专题2.1 函数的概念 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题2.1 函数的概念 目录 高考考情分析（2022-2025） 0 考点1 函数的定义域 3 题型1 具体函数的定义域 4 题型2 抽象函数的定义域 5 题型3 根据定义域求参 6 考点2 函数的值域 7 题型4 求函数的值域 7 题型5 根据函数的值域求参 9 考点3 函数的解析式 10 题型6 具体函数的解析式 10 题型7 根据函数解析式求值 13 题型8 根据函数解析式求参 15 考点4 相等函数 16 题型9 判断函数相等 16 考点5 分段函数 18 题型10 分段函数 19 题型11 分段函数求参 21 高考考情分析（2022-2025） 求函数的定义域 （简单） 1．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 求函数值（简单） 2．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 函数的概念（简单） 3. （2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 函数的概念（中档） 4．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 【答案】，， 【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得． 【详解】令得，或（舍去）； 当时，，故对任意， 都存在，，，故， 故，，，而当时，， 故当，，时，参数的最小值为， 故参数的取值范围为，， 故答案为：，． 分段函数最值（中档） 5．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 分段函数最值（中档） 6．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 近4年高考，函数的概念题目不是很多，考定义域、值域、函数值、函数的定义的题目相对基础简单，分段函数的函数值、值域、最值问题，求参问题都属于中档题目 考点1 函数的定义域 （1）分式中的分母不为0； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； （4）指数式的底数大于0且不等于1； （5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0； （6）正切函数且，． 题型1 具体函数的定义域 1．（2025·河北保定·三模）设集合 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解指数不等式得集合，求函数定义域得集合，然后根据交集的定义求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数定义域分别化简集合，，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由得，∴， 由，得，解得或 ∴， 故选：B. 3．（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及分式函数的定义域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集概念求解即可. 【详解】对于集合A：由题意，得， 所以， 对于集合B，，则， 所以， 因此. 故选：A 题型2 抽象函数的定义域 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解. 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先利用函数的定义域求得集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】∵函数的定义域为， 所以， 令，解得，即，即， ∵， ∴“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 题型3 根据定义域求参 1．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限． 【答案】一 【分析】先通过分式的分母恒不为零求出的范围，根据的范围可得点所在象限，进而可得其关于x轴的对称点所在象限. 【详解】分式不论x取何值总有意义， 即方程无解 所以，解得， 所以， 所以点在第四象限，其关于x轴的对称点在第一象限. 故答案为：一. 考点2 函数的值域 （1）求函数值：将对应代入到解析式中计算，复合函数由里到外逐层计算即可。 （2）求函数值域常用方法： ①配方法 ①数形结合 ③ 换元法 ④函数单调性法 ⑤分离常数法 ⑥基本不等式法 题型4 求函数的值域 1．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式及二次不等式、二次函数的性质化简集合A，B，根据交集运算即可得解. 【详解】因为且， ， 所以. 故选：C 2．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 3．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由函数的单调性即可求解. 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 4．（2025·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A．在上单调递增 B． C．若，则的值域为 D．若，则的值域为 【答案】D 【分析】用特例判断选项；求出值域，利用高斯函数定义求，判断. 【详解】对于A：由题意，故A错； 对于B：因为当时，，所以，故B错； 对于C：， 当时，；当时，， 所以的值域为，故C错； 对于D：， ，当时，；当时，， 所以的值域为，故D正确． 故选：D. 题型5 根据函数的值域求参 1．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.若任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去绝对值利用一次函数的单调性求出函数的值域为，利用对勾函数的单调性求出的值域，由题意函数的值域为函数的值域的子集，根据集合关系列不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， ，当时，由对勾函数的性质得在上单调递减， 在上单调递增，当时，取得最小值， 当无限趋向于0且大于0时，无限趋向于正无穷， 所以的值域为. 若任意，存在，使成立， 则函数的值域为函数的值域的子集， 所以，解得. 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，记函数，其中实数，若的最小值、最大值分别为9，11，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数，借助对勾函数的单调性，按分类求出最值，进而求出范围. 【详解】由，得， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，在上单调递减且的值域为， 则，，解得，因此； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又为的最小值，，且的值域为， 则，即，解得，因此， 所以a的取值范围为. 故选：B 3．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、及，结合函数值域定义与二次函数性质计算即可得解. 【详解】若函数的值域为， 则内函数有定义，故内函数大于或等于0， 当时，函数其定义域为，值域为符合题意； 当时，函数开口向上，若要满足题意则需，解得； 当时，函数开口向下，不可能符合题意； 综上所述：. 故选：A. 考点3 函数的解析式 （1）已知函数类型：待定系数法 ，先设出解析式，再根据题目条件求出。 （2）复杂函数类型：换元或配凑法 题型6 具体函数的解析式 1．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 2．（25-26高一上·云南·期中）设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式及函数定义,依次求得，由规律即可求得的解析式. 【详解】函数， 则， ， ， ， 所以 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解. 【详解】令，则，因为，所以， 则，故. 故选：B. 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 5．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 题型7 根据函数解析式求值 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，所以，即， 则 故选：D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果. 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则， 当时，， 因此，， 则， 所以，. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果. 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则，当时，， 因此，，则， 所以，. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 5．（2025·广东佛山·三模）已知函数，则 ． 【答案】/ 【分析】解法1：首先将函数解析式进行化简，化简成正切形式，然后将代入求值即可；解法2：首先求出满足的的一个值，然后将其直接代入解析式中求函数值即可. 【详解】解法1： 当时，有． 解法2：令，得. 故答案为：. 6．（2025·山西·模拟预测）已知函数，则（   ） A． B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】用代换得，即可求目标函数值. 【详解】由题设，故. 故选：C 7．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【分析】将看成一个整体，利用求解即可. 【详解】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 题型8 根据函数解析式求参 1．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据推导出，即可得到，解得即可. 【详解】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在定义域内恒有，则 ． 【答案】3 【分析】由题意得恒成立，从而，由此即可得解. 【详解】由，得， 所以，解得． 故答案为：3. 考点4 相等函数 相等函数：定义域与映射关系均相同才能为相等函数 题型9 判断函数相等 1．（2025·河南·二模）已知函数，，则（   ） A．与的值域相同 B．与的值域相同 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象的平移即可判断AB，代入，结合三角函数的性质，判断正负，即可求解C，利用作差法，结合二倍角公式，即可求解D. 【详解】对于A，， 故的图象可看作的图象向右平移个单位长度得到的，左右平移不影响值域，故A正确； 对于B， ， ， ， 故的图象可看作的图象向左平移个单位长度得到的，左右平移不影响值域，故B正确； 对于C，，， 由，，可知，，，，， 所以，，，故C错误； 对于D，，， ， 而，故，故，故D正确. 故选:ABD 2．（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 3．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 【答案】BC 【分析】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D. 【详解】对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：函数与定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确； 对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确； 对于D：因为，所以， 则，故D错误. 故选：BC 考点5 分段函数 对分段函数，先要确定自变量的取值范围，画函数图像是处理分段函数很好且直观的方法，要注意的是分段区间交接处的函数值。 题型10 分段函数 1．（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 2．（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数性质代入求出，再代入计算即可求得结果. 【详解】由函数可知， 所以. 故选：A. 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【详解】由题，，则. 故答案为： 4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 5．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据为奇函数、为偶函数推出函数的周期，再结合已知条件求出与的值，最后代入的表达式计算. 【详解】因为为奇函数，则，用代替可得，. 因为为偶函数，则，用代替可得，， 所以. 故， 再用代替，则， 所以，即函数的一个周期为. 因为函数的一个周期为，所以. 由，令，可得. 又，令，则，所以，即. 因为函数的一个周期为，所以. 由，令，可得，即，所以，即. 已知，则，. 所以. 故选：D. 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再求出即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 题型11 分段函数求参 1．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若的值域为，则满足条件的整数a的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别求出两段的函数值域，根据的值域为讨论即可得解. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，，， 1)当时，，在上单调递增，此时， 要使的值域为，则，即， 记，则，在单调递减， 因为，所以，即满足题意； 2)当时，，此时， 因为，所以的值域为，即满足题意； 3)当时，由得， 由得， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以在处取得极大值， 当且趋近于时，趋于， 所以时，， 因为， 所以时，， 此时，的值域不是，不满足题意. 综上，满足条件的整数a的值为和，共两个. 故选：B 3．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 4．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】利用分段函数的赋值思想不断求值和递推求值，再结合复合函数单调性求值域，从而可判断各选项. 【详解】对于A，根据题意，由，故A正确； 对于B，根据题意，由，故B正确； 对于C，根据题意，由 ，故C错误； 对于D，由于当时，函数， 满足， 所以图象关于直线对称， 当时，， 所以，，即； 当时，，故，； 当时，由于，所以此时； 当时，由于，所以此时， 以此类推，根据定义域为，所以可得函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 6．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 7．（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的值域，指对数函数的单调性，结合分界点的函数值大小，即可求出的范围. 【详解】当时，的取值范围为， 要使的值域为，必有在上单调递增，且， 所以解得. 故选:D. 8．（2025·新疆·二模）已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，作出函数的图象，如图所示，    所以当时，；当时，， 故函数的值域为. 设，若存在，使得成立，即，只需， 即对于，满足成立， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用导数求得时，函数的值域为，再分和，求出在上的最小值.根据函数的值域为，即可求得的值. 【详解】当时，是单调减函数. ∴的值域为； 当时， 若，则，是单调增函数， 的值域为，不符合题意， 当时，令，得，令，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， , 由题意知，即，解得， 所以. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 函数的概念 目录 高考考情分析（2022-2025） 0 考点1 函数的定义域 1 题型1 具体函数的定义域 2 题型2 抽象函数的定义域 2 题型3 根据定义域求参 2 考点2 函数的值域 3 题型4 求函数的值域 3 题型5 根据函数的值域求参 4 考点3 函数的解析式 4 题型6 具体函数的解析式 4 题型7 根据函数解析式求值 5 题型8 根据函数解析式求参 6 考点4 相等函数 6 题型9 判断函数相等 6 考点5 分段函数 7 题型10 分段函数 7 题型11 分段函数求参 8 高考考情分析（2022-2025） 求函数的定义域 （简单） 1．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 求函数值（简单） 2．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 函数的概念（简单） 3. （2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 函数的概念（中档） 4．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 分段函数最值（中档） 5．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 分段函数最值（中档） 6．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 近4年高考，考定义域、值域、函数值、函数的定义的题目相对基础简单，分段函数的函数值、值域、最值问题，求参问题都属于中档题目 考点1 函数的定义域 （1）分式中的分母不为0； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； （4）指数式的底数大于0且不等于1； （5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0； （6）正切函数且，． 题型1 具体函数的定义域 1．（2025·河北保定·三模）设集合 则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型2 抽象函数的定义域 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型3 根据定义域求参 1．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 2．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限． 考点2 函数的值域 （1）求函数值：将对应代入到解析式中计算，复合函数由里到外逐层计算即可。 （2）求函数值域常用方法： ①配方法 ①数形结合 ③ 换元法 ④函数单调性法 ⑤分离常数法 ⑥基本不等式法 题型4 求函数的值域 1．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 4．（2025·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A．在上单调递增 B． C．若，则的值域为 D．若，则的值域为 题型5 根据函数的值域求参 1．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.若任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，记函数，其中实数，若的最小值、最大值分别为9，11，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点3 函数的解析式 （1）已知函数类型：待定系数法 ，先设出解析式，再根据题目条件求出。 （2）复杂函数类型：换元或配凑法 题型6 具体函数的解析式 1．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 2．（25-26高一上·云南·期中）设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 题型7 根据函数解析式求值 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 4．（2025·河北秦皇岛·一模）表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 5．（2025·广东佛山·三模）已知函数，则 ． 6．（2025·山西·模拟预测）已知函数，则（   ） A． B．5 C．9 D．10 7．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 题型8 根据函数解析式求参 1．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在定义域内恒有，则 ． 考点4 相等函数 相等函数：定义域与映射关系均相同才能为相等函数 题型9 判断函数相等 1．（2025·河南·二模）已知函数，，则（   ） A．与的值域相同 B．与的值域相同 C． D． 2．（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 考点5 分段函数 对分段函数，先要确定自变量的取值范围，画函数图像是处理分段函数很好且直观的方法，要注意的是分段区间交接处的函数值。 题型10 分段函数 1．（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 2．（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则 . 4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 5．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 题型11 分段函数求参 1．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若的值域为，则满足条件的整数a的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．函数的值域为 6．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 7．（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·新疆·二模）已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 学科网（北京）股份有限公司 $