专题05 二次函数存在性问题四边形相关（4种类型32道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

专题05 二次函数存在性问题四边形相关 （4种类型32道） 地 城 类型01 平行四边形相关存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线：与抛物线交于点P，与直线交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：，直线与抛物线交于点Q，与直线交于点N． ①当点Q在直线下方时，求面积的最大值及此时点N的坐标； ②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为，此时点N的坐标为；②存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而求得，再利用，利用二次函数最值，求解即可； ②分四种情况：Ⅰ、当点P、Q都在直线上方时，即当或时，此情况不存在有平行四边形；Ⅱ、当点P在直线上方、Q在直线下方时，即当时；Ⅲ、当点P、Q在直线下方时，即当时；Ⅳ、当点P在直线下方时，Q在直线上下方时，即当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：①设直线的解析式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴直线l₁向右平移两个单位得到直线， ∴， ∵点Q在直线AC下方时， ∴ ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴． ②直线的解析式为， ∴，， ∵直线：与抛物线交于点P，与直线 交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：+，直线与抛物线交于点Q， ∴，， Ⅰ、当点P、Q都在直线上方时，即当或时，此情况不存在有平行四边形，      ， Ⅱ、当点P在直线上方、Q在直线下方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：，或（舍去）， ∴ Ⅲ、当点P、Q在直线下方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：， ∴， Ⅳ、当点P在直线下方时，Q在直线上方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， 综上，存在，当点P的坐标为或或时，以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数和图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质等知识是解题的关键． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 3．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； (2)直线的函数关系式为； (3)线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 4．已知抛物线解析式为：． (1)求抛物线的顶点坐标． (2)将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式． (3)点Q是直线上方，且又是抛物线图像上的一个动点，连接、，是否存在一点Q，使面积最大，若存在，请求出此时点Q的坐标，并求出其最大面积；若不存在，请说明理由． (4)如图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， (4)存在，，，， 【分析】】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）根据求顶点坐标即可； （2）根据平移规则求解析式即可； （3）过点Q作轴，垂足为E，交于点F，设点Q坐标为， 点F坐标为，根据计算即可； （4）若四边形为符合条件的平行四边形， ，且，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标是； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式，即：； （3）解：过点Q作轴，垂足为E，交于点F， 设点Q坐标为， 容易求得直线的解析式为 ，则点F坐标为． ∵， ∴当，面积最大为，此时点Q的坐标为， 即存在一点Q，使面积最大，点Q的坐标为； （4）解：符合条件的N点存在． 如图：若四边形为符合条件的平行四边形， 则，且， ∴， 作轴于点A，轴于点B， ∴， 则有， ∴， ∵点P的坐标为， ∴， ∵点N在抛物线、上，且P点为、的最高点， ∴符合条件的N点只能在轴下方， ①点N在抛物线上，则有：， 解得：或， ②点N在抛物线上，则有：， 解得：或， ∴符合条件的N点有四个： ． 5．如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点的坐标为 (4)存在．点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）把代入抛物线的解析式，进行求解即可； （3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）知：， ∵点是直线上一点，且点在抛物线上， ∴当，， ∴； （3）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 6．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 【答案】(1) (2) (3)有，满足条件的点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标； （2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入 则有， 解得 二次函数的解析式为， 令，得到，解得或， ． （2）如图中连接，． 设直线解析式为：， ，， ， 解得，， 直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 面积最大时，； （3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点N的横坐标为t， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点N在抛物线上， ∴点N的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点N的坐标为； 综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或． 7．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知、，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求四边形的最大面积； (3)在（2）的条件下，当四边形的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的最大面积为 (3)存在，或或 【分析】（1）根据题意将A，C两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点，则点，可表示出的长，则四边形的面积，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标； （3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的对角线互相平分即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为，把点、的坐标代入得： ，解得 ∴直线的表达式为： 设点，则点，则， 则四边形的面积， 即四边形的最大面积为； （3）解：存在， 理由： 由（2）知，四边形的最大面积时，，即点， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 设点的横坐标为， 当为对角线时，则， 解得，即点 当或为对角线时， 同理可得：或 解得或，即点或， 综上，点或或 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用中点坐标进行分类讨论求出存在的点的坐标． 8．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形．地 城 类型02 矩形相关存在性问题 (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，矩形的性质，相似的判定及性质是解题的关键； （1）根据顶点A的横坐标为1，求，再将点代入，求出c的值，即可求函数的解析式； （2）用待定系数法求直线的解析式，再求M点坐标为，由题意可得，即可求m的值； （3）根据平行四边形的性质，结合点的平移求出，再由，即可求m的值； （4）过点Q作轴，过点M作交于H点，过点A作交于G点，证明，得到，求出m的值即可． 【详解】（1）解：如图： ∵顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， 将点代入，， 解得， ∴； （2）解：∵P点横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 直线的解析式为， ∴， ∵轴， ∴， 解得或（舍）； ∵点Q的坐标为， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴Q点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到M点， ∴A点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∵点N与点Q的纵坐标之和为0， ∴， 解得； （4）解：过点Q作轴，过点M作交于H点，过点A作交于G点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 10．如图，抛物线与轴交于点，点是抛物线上一点，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式并直接写出顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围； (3)将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4时，请直接写出的取值范围； (4)点在轴上，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把点代入进行计算，即可得出，再化为顶点式，得出顶点坐标为； （2）结合抛物线的解析式为，顶点坐标为，即在时，有最大值，且为，根据进行分析，即可作答． （3）先解得抛物线与轴的另一个交点为，且，结合将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4，进行分类讨论，逐个情况进行列式计算，检验，即可作答． （4）根据，，为矩形对角线，得出矩形的中线在直线上，然后根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， ∴， ∴， ∴． 整理得， ∴顶点坐标为． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为， 即开口方向向上，在时，有最大值，且为 ∴在中，有最大值，且为 把代入， 得； 把代入， 得； ∵ ∴当时，的取值范围为； （3）解：依题意，令，则， 解得， ∵抛物线与轴交于点， 记抛物线与轴的另一个交点为，且， ∵的顶点坐标为，开口方向向上，在时，有最大值，且为 当时， ∵将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4， ∴ 则 令， 令，则 ∴ 解得（舍去） ∴； 当时，抛物线的最高点即为顶点，且顶点坐标为，最低点是点， 则，不符合题意，舍去； 当时，抛物线的最高点即为顶点，且顶点坐标为，最低点是P点， 则， ∵将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4， ∴ 则或 解得或（舍去） ∴ 综上：或 （4）解： ∵，，为矩形对角线， ∴矩形的中心在直线上， Ⅰ．当点P在点A左边，即时， 如图所示：矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； Ⅱ．当点P与点A重合时，即时，矩形不存在， Ⅲ．当点P在点A右边，在抛物线对称轴左边时，即时， 如图所示：矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅳ． 当点P在直线和直线之间时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅴ．当点P在直线上时，矩形不存在，不符合题意； Ⅵ． 当点P在直线右侧，点B左侧时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有1个交点，不符合题意； Ⅶ．当点P在点B右侧，点N在点A左侧时， ， 解得：时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅷ．当点N与点A重合时， ， 解得：， 如图所示，此时矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅸ．当点N在点A左边时， ， 解得：， 如图所示，矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象和性质，二次函数的解析式，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，以及具有分类讨论的思想． 11．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 12．如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1) (2)①4，②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设，求出点坐标，将的长转化为二次函数，求最值即可； ②根据矩形的性质，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点 设交点式 ，点在轴负半轴， ， 把点代入抛物线解析式得：， ， 抛物线解析式为； （2）①如图1， ， ， 设直线解析式为 ， 解得： 直线 设， 轴， ， 当时，的最大值为4． ②如图2，、关于点对称， 四边形是矩形 ，且与互相平分 ，为中点 由①得当时， 解得：， 的值为或时，四边形为矩形． 13．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线 (2) (3) (4)能，或 【分析】（1）令解方程即可得到结论，利用对称轴公式求得对称轴； （2）根据直线过，得到直线，解方程得到点的横坐标为4，求得，得到直线的函数表达式为； （3）过作轴交直线于，设，得到，求出，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （4）令，即，得到，设，①若是矩形的一条边，②若是矩形的对角线，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， 对称轴为直线； （2）解：直线过， ， 即， 直线， 抛物线与直线交于点，， ， 即， ， 点的横坐标为4， ， ， 直线的函数表达式为； （3）解：过作轴交直线于，设， 则，， ， ， ， 的面积的最大值为， 的面积的最大值为， ， 解得； （4）以点、、、为顶点的四边形能成为矩形， 令，即， 解得：，， ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ①若是矩形的一条边， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ； ②若是矩形的对角线， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 综上所述，点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得的值，进而求得点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴， 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或或． 15．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 16．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 17．如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点．地 城 类型03 菱形相关存在性问题 (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 18．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)或或，见解析 【分析】（1）先将代入求出a的值，然后求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，证明，得出，得出，从而说明当取得最大值时，也取得最大值．设，则，得出，根据二次函数最大值，求出结果即可； （3）先求出平移后的表达式为，设．分三种情况：当为对角线时，当为边长且和是对角线时，当为边长且和是对角线时，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线交轴于点， ， 抛物线交轴于两点， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得：， 直线的表达式为． （2）解：， ， ， 如图，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点， 则， ， ， ， 当取得最大值时，也取得最大值． 设，则， ， 当时，最大，此时， 当时，面积最大，最大值为： ， 此时点的坐标为． （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后的表达式为： ， 此抛物线的对称轴为直线． 设． ， ， ． 当为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ，解得． 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得 此时； 当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ， 解得：， 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得：， 此时或． 同理，当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 和互相平分，且， 即，此方程无解． 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 20．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或或 【分析】（1）先求得A，B，C三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以AC为对角线或以AC为边这两个情况，进而求得点P的坐标即可． 【详解】（1）解：已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当时，得：， 解得：， 当时，， ，， 对称轴为直线， ， 抛物线经过A点，且与x轴的另一个交点为B， 将点A，点B的坐标代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1，作于F，交于E， ，， ， ， ， ， ∵，， 当时，， 当时，， ； （3）解：点P在抛物线对称轴上， 设， 以点A，C，P，Q为顶点作菱形， 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 综上所述，或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，两点坐标距离公式，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)的最大值为，； (3)点N的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 23．综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． (1)求直的函数表达式； (2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）点作轴交于点，过点作于点，设，则，可得是等腰直角三角形，表示出，则，那么，再转化为二次函数求最值即可； （3）可求，结合条件得到将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，则新抛物线，求出交点．设．，，，由于以为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况讨论，即和，建立方程求出，再根据对角线互相平分的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线，令，则； 令，则．     解得． ∴． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如答图，过点作轴交于点，过点作于点． 设，则． ∴． ∵，   ∴      ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形．    ∴， ∴， 将代入得：， ∴． ∴， ∵， ∴面积的最大值为，此时．     ∴． ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴． ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 相当于平移了的长度，而点的水平距离为1，铅锤距离为3， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度． ∵抛物线， ∴新抛物线． ∴新抛物线的对称轴为直线． 联立．      解得．        ∴． 设． ∴， ， ． ∵以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①当时，即． 解得．     ∴． 设点的坐标为．    ∴， 即．       解得．        ∴点的坐标为； ②当时，即． 解得． ∴或． 同理可得点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，两点之间距离公式，函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24．已知抛物线交轴于两点，交轴于点，矩形各顶点坐标分别是． (1)求抛物线顶点坐标，以及与轴交点的坐标，并求出的长度； (2)抛物线是原抛物线通过平移得到的新抛物线，此抛物线与轴的交点为和（在的左侧），若线段的长度在时，则的取值范围是多少； (3)当抛物线与轴的交点为，顶点为，当为何值时，以为顶点的四边形为菱形．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与特殊四边形的性质，掌握二次函数顶点式的转换，二次函数图形的平移，二次函数与菱形的性质的计算是关键． （1）把二次函数转换为顶点式得到顶点坐标，根据二次函数与坐标值的交点得到，运用两点之间的距离公式即可得到； （2）根据题意得到，由得对称轴，当为4时，点的坐标为，当为5时，点的坐标为，代入计算即可求解； （3）四边形是矩形，则，根据平移后抛物线，当时，四边形为菱形，列式为，即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， ， ； （2）解：当时，， ，则， 的对称轴， 当为4时，， ∴，把点的坐标为代入，得： 当为5时，， ∴把点的坐标为代入，此时． ； （3）解：四边形是矩形， ， 又平移后抛物线， 当时，四边形为菱形， ， ． 25．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为．地 城 类型04 正方形相关存在性问题 (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 26．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． （1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点D作直线于M，交直线于G， ∴轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B． 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的解析式为， 设直线DM交x轴于N，，则，， ∴，， ∴， ∴的最大值为，此时点D的坐标为； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ∴， 设， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， 过点H作轴于M，过点P作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴P点的坐标为或，， ①当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； ②当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； 综上，存在，点K的坐标为或． 28．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 31．实践与探究 为了适应辽宁新中考，我校2024届毕业生成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究学习二次函数问题的集体智慧结晶，期间他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】：（1）他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，通过计算直接写出该抛物线解析式为________；（写成顶点式） 【应用】：（2）按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过？请通过计算进行说明．（货船看作长方体） 【探究】：（3）探究：该课题学习小组为进一步探索拋物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值． ②如图3，G为线段上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）船能通过，说明见解析；（3）①；②或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，由图可知抛物线经过点，代入求出a的值即可求函数的解析式； （2）由题可知当时，，再由，可以判断出船能通过； （3）①由题可知是等腰直角三角形，则，设，则，，当时，的最大值为，即可得的最大值； ②由①可得，当时，H点的纵坐标为5，可得，解得或，再由G点在直线上，即可求G点坐标；当时，，可得，解得或，可求G点坐标． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得： ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）∵船的宽为， ∴， 当时，， ∵， ∴船能通过； （3）①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， ∴的最大值为； ②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得， ∴是等腰直角三角形， 联立，解得，， ∴， ∵G为线段上一动点， ∴， 如图， 分以下两种情况讨论： 当时，，，则轴， ∵， ∴H点的纵坐标为5， ∴， 解得或， ∵G点在线段上， ∴； 当时，，点为的中点， ∴， 设，， ∴， 解得或， ∵G点在线段上， ∴； 综上所述：G点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 32．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标； (3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案； （3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 将A、B、C代入，得 ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 代入A、C得， 解得， ， 过点M作轴，交于点N， 设，则， ， ， 即， 解得或， 或； （3）解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于； ∴， 设，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为， 此时，， ∴，且， 此时四边形是正方形， ∴， 综上：或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数存在性问题四边形相关 (4种类型32道) 类型平行四边形相关存在性问题 类型2矩形相关存在性问题 二次函数存在性问题四边形相关 类型坚菱形相关存在性问题 类型4正方形相关存在性问题 目目 类型01 平行四边形相关存在性问题 1.如图，抛物线y=axC+bx+c与x轴交于A,B(-l,0)两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点 C(0,-3),且0A=0C. A 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图，直线：x=x,与抛物线交于点P,与直线AC交于点M,将直线向右平移两个单位得到直线Z: x=x+2,直线☑与抛物线交于点Q,与直线AC交于点N. ①当点Q在直线AC下方时，求△MWQ面积的最大值及此时点N的坐标； ②抛物线上是否存在点P,使得以P,Q,N,M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐 标；若不存在，请说明理由. 1/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，直线y=x-4与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2-x+c经过B,C两点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： ()E是直线BC下方抛物线上的一动点，连接BE,CE,当BEC的面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P,Q,B,C为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 3.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,顶点为 D,连接BC,BC与抛物线的对称轴交于点E, B (1)求点B、点C的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线BC的函数关系式； (3)点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF‖DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;用含m的代数 式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ 4.已知抛物线所解析式为：y=-x+2x. 2 (1)求抛物线W的顶点坐标. (2)将抛物线W向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线W2,求抛物线W,的解析式. 3)点Q是直线OP上方，且又是抛物线W图像上的一个动点，连接O0、PQ,是否存在一点Q,使△OPQ 面积最大，若存在，请求出此时点Q的坐标，并求出其最大面积；若不存在，请说明理由 (4)如图，抛物线W2的顶点为P,x轴上有一动点M,在成、W,这两条抛物线上是否存在点N,使O(原点)、 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 4④ 6 8 -2 WW 5.如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A1,0)、B(0,-3),点C是直线x=2上一点 VA B (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点C在抛物线上时，求点C的坐标： (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标： (4)若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 6.已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交于A、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3), B D (1)求二次函数的表达式及A点坐标： (2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积最大时点D的坐标： 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以M、N、B、O为顶点的四边 形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程） 7.如图，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,已知A(-1,0)、C(0,3),连接 BC. C N B 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M,交x轴于点N, 求四边形ABMC的最大面积： (3)在(2)的条件下，当四边形ABMC的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存 在点E,使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由 8.如图，抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,直线1与抛物 线交于点B,交y轴于点D(0,3). D B (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若抛物线的顶点为P,求△PBD的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线I于点N,是否存在点M,使以A,C, M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 目目 类型02 矩形相关存在性问题 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c(其中b、c为常数)的图象经过点 (3,1),其顶点A的横坐标为1.点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m,点Q的坐标 为2m-1,1),连接QP并延长交该抛物线的对称轴于点M,连接AQ,以AQ、OM为边作平行四边形 AOMN, VA 备用图 (1)求该抛物线对应的函数关系式： (2)当m>0,且QM⊥y轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值： (4)当四边形AQMN是矩形时，直接写出m的值. 10.如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),点P是抛物线上一点，其横坐标为m. (1)求此抛物线的解析式并直接写出顶点坐标： (2)当-3≤x≤3时，请直接写出y的取值范围； (3)将抛物线在点P和点A之间的部分（包含点P和点A)记为图象G,当图象G的最高点与最低点的纵坐 标之差大于4时，请直接写出m的取值范围： (4)点N(3-m,0)在x轴上，以PN为对角线构造矩形PQNH,且矩形的边与坐标轴平行，当矩形PQNH的 边与抛物线有3个交点时，请直接写出m的取值范围， 11.如图，抛物线y=x2+6x+5经过A、B两点，顶点为M,对称轴1与x轴交于点D,与直线AC交于点 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 0衣 M (1)将抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处记为A,此时点C的对应点为C,求点C的坐标，判断 四边形AA'CC'的形状，并说明理由， (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时.求点G的坐标. (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G,使得以A、C、G、K为顶点的 四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(-3,0),且0B=0C. VA B (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动 点，过点D作y轴的平行线交MN于点E, ①求DE的最大值； ②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时，四边形MDNF为矩形 13.如图所示，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A,B两点（点A在 点B的左侧)，经过点A的直线：y=+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且 CD=4AC. 6/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 珠 B 备用图 (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴： (2)求直线1的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）： 3)点E是直线1上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； 4 (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若 能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+ca≠0)与x轴交于点AB,与y轴交于点C,连接 BC,OA=1,对称轴为x=1,点D为此抛物线的顶点. D A B (1)求抛物线的解析式. (2)若连接CD,则∠BCD=一° (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值 (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q,当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点 Q的横坐标。 15.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点A、B的坐标分别是 (-1,0)、(3,0),与y轴交于点C,点C的坐标是(0,3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称. 7/16 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最大值： 3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为顶点的四边形 是以AM为边的矩形，求点P和Q的坐标. 16.如图，已知二次函数y=m2x2-2mx-3(m是常数，m>0)的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于 点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线1.点C关于1的对称点为D,连接AD.点E为该函数图象 上一点，AB平分∠DAE. (1)①线段AB的长为 ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在1上.探索：是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是 矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由. 目目 类型03 菱形相关存在性问题 17.如图，已知抛物线C:y=-x2+bx+c与y轴相交于点C(0,),对称轴为直线x=2.坐标原点为0点，抛 物线C的对称轴交x轴于A点. 8/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)抛物线的关系表达式： (2)将抛物线C向左平移2个单位长度得到抛物线C,C,与C相交于点E,点F为抛物线C对称轴上的一 点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出 点H的坐标；若不存在，请说明理由 18.如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,对称轴为直线1. B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P点的坐标： (3)点F是直线1上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B,C,F,G为顶点的菱形？若 存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 9,如图，在平面直角坐标系中，抛物线V=+,+2过点山3，耳交x轴于Am,0,B两点，交轴 点C. (1)求直线BC的表达式和a,m的值， (2)P是直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值及△BPC面积最大时点P的坐标. 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在(2)中△BPC面积最大的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移√5个单位长度，M为平移后的抛物 线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点A,P,M,N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合 条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程 20.如图，己知直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+4经过A,C两点， 3 且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1 D (备用图) (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的 坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A,C,P,Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P 点的坐标 21、如图。在平面直角坐标系中，抛物线y=+x+c与x销交于A-0小，B3,0)两点，与y轴交于 点C,连接BC. B (1)求抛物线的函数解析式； (2P为直线BC上方抛物线上一动点，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标： (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B,C,Q,R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐 标 22.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C, 10/16