精品解析：四川省绵阳富乐实验中学2025--2026学年上学期九年级入学数学试卷

富乐实验中学2023级九年级（上）入学数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 2. 某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义进行解答． 根据一组数据中，出现次数最多的数据叫众数进行解答． 【详解】解：因为10分出现了12次，出现的次数最多， 所以众数为10， 故选：B． 3. 下列各图中，能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：x的取值范围内做垂直x轴的直线与函数图象只会有一个交点． 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. OB＝OD，OA＝OC B. AD∥BC，AB＝CD C. AB∥CD，AD∥BC D. AB∥CD，AB=CD 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形； 选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形； 选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形； 选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形； 故答案为：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，需要熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 5. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵如图，直线与直线交于点， ∴不等式的解集是． 故选：C． 6. 如图是一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（40-2x），宽为（28-2x），然后根据底面积是364cm2即可列出方程． 【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm， 依题意得， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 7. 小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，相反数的定义，根据题意得有两个相等的实数根得出，进而求出c的值，代入原方程，再利用根的判别式即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， 此时， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于的方程有实数根， ∴，且 ， 解得，且， 当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根 综上， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 9. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ， 点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ， 点D为边的中点， ， 故选：A． 11. 如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、中位线定理以及勾股定理等知识点，作，可知为的中位线，分别求出即可求解. 【详解】解：作，如图所示： 则， ∵H是的中点， ∴为的中点， 由题意得：， ∴， ∴ ∴ 故选：B 12. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由该抛物线经过点即可判断结论①；由各点到抛物线对称轴的距离大小即可判断结论②；由当时函数值取最大值，即可判断结论③；由对称轴为直线，即可判断结论④；由抛物线的对称轴可得该抛物线与轴的交点坐标，即可判断结论⑤． 【详解】解：如下图， ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为 ∴当时，可有，故结论①正确； ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵对称轴为， ∵，，， 又∵， ∴，故结论②错误； ∵该函数图像的对称轴， ∴， ∵，即， ∴， ∵该二次函数的图象开口向下， ∴当时，该函数取最大值， ∴为任意实数，可有， 即，故结论③正确； ∵若且， 即有， ∵函数图象的对称轴为， ∴，即，故结论④错误； ∵方程的两实数根为，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为，， 由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为， 即该抛物线与轴的交点为，， ∵该抛物线开口向下，， ∴，，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，运用加权平均数的计算公式求解，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：他的总分为：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先由勾股定理求出，再由三角形中位线定理得到，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 【答案】1 【解析】 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得（30-2x）（20-x）=532， 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据图形列出方程是解题关键． 17. 若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则______ 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系得，，再代入得，然后解方程并检验即可，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴ ∴，整理得：， 解得：或， 当时，原方程为，有实数根，符合题意； 当时，原方程为，有实数根，符合题意； 故答案为：或． 三、解答题（共6题，共46分） 18. 用指定方法解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以 ． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 19. 某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．． 甲队的成绩是：，，，，，，，，，． 乙队成绩在组中的数据是：，，． 甲、乙两队的成绩统计表 队伍 平均数 中位数 众数 方差 甲队 乙队 乙队成绩扇形统计图 某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值； ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由； 【答案】（1），， （2） 学校应选派甲队，理由如下： ∵甲队的方差为， ∵两队的平均数相同，但甲队的方差小于乙队的方差， ∴这次竞赛中甲队的成绩更稳定； ∴学校应选派甲队． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据． （1）根据乙队组的百分数求，根据中位数和众数的定义求和即可； （2）根据平均数和方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：∵乙队组占的百分比为， ∴， ； 甲队名学生的成绩，从小到大排列为，，，，，，，，，，第和位置的数是和， 中位数； 甲队名学生成绩中，分出现的次数最多， 众数； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 20. 如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且． （1）试判断四边形的形状，并加以证明； （2）若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： 连接，交于点O，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）连接，交于点O，结合菱形的性质和可得，问题随之得证； （2）根据，，可得，结合，可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，菱形的边长为5， ∴， ∴， ∴菱形的面积: ． 21. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 22. 已知正方形的边长为2，顶点A，C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是的中点，是线段上一动点(C点除外)，直线交的延长线于点D． （1）求点D的坐标(用含m的代数式表示)； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知条件可证明，分别表示出的长度，进而表示出D的坐标； （2）分两类情况讨论：①；②，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵M是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 ①当时，则， ∴， 解得； ②当时，过点P作于点H， ∴． ∵， ∴． ∴， 解得． 综上可得，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标； （3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）点的坐标为 （3）存在，P的坐标为、、、 【解析】 【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答． （2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答． （3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：设抛物线为， 经过，两点， ， 把代入得：， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把、代入得： 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ， ， 解得（不符合，舍去），， 经检验：是方程的解 把代入，解得 点的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，过程如下： 依题意，设，且，， ∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形 ∴①当为对角线时，则 ， ； ②当为对角线时，则 ， ，； ③当为对角线时，则 ， ． 综上所述，P的坐标为、、、． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富乐实验中学2023级九年级（上）入学数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2. 某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 下列各图中，能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. OB＝OD，OA＝OC B. AD∥BC，AB＝CD C. AB∥CD，AD∥BC D. AB∥CD，AB=CD 5. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个根是 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 11. 如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：______ 14. 某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为______． 15. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为______． 16. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 17. 若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则______ 三、解答题（共6题，共46分） 18. 用指定方法解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 19. 某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．． 甲队的成绩是：，，，，，，，，，． 乙队成绩在组中的数据是：，，． 甲、乙两队的成绩统计表 队伍 平均数 中位数 众数 方差 甲队 乙队 乙队成绩扇形统计图 某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值； ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由； 20. 如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且． （1）试判断四边形的形状，并加以证明； （2）若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积． 21. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 22. 已知正方形的边长为2，顶点A，C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是的中点，是线段上一动点(C点除外)，直线交的延长线于点D． （1）求点D的坐标(用含m的代数式表示)； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求m的值． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标； （3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $