精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷

贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 9月月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与元素之间的基本关系以及集合与集合之间的关系逐一判断可得结论. 【详解】对于A，因为空集中不含有任何元素，因此，即A错误； 对于B，集合中只有一个元素，而中有两个元素，所以，即B错误； 对于C，空集中不含有任何元素，而中有一个元素，所以C错误； 对于D，自然数集中包含0，因此，即D正确. 故选：D 2. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集以及交集的定义即可求解. 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以集合表示为. 故选：A. 3. 设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（ ）. A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据，最后根据包含关系求实数，即得结果. 【详解】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 故选：C. 4. 学校开运动会，某班45人，参加跑的同学20人，参加跑的同学20人，参加跑的同学17人，既参加跑又参加跑的同学10人，既参加跑又参加跑的同学7人，既参加跑又参加跑的同学8人，都不参加跑的同学11人，问，，同时参加的同学为（ ）人 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦恩图结合条件列方程即得． 【详解】设，，同时参加的同学为人， 作出韦恩图： ， 解得． 故选：B． 5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则， ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：B 6. 已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由图可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求. 【详解】由直线，，知，又由二次函数的对称性和图象知顶点为， 所以，解得，由得，，则． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列各结论正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 命题“”的否定是“” D. “一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据符号规律可判断A；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B；根据全称命题否定形式可判断C；结合二次函数图象与性质可判断D. 【详解】解：⇔，故A正确; ，令，则， 且在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为，故B错误； 命题“”的否定是“”，故C错误； 一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D正确. 故选：AD 9. 对于实数a、b、c，下列命题正确的是（ ） A. 若， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及利用作差法，即可判断选项. 【详解】A.当时，，故A错误； B.若，则，且，即，故B正确； C. ， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； D.若，，则，且，则，可知，故D正确. 故选：BCD 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 设，则“”是“”的____________（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】解不等式，再利用充分条件和必要条件的概念进行判断. 【详解】因，当时；当时，，得或； 又或 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 12. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 13. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． 则的最小值为_____________，当时，求的最小值为______ 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】利用三元基本不等式得到、，注意等号成立条件，即可得. 【详解】由，， 当且仅当时等号成立，所以， 所以当时，取最小值，为； 由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故时，取到最小值，为． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 14. 已知集合，已知全集，集合，，求 （1） （2） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，根据集合的运算，即可求得答案； （2）求出集合，求得，根据集合的运算，即可求得答案. 【小问1详解】 ，，，， ； 【小问2详解】 ， ，，，，. 15. 已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【小问1详解】 “糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答. （2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答. 【小问1详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. （1）求关于的函数解析式； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，即可求解； （2）把代入（1）中的解析式，即可求得该休闲场所的总造价； （3）由（1）中的解析式，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【小问1详解】 解：设，则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以关于的解析式为. 【小问2详解】 解：当m时， 可得（元）， 所以长为时，该休闲场所的总造价元. 【小问3详解】 解：由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 18. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 【答案】（1）不具有性质P． （2）①不妨设， 由集合A具有性质P，得， 所以， 即有． ②10． 【解析】 【分析】（1）由集合具有性质的定义判断即可； （2）不妨设，由集合A具有性质P，得，然后证明即可；对任意正整数，，与①类似可得，所以，又集合符合性质P，所以求解即可. 【小问1详解】 因为 所以集合不具有性质P． 【小问2详解】 ①略 ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 且A中含10个元素，所以n的最大值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 9月月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 3. 设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（ ）. A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 4. 学校开运动会，某班45人，参加跑的同学20人，参加跑的同学20人，参加跑的同学17人，既参加跑又参加跑的同学10人，既参加跑又参加跑的同学7人，既参加跑又参加跑的同学8人，都不参加跑的同学11人，问，，同时参加的同学为（ ）人 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列各结论正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 命题“”的否定是“” D. “一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件 9. 对于实数a、b、c，下列命题正确的是（ ） A. 若， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 设，则“”是“”的____________（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 12. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 13. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． 则的最小值为_____________，当时，求的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 14. 已知集合，已知全集，集合，，求 （1） （2） 15. 已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）已知，，是三角形的三边，求证：. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. （1）求关于的函数解析式； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 18. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $