直角三角形． 知识点 直角三角形全等的判定 1. 三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 易错提醒 1）HL只适用于直角三角形，普通三角形不能使用； 2）必须是斜边+一条直角边，两条直角边相等用SAS，不可混用HL； 3）书写证明需先注明三角形为Rt△，再用HL判定。 随学随练 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 拓展 直角三角形性质与判定双向对比 1. 直角三角形的性质与判定为互逆逻辑，一个是已知直角三角形推导结论，一个是根据条件证明直角三角形，是基础核心辨析点，具体对比如下： 对比维度 直角三角形性质 直角三角形判定 前提条件 已知三角形是直角三角形 未知三角形形状，需证明为直角三角形 核心结论 1. 两个锐角互余； 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 三角形中有两个角互余，即可判定为直角三角形 逻辑方向 由图形属性推边角关系 由角度关系推图形属性 活学活用 1．（25-26八年级下·江西宜春·期中）如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍长6米，点到点的距离（    ） A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 拓展 直角三角形核心性质易错点归纳 1. 中线性质专属条件：“斜边上的中线等于斜边的一半”仅适用于直角三角形，普通三角形无此性质，且必须是斜边中线，直角边中线不具备该特点。 2. 互余逻辑区分：直角三角形性质是“已知直角，得锐角互余”；判定定理是“已知锐角互余，得直角三角形”，二者因果关系不可颠倒。 3. HL定理使用前提：使用HL证明全等时，必须先明确两个三角形为直角三角形，非直角三角形不可使用该判定方法。 活学活用 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 3．如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型 利用直角三角形的两个锐角互余求解解题贴士 直角三角形两锐角和为90°，已知一个锐角可直接求另一个；结合对顶角、外角、平行线角度关系，通过角度和差快速计算未知角度。 ▌例1．（25-26七年级下·广东河源·期中）在中，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． ▌对点练1-1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为________． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是，则另一个锐角的补角的度数为________． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型 利用直角三角形的两个锐角互余证明 解题贴士 借助直角三角形两锐角互余，结合同角或等角的余角相等，证明两个锐角相等，进而证角相等、线段相等、三角形全等。 ▌例1．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． ▌对点练1-1．如图，在中，，于．    (1)求证：； (2)分别交、于、，若，求证：平分． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形； 题型 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 解题贴士 Rt△中，斜边中线=斜边的一半，可直接实现倍半线段转化；常用于求线段长、周长、等腰三角形边长计算。 ▌例1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，是边的中点，，求的度数． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东中山·期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_____． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，交边于点，点是边的中点，连接． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． ▌对点练1-5．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 题型 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 解题贴士 在直角三角形中，取斜边中点连中线，利用中线与斜边倍半关系，构造等腰三角形，证明线段相等、角度相等、垂直关系。 ▌例1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，在中，平分交边于点垂足为．求证：． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型 直角三角形的判定 解题贴士 常用三种判定：①有一个角为90°的三角形是直角三角形；②两锐角互余的三角形是直角三角形；③三角形一边中线等于该边一半，此三角形为直角三角形（斜边判定）。 ▌例1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川雅安·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短 ▌对点练1-2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． ▌对点练1-3．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 题型 用HL证全等 解题贴士 HL仅适用于直角三角形，只需证明：斜边相等、一条直角边相等，即可判定两Rt△全等，无需找角。 ▌例1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，．要使，还需增加一个条件可以是________．    ▌对点练1-2．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 题型 全等的性质与HL综合 解题贴士 先用HL证明直角三角形全等，再利用全等性质：对应边相等、对应角相等，进行线段转化、角度计算、垂直证明等综合推导。 ▌例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 ▌对点练1-1．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，斜边的中垂线交于点F，交的外角平分线于点E，于点G，垂直的延长线于点M，连接交于点N，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________________（填序号）． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 题型 一线三垂直模型 解题贴士 一线三垂直模型核心结论：模型中左右两个直角三角形全等，对应直角边交叉相等。 ▌例1．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积． ▌对点练1-1．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． ▌对点练1-2．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 基础通关 1．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 2．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 3．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（     ） A．始终不变 B．先变小再变大 C．先变大再变小 D．逐渐变小 4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度． 6．（25-26八年级下·北京·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为_________． 7．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，垂足为点，是上的一点，连接．若，求证：． 9．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，D 是的中点，，求的度数． 11．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 12．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，F是上的一点，于点D，的延长线于点E，．求证：． 小虎同学的证明如下： 证明：∵，， ∴………第一步 在和中， ∴………第二步 ∴……………………第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程； (3)请直接写出，，这三条线段之间的数量关系： ． 素养提升 1．若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 7．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，有两个全等的等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中的顶点与的斜边中点重合，．将绕点顺时针旋转，边与边交于点，边与边交于点，连接． (1)点到的距离是_____； (2)在的旋转过程中， ①请判断的形状，并说明理由； ②求面积的最大值． 9．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 迁移创新 1．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 【问题情境】在中，于点D． (1)如图①，在中，若，，平分，则_________； 【操作探究】 (2)如图①，若线段沿着翻折，正好落在上，，，试计算的度数，并说明理由； 【拓展探究】 (3)如图②，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F都在射线上；若，试计算的度数，并直接写出结果． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.5 直角三角形及其全等的判定 课标要点 1.理解直角三角形的定义与基本概念，掌握直角三角形的表示方法，明晰直角三角形的边角基本特征，熟练掌握直角三角形按边、角的分类特点。 2.掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，能利用该性质进行角度计算、角度推理与简单几何说理。 3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，能根据角度关系判定三角形是否为直角三角形，厘清性质与判定的双向逻辑关系。 4.掌握直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握定理的几何语言表达，理解定理的推导过程与几何内涵。 5.掌握直角三角形全等的特殊判定定理——斜边、直角边（HL）定理，准确理解定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，明确HL定理的专属适用条件。 6.能在复杂图形、折叠图形、几何变式题型中识别直角三角形模型，挖掘隐含的直角、互余角、斜边中线等条件，规范几何推理过程。 学习重难点 重点： 1.掌握直角三角形两锐角互余的性质及对应的判定定理，熟练进行直角三角形角度计算与三角形形状判定。 2.熟练掌握直角三角形斜边中线定理，能运用定理解决线段长度计算、线段相等证明、角度推导等基础问题。 3.熟练区分直角三角形全等的通用判定方法与特殊HL定理，能根据题干条件灵活选用最优判定方法。 4.熟练运用直角三角形的性质与判定，结合已学几何知识，规范完成基础几何计算与证明题型的解答。 难点： 1.精准区分直角三角形性质与判定的逻辑关系，理清“直角推锐角互余”和“锐角互余推直角”的双向推理，避免定理混用。 2.在复杂图形、折叠、组合直角三角形模型中，挖掘隐含条件（公共斜边、公共直角边、垂直、等角等），精准凑齐全等判定条件。 3.在复杂图形、折叠、动态几何题型中，快速识别直角三角形模型，挖掘隐藏的斜边中线、30°角、互余角等关键条件。 4.综合运用多个直角三角形性质定理，结合等腰三角形、全等三角形知识完成多步递进推理，构建完整、严谨的几何逻辑链。 5.灵活运用特殊直角三角形的边角关系解决几何综合题型，掌握线段倍分关系的转化方法，突破几何线段推导难点。 知识点 直角三角形的性质（重点） 1.直角三角形的定义：有一个角时直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形用符号“Rt△” 2.直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余。 2.直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 易错提醒 1）斜边上的中线性质仅限斜边中线，两条直角边的中线无此性质； 2）两锐角互余不能用于非直角三角形。 随学随练 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵，点是的中点， ∴， ∴是直角三角形． 又∵点是边的中点， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质．先利用等腰三角形三线合一的性质得出是直角三角形，然后通过是直角三角形斜边中线得到． 【详解】略 知识点 直角三角形的判定（重点） 1.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 易错提醒 1）仅有一个锐角为90°表述错误，三角形内角最大为180°，只能是有一个内角是直角； 2）不能用“两个角相加为90°”直接口述判定，需规范表述两角互余。 随学随练 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 2．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 知识点 直角三角形全等的判定 1. 三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 易错提醒 1）HL只适用于直角三角形，普通三角形不能使用； 2）必须是斜边+一条直角边，两条直角边相等用SAS，不可混用HL； 3）书写证明需先注明三角形为Rt△，再用HL判定。 随学随练 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 【答案】 【详解】 在和中， ， ． 故需添加条件． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：略； 拓展 直角三角形性质与判定双向对比 1. 直角三角形的性质与判定为互逆逻辑，一个是已知直角三角形推导结论，一个是根据条件证明直角三角形，是基础核心辨析点，具体对比如下： 对比维度 直角三角形性质 直角三角形判定 前提条件 已知三角形是直角三角形 未知三角形形状，需证明为直角三角形 核心结论 1. 两个锐角互余； 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 三角形中有两个角互余，即可判定为直角三角形 逻辑方向 由图形属性推边角关系 由角度关系推图形属性 活学活用 1．（25-26八年级下·江西宜春·期中）如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍长6米，点到点的距离（    ） A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结果. 【详解】解：由题意，为的中点，， ∴， 即：点到点的距离为3米. 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 拓展 直角三角形核心性质易错点归纳 1. 中线性质专属条件：“斜边上的中线等于斜边的一半”仅适用于直角三角形，普通三角形无此性质，且必须是斜边中线，直角边中线不具备该特点。 2. 互余逻辑区分：直角三角形性质是“已知直角，得锐角互余”；判定定理是“已知锐角互余，得直角三角形”，二者因果关系不可颠倒。 3. HL定理使用前提：使用HL证明全等时，必须先明确两个三角形为直角三角形，非直角三角形不可使用该判定方法。 活学活用 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵分别是边上的高， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形的高的定义得到，再利用即可证明； （2）根据三角形的高的定义得到，再根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再由三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）证明：由题意，得， 在和中， ∵ ． （2）解：∵在中，，， ， 由（1）知， ． ， ． 题型 利用直角三角形的两个锐角互余求解解题贴士 直角三角形两锐角和为90°，已知一个锐角可直接求另一个；结合对顶角、外角、平行线角度关系，通过角度和差快速计算未知角度。 ▌例1．（25-26七年级下·广东河源·期中）在中，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出的度数. 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵， ∴. ▌例2．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)高 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． ▌对点练1-1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【答案】35 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是，则另一个锐角的补角的度数为________． 【答案】 /160度 【详解】解：直角三角形的两锐角互余，已知一个锐角为， 另一个锐角的度数为， 互补的两个角和为， 另一个锐角的补角的度数为. ▌对点练1-4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键． （1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出； （2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ， ． 答：． （2）解：由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ． 答：． 题型 利用直角三角形的两个锐角互余证明 解题贴士 借助直角三角形两锐角互余，结合同角或等角的余角相等，证明两个锐角相等，进而证角相等、线段相等、三角形全等。 ▌例1．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．关键是通过高的性质得到直角，再利用同角的余角相等找到相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出，再由直角三角形两锐角互余推出，结合已知，证明，最后根据全等三角形对应边相等得到． 【详解】解：∵、是的高， ∴， ∵在中，， 在中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴. ▌对点练1-1．如图，在中，，于．    (1)求证：； (2)分别交、于、，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，等边对等角． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据等边对等角可得，根据对顶角相等得出，即可得出，进而根据等角的余角相等，即可得证． 【详解】（1）证明：，于， ，， ； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等．由，可知，再由和余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论． 【详解】证明：， ， 又， ， ，， ， 又， ， ． 题型 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 解题贴士 Rt△中，斜边中线=斜边的一半，可直接实现倍半线段转化；常用于求线段长、周长、等腰三角形边长计算。 ▌例1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中线， ∴． ▌例2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形的性质得，即得，进而根据角的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：是的中点，， ， ； ． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东中山·期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【详解】解：∵点A，B对应的刻度分别为2，8， ， 在中，，点D为边的中点， ∴． ▌对点练1-2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴ ． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_____． 【答案】 【详解】解：公路，互相垂直， ， 是公路的中点， ， ， ， ，两点间的距离为． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，交边于点，点是边的中点，连接． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）先结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，结合等边对等角，以及直角三角形的两个锐角互余，得，运用三角形内角和性质，得，即可得出的度数 （2）结合等边对等角，以及直角三角形的两个锐角互余，得，又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，，最后运用三角形外角性质，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ▌对点练1-5．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 题型 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 解题贴士 在直角三角形中，取斜边中点连中线，利用中线与斜边倍半关系，构造等腰三角形，证明线段相等、角度相等、垂直关系。 ▌例1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，在中，平分交边于点垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】如图，取的中点，连接，而，证明，，，再证明为等边三角形，进一步证明即可． 【详解】证明：如图，取的中点，连接，而， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是边上的高线， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴点是边的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由是边上的中线，得到是斜边上的中线，从而得到，又有，即可证明； （2）根据是边上的高线，，可求得，由是斜边上的中线，得到，再根据，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型 直角三角形的判定 解题贴士 常用三种判定：①有一个角为90°的三角形是直角三角形；②两锐角互余的三角形是直角三角形；③三角形一边中线等于该边一半，此三角形为直角三角形（斜边判定）。 ▌例1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川雅安·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质．根据平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行直线同时被第三条直线所截，同旁内角互补，故原说法错误，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； C、有两个角互余的三角形是直角三角形，故原说法正确，符合题意； D、两点之间，线段最短，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为， ∴第三个角是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：，直角． ▌对点练1-3．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 【答案】证明：在中， ∵， ∴ 由沿翻折得， ∴， 由沿翻折得， ∴ ∴ 即是直角三角形． 【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形． 【详解】略 题型 用HL证全等 解题贴士 HL仅适用于直角三角形，只需证明：斜边相等、一条直角边相等，即可判定两Rt△全等，无需找角。 ▌例1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． ▌例2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据等角对等边得到，再利用即可证得结论. 【详解】证明：， ， 在和中， ，       ．   ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，．要使，还需增加一个条件可以是________．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据垂直的定义可得，结合公共边，利用直角三角形全等的判定定理或添加条件即可． 【详解】解：这个条件可以是， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练1-2．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加后，为等边三角形．理由见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用证明； （2）由得出，进而得出，根据有一个角是60度的等腰三角形为等边三角形，可得添加的条件可以为． 【详解】（1）证明： 和是的高， 和是直角三角形， 在和中， ； （2）解：添加后，为等边三角形．理由如下： ， ，即， ， 又 ， 为等边三角形． 题型 全等的性质与HL综合 解题贴士 先用HL证明直角三角形全等，再利用全等性质：对应边相等、对应角相等，进行线段转化、角度计算、垂直证明等综合推导。 ▌例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌例2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. ▌对点练1-1．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，斜边的中垂线交于点F，交的外角平分线于点E，于点G，垂直的延长线于点M，连接交于点N，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________________（填序号）． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理可判断①；由①知，根据三角形的内角和可判断②；根据正方形的性质、平行线的判定以及可判断③；由线段垂直平分线的性质和三角形的面积可判断④． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∴，故①正确； 由①知， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴， 由②知， ∵， ∴， 由图可知， ∴， ∴不能判断，故③错误； 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∵，，且， 若， 则有， 即， 由①知， 即， 那么就有， 而题目给出的条件无法推出此结论，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，平分， ，，       是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ，       ； (2)的长为 【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线导角可得； （2）连接，，利用中垂线的性质可证，，则可求． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，     平分，，， ，       的垂直平分线交于点， ，       在和中， ， ，       ， 在和中， ， ，       ， ，， ， 即的长为． 题型 一线三垂直模型 解题贴士 一线三垂直模型核心结论：模型中左右两个直角三角形全等，对应直角边交叉相等。 ▌例1．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：，， ， ，直线l经过点A， ，即， ， ； （2）； （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直得出直角三角形，根据同角的余角相等得出相等角，最后利用证明三角形全等即可； （2）过点作交于点，同理可得，可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可解答； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，同理可得，可得，证明，利用三角形面积公式求得，进而得到，再求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作交于点， 同理（1）得， ， ，， ， ∴； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∵， ∴， ， 同理（1）中得， ， ∵， ∴， ∴， 的面积为14，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． ▌对点练1-1．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1-2．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 基础通关 1．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 2．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为4， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得斜边长为， ∵斜边上的高为3， ∴面积为． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（     ） A．始终不变 B．先变小再变大 C．先变大再变小 D．逐渐变小 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，， 连接， ∵，为的中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化． 4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，是的高；②点为的中点，底边在同一直线上，等高且等底，故面积相等；③平分角且，可证三角形全等，得到，代入线段差即可推出；④利用外角性质将得，结合直角三角形两锐角互余，等量代换可证三个角相加等于。 【详解】解：①于点， 线段为△的高， 故结论①不正确，不符合题意； ②点为的中点， ， △的边上的高与△的边上的高相同， 与△面积相等， 故结论②正确，符合题意； ③平分， ， 于点， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； ④， 于点， ， ， 故结论④正确，符合题意； 结论正确的有3个． 5．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键，根据直角三角形两锐角互余计算即可得到答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角为度，直角三角形两锐角互余， 另一个锐角的度数为． 6．（25-26八年级下·北京·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知条件即可求解． 【详解】解：公路、互相垂直， 是直角三角形． 是的中点，， ∴， ． 即M，C两点间的距离为． 7．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 【答案】小丽，证明见解析 【详解】解：支持小丽的观点，证明如下： ∵，，， ∴ ∴． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，垂足为点，是上的一点，连接．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．由，可得，结合，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：，， ． ， ，即． 在和中， ． ． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）由题意可得，由可得，再证明即可证得； （2）由可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ∴在中， ． ， ． ， ． ． 10．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，D 是的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余． 根据等腰三角形的性质可得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定及全等三角形的性质、直角三角形的性质，关键是利用证明三角形全等，再结合全等性质与直角三角形的角度关系求解． （1）先根据判定和为直角三角形，再结合已知和公共边，利用定理证明全等． （2）由全等三角形的性质得，在中求出的度数，再利用三角形外角性质或直角三角形两锐角互余的关系，建立关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 在中，，， ∴， 又∵，， ∴，即， 解得； 故答案为：． 12．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，F是上的一点，于点D，的延长线于点E，．求证：． 小虎同学的证明如下： 证明：∵，， ∴………第一步 在和中， ∴………第二步 ∴……………………第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程； (3)请直接写出，，这三条线段之间的数量关系： ． 【答案】(1)二 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）根据三角形全等的判定定理求解即可； （3）由得到，，然后等量代换求解即可． 【详解】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误； （2）解：证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，， ∴，， ∴． 素养提升 1．若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】重力与水平地面垂直，得．由，得，由对顶角得．摩擦力与斜面平行，故．支持力与斜面垂直，即与垂直，得．由周角得． 【详解】解：如图，设重力的作用线与斜面交于点，与水平地面交于点． ∵重力的方向与水平地面垂直， ∴． ， ∴． ． 摩擦力的方向与斜面平行， ， 支持力的方向与斜面垂直， 支持力的方向与摩擦力的方向垂直， ， ． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 【答案】D 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，即，且点是梯子的中点， ∴， ∵梯子的长度为定值， ∴的长度为定值，即点和点的距离始终不变． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明： ，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 7．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【答案】楼的高度为 【分析】证明，进一步利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：由题意，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 答：楼的高度为． 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，有两个全等的等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中的顶点与的斜边中点重合，．将绕点顺时针旋转，边与边交于点，边与边交于点，连接． (1)点到的距离是_____； (2)在的旋转过程中， ①请判断的形状，并说明理由； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①是等腰直角三角形，理由见解析；② 【分析】（）连接，过点作于，可得 ， ，再根据三角形面积公式解答即可求解； （）①证明，可得，即可求证；②由全等三角形的性质得，设，则，可得，即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴ ， ∵点是斜边的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得， ∴点到的距离是； （2）解：①是等腰直角三角形，理由如下： ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点， ∴， ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②∵ ， ∴， 设，则， ∴， ∵ ， ∴， ∴面积的最大值为． 9．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 迁移创新 1．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (2)8 (3)，理由如下： 如图3，过点D作于点F， ，， ∴同理得：， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系； （2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度； （3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系． 【详解】（1）略； （2）如图2所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ； （3）略． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 【问题情境】在中，于点D． (1)如图①，在中，若，，平分，则_________； 【操作探究】 (2)如图①，若线段沿着翻折，正好落在上，，，试计算的度数，并说明理由； 【拓展探究】 (3)如图②，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F都在射线上；若，试计算的度数，并直接写出结果． 【答案】(1)5 (2)的度数为，理由如下： ∵线段沿着翻折，正好落在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (3)的度数为 【分析】（1）由、，根据直角三角形两锐角互余，得．由三角形内角和得，因平分，故，进而可求出的度数； （2）由折叠可知平分，即．由、，得，结合，可得，则； （3）由折叠得，，故．根据三角形外角性质，，，两式相加得．由，代入得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，，且平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 由图可得，，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $