专题03 二次函数相关压轴题（4种类型32道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

专题03 二次函数相关压轴题 （4种类型32道） 地 城 类型01 二次函数相关综合问题 1．直线与抛物线的部分图象如图所示，下列说法：①；②与是抛物线上的两个点，则；③方程的两根为；④当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，抛物线 与x轴交于两点，且给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④的值是一个定值；⑤b的取值范围是 ．其中正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．已知三个函数，下列说法正确的个数有（   ）地 城 类型02 二次函数相关代数操作题 ①时，的值为4或； ②对于任意的实数，若，则； ③若则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则的最大值为． A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知，，且满足，，其中为正整数，则下列说法： ①； ②若关于的方程恰有个不同的实数根，则； ③函数，当时，的取值范围是； ④若，是关于的方程的两根，则； 其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 11．已知：，，下列说法： ①当时，的值为或； ②若关于的方程恰有3个不同的实数根，则的值为3； ③无论取任何实数，关于的函数的最小值都不可能是8． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知是直线l上互不重合的三个点，，，，其中，，下列说法正确的个数是（   ） ①当时，点C在之间； ②当时，点A在之间； ③至少存在一个m的值，使点B在之间． A．0 B．1 C．2 D．3 13．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个实数根 ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根 ③若二次函数的图象开口向下且，则方程一定有两个不相等的实数根 ④若是方程的一个根，则一定有成立 ⑤若一元二次方程的根为，则二次函数的对称轴为直线 其中正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知点在二次函数的图象上，其中 ，令，，；为的个位数字（n为正整数），下列说法：①；②；③；④的最小值为，此时，；的个位数字为5．正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 15．已知点在二次函数的图象上，其中，令．为的个位数字（为正整数），下列说法：①；②的最小值为，此时；③的个位数字为8．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法： ①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6． 正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 17．已知二次函数的图象上有两点，，其中，则的最小值为 ．地 城 类型03 二次函数相关最值问题 18．已知抛物线的顶点不在轴下方，点、、在该抛物线上，则的最小值为 ； 19．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ． 20．已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 ． 21．如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 22．如图，为等边三角形，，点D在上，，连接，点E为的中点，连接，点P为上一动点，连接，则的最大值为 ． 23．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 24．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为 ． 25．如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为．地 城 类型04 二次函数与动点几何综合 (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 26．如图，在中，，，，点是线段上一点，且满足，动点，同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，当点运动到点时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点的速度保持不变．当，有一点运动到点A时，都停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围． 27．如图1，在中，，，．动点M从点A出发，沿A→B→C方向匀速运动，速度为；同时，点N从B点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．当点M和点N相遇即停止运动．若y表示的面积，设运动时间为． (1)请写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图像，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图像，请写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 28．如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 29．如图．在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为． (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线的图象与函数的图象有两个不同的交点，求的取值范围． 30．如图，矩形中，，，动点P从点B出发，沿着折线方向运动，到达D点时停止运动，设点P运动的路程为x（其中），连接、、．记的面积为，请回答下列问题： (1)直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图2所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时x的取值范围：____________．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 31．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 32．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． (1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数相关压轴题 （4种类型32道） 地 城 类型01 二次函数相关综合问题 1．直线与抛物线的部分图象如图所示，下列说法：①；②与是抛物线上的两个点，则；③方程的两根为；④当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：对称轴为直线，抛物线开口向下， ，， ∴ 抛物线过点， ， ， ， ，故①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线，与是抛物线上的两个点， 而，，， ∴，故②正确； 与关于对称轴对称， 当时，， ，故③正确； ， ， 当时，函数有最大值， 直线过点， ， 由①可知，， ， ， 当时，函数有最大值，故④正确． 正确的有①②③④共4个． 故选：D． 2．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 3．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 4．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称轴可得，进而判断结论①，结合一元二次方程跟的判别式和抛物线的开口方向，可得，进而判断结论②，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，结合函数值得出，进而判断结论④，根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可得出时，，进而判断结论⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵， ∴， 整理得， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， 故，， ∴， 故方程一定有两个不相等的实数根，②结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论正确； 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故④结论错误； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线的开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， 若， 则或，故⑤结论错误； 综上，结论正确的有①②③，有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 5．如图，抛物线 与x轴交于两点，且给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④的值是一个定值；⑤b的取值范围是 ．其中正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质以及函数与方程的关系是解题的关键． 利用抛物线的对称轴位置即可判断①；根据抛物线与根据抛物线与y轴交于点，与x轴交于点可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；把代入，得，再根据，得即，根据，则，，求得，可判断④；由得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知抛物线的对称轴为直线 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故①错误； 把代入得， 把代入，得， ∴ ∴，故②正确； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，y随x 的增大而减小 又∵， ∴当时，y 随x 的增大而减小，故③正确； 把代入，得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即的值是一个定值，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得，故⑤正确． ∴正确有②③④⑤共4个， 故选：B． 6．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线过点，对称轴为直线， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， ∴， ∴，故结论②错误； ∵是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴当时，， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与轴交于，， ∴， 若方程的两个根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 7．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴相交于下半轴，对称轴为直线，可得，，，即可判断；由抛物线的对称轴为直线，可得，当时，，得，即可判断；由，是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知：，当时，，即可判断；由，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即，可得，所以，即可判断；抛物线与轴的另外一个交点坐标为，得，若方程，即方程的两根为，，则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，因为，所以，即可判断． 【详解】解：由图象可知：，，， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，， 故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故④正确； ∵对称轴为，抛物线过点 ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与其系数之间的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断；②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断；③运用三角形面积公式计算即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③   ，即③错误； ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 9．已知三个函数，下列说法正确的个数有（   ）地 城 类型02 二次函数相关代数操作题 ①时，的值为4或； ②对于任意的实数，若，则； ③若则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则的最大值为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，利用二次函数的性质解决最值问题，解题的关键是掌握各运算法则． 分别验证四个说法的正确性： ①解分式方程，检验根是否有效； ②利用完全平方公式变形，代入已知条件计算； ③解方程并代入表达式化简，判断结果； ④构造二次函数，利用顶点式求最大值． 【详解】①：由得，化简为，解得或，均满足，故①正确，符合题意； ②：，由，，得，故，故②正确，符合题意； ③：由得，解得，，则，，，，代入化简得，，与题目结果不符，故③错误，不符合题意； ④：令，当和时，，即，解得，其最大值为顶点处，故④正确，符合题意； 综上，正确的有①、②、④，共3个， 故选：B． 10．已知，，且满足，，其中为正整数，则下列说法： ①； ②若关于的方程恰有个不同的实数根，则； ③函数，当时，的取值范围是； ④若，是关于的方程的两根，则； 其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴关于的方程即为， ∴或， 即或， ∵关于的方程恰有个不同的实数根， ∴或， 解得或， ∵，方程有个不同的实数根， ∴， ∴，故②正确； ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， ∵， ∴当，取最小值， 当时，， ∴的取值范围是，故③错误； ∵，，，， ∴， ∴方程即为， 化简得，， ∵，是关于的方程的两根， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的说法有个， 故选：． 11．已知：，，下列说法： ①当时，的值为或； ②若关于的方程恰有3个不同的实数根，则的值为3； ③无论取任何实数，关于的函数的最小值都不可能是8． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．解方程或，即可判断①，画出函数图象，可得恰有3个不同的实数根，则必过原点或，得出或，即可判断②，求得最小值，解方程即可判断③． 【详解】解：①， ∴或， ∴或 解得：或或；故①不正确， ②如图所示，， 若恰有3个不同的实数根，则必过原点，或 ∴或 解得：或，故②不正确 ③ 最小值为 当 解得：或，故③不正确； 故选：A． 12．已知是直线l上互不重合的三个点，，，，其中，，下列说法正确的个数是（   ） ①当时，点C在之间； ②当时，点A在之间； ③至少存在一个m的值，使点B在之间． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查根据线段的和差、解一元二次方程、二次函数的性质，利用一元二次方程根的判别式求解是解答的关键．根据一元二次方程根的情况逐项分析即可． 【详解】解：①当时，，， 当点C在之间时，恒成立，方程有实数解． 整理方程得，解得，， ∴当时，点C在之间，正确，符合题意； ②当点A在之间时，恒成立，即方程有实数解， 整理方程得， ， 当时，由解得（负值已舍去）， 当时，，方程无解，即点A不在之间； 当时，，方程有实数解，点A在之间， 综上，当时，点A不一定在之间， 故②说法错误，不符合题意； ③当点B在之间时， 恒成立，即方程有实数解， 整理方程得， ， 当时，由解得（负值已舍去）， 当时，，方程无解，即不存在一个m值，使得点B在之间； 当时，，方程有解，而方程的两个之和为，即原方程不存在两个正根，不满足，即不存在一个m值，使得点B在之间， 所以不存在一个m的值，使点B在之间，故③说法错误，不符合题意， 综上，说法正确的只有①， 故选：B． 13．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个实数根 ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根 ③若二次函数的图象开口向下且，则方程一定有两个不相等的实数根 ④若是方程的一个根，则一定有成立 ⑤若一元二次方程的根为，则二次函数的对称轴为直线 其中正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系；利用得到，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；先由方程有两个不相等的实数解得到，再计算方程的根的判别式的值得到，则根据根的判别式的意义可对②进行判断；根据二次函数的性质得到，则，所以利用，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；把代入方程得到，只有时，，从而可对④进行判断；利用一元二次方程的根为得到抛物线只有一个交点，，即抛物线的顶点在轴上，然后根据二次函数的性质得到二次函数的对称轴为直线，从而可对④进行判断． 【详解】解：当， ， ， 方程一定有两个实数根，所以①正确； 若方程有两个不相等的实根， ， 即， 对于方程， ， 方程必有两个不相等的实数根，所以②正确； 若二次函数的图象开口向下， ， ， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，所以③正确； 若是方程的一个根， ， 当时，，所以④错误； 若一元二次方程的根为， 抛物线只有一个交点，即抛物线的顶点在轴上， 二次函数的对称轴为直线，所以⑤正确． 故选：D． 14．已知点在二次函数的图象上，其中 ，令，，；为的个位数字（n为正整数），下列说法：①；②；③；④的最小值为，此时，；的个位数字为5．正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的最值问题，数字类的规律探索，根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断，将变形为，可计算出结果进而判断，由得，根据二次函数的性质及为正整数可判断其最值，进而判断，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，找其规律可判断． 【详解】 解：，则当时，， ， ∴， 当时，，故正确； ， ，故正确； ∵， ∴ ，故正确； ， 取得最小值，此时或，故错误； 为的个位数字，， ∴， 由此可知，，，，，，，，，，分别为： ，，，，，，，，，， ∴的规律为以，，，，，五次一循环，且这五个数相加为， ∴的个位，且也是五次一循环， ， ，， 的个位为，故错误； 故选：B． 15．已知点在二次函数的图象上，其中，令．为的个位数字（为正整数），下列说法：①；②的最小值为，此时；③的个位数字为8．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查数字变化的规律，二次函数上的点的坐标规律，能根据题意表示出和为正整数）是解题的关键． 依次求出，，，，，，，，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将，2，3，，分别代入二次函数解析式得， ，，，，， 所以，． 当时， ． 故①错误． ， 因为为正整数， 则当或12时， 的最小值为：． 故②错误． 因为为的个位数字为正整数）， 所以的个位数字为1， 的个位数字为6， 的个位数字为2， 的个位数字为0， 的个位数字为0， 的个位数字为2， 的个位数字为6， 的个位数字为2， 的个位数字为0， 的个位数字为0， 的个位数字为2， 的个位数字为6， ， 所以的个位数字（从开始）按6，2，0，0，2循环出现， 又因为余2， 所以， 即的个位数字为9． 故③错误． 故选：A． 16．已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法： ①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6． 正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断①②，将变形为，可计算出解果进而判断③，由得，根据二次函数的性质及n为正整数可判断其最值，进而判断④，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，……找其规律可判断⑤． 【详解】解：，则当时，， ∴，即： 当时，，故①错误； ，故②正确； ∵ ∴ ，故③正确； ， 当时，，当时，， 即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 又∵为整数， ∴取得最小值，此时或，故④错误； ∵为的个位数字，且， 由此可知，，，，，，，，，，……分别为： 2，6，2，0，0，2，6，2，0，0，…… 即的规律为以2，6，2，0，0，五次一循环，且这五个数相加为10， 则的个位0，且也是五次一循环， ∵， ∴，， ∴的个位为，故⑤错误； 故选：A 17．已知二次函数的图象上有两点，，其中，则的最小值为 ．地 城 类型03 二次函数相关最值问题 【答案】/ 【详解】解：对于点有： ①， 对于点有： ②， 得：③ 令，， 则， ， 因此， 对直接去括号得到： 则有：                           因为，两边同时除以可得： ，即． 将代入， 得到：， 因为， 所以有 所以， 所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 18．已知抛物线的顶点不在轴下方，点、、在该抛物线上，则的最小值为 ； 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可得，，，则，由函数开口向上，且顶点不在轴下方可得当时，，据此推出，则可得到答案． 【详解】解：∵点、、在该抛物线上， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴该抛物线开口向上， 又∵该抛物线的顶点不在轴下方， ∴对任意实数，都有， ∴当取时，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 19．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，勾股定理，二次函数的性质，将线段和进行转化是解题的关键；根据抛物线的解析式得出坐标，进而可得是等腰直角三角形，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形，得出的坐标，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵对于抛物线，令， 则，即， 解得或，所以．则， 令，则，所以．则， ∵ ∴是等腰直角三角形， 如图，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位， ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值 ∴ 即的最小值为． 20．已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线标准方程的焦点、准线，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 将抛物线化成顶点式，结合抛物线标准方程的焦点及平移规律得到的焦点坐标，正好是题目中的F点，结合图象，当周长最小时，即最小，根据抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，可知当、、处于同一条直线上时，最小，从而得到P点横坐标等于A的横坐标，进而求得P点坐标． 【详解】解：，可看成向右平移1个单位，向上平移3个单位得到， 由抛物线标准方程可得的焦点，准线：， 故抛物线的焦点为即为F点，准线l：， 如图，A、F为定点， 当周长最小时，即最小， F为抛物线焦点，则等于P到准线l的距离， 当、、处于同一条直线上时，最小，此时P的横坐标与A的横坐标相同，为3，代入抛物线得纵坐标，故点P坐标为， 故答案为：． 21．如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分别表示出，进而根据二次函数的性质，求得取得最小值，最小值为，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为 设， ∵已知为等边三角形，边长为， ∴， ∴ ∵，则 ∴， ∴ ∴ ∴ 当时，取得最小值，最小值为 ∴的最小值为 故答案为：． 22．如图，为等边三角形，，点D在上，，连接，点E为的中点，连接，点P为上一动点，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角坐标系、等边三角形的性质、两点间距离公式、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 取的中点为O，建立直角坐标系，则，,进而得到，即，易得；由两点间距离公式可得，则要使最大，则要使最小；再求得直线直线的解析式为，设，则，即；由，则当最小时，最小；然后运用二次函数的性质求最值可确定a的值，进而确定的最小值，最后代入化简即可 【详解】解：如图：取的中点为O，建立直角坐标系，则，, ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴,即, ∴， ∴要使最大，则要使最小， 设直线的解析式为, 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由点P为上，可设， ∴, ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∵的开口方向，对称轴为：， ∴当时，最小时，最小， ∴的最小值为, ∴ 故答案为： 23．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， 设， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 24．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线与坐标轴的交点以及对称轴，在轴上取点，连接，可得四边形为平行四边形，则，那么，当点共线时，取得最小值，即为，此时点为与抛物线对称轴的交点，由待定系数法求出直线表达式即可求解点． 【详解】解：对称轴为直线， 当， 当，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得， 解得：， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 25．如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为．地 城 类型04 二次函数与动点几何综合 (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3)． 【分析】此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ （2）函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 26．如图，在中，，，，点是线段上一点，且满足，动点，同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，当点运动到点时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点的速度保持不变．当，有一点运动到点A时，都停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为 【分析】（1）根据勾股定理得到，求得，，当时，过A作于H，当时，如图，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数图象并根据函数图象得到函数性质即可； （3）由，得到直线过点，如图，当函数过点，，时为临界点，将点代入即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵， ∴，， 当时， 过A作于H， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 综上所述，； （2）解：如图所示； 性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：∵， ∴直线过点，如图， 当函数过点，，时为临界点， 将点代入得：， 解得：； ∴函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为． 【点睛】本题一次函数综合题，考查了三角形的面积公式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 27．如图1，在中，，，．动点M从点A出发，沿A→B→C方向匀速运动，速度为；同时，点N从B点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．当点M和点N相遇即停止运动．若y表示的面积，设运动时间为． (1)请写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图像，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图像，请写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了函数图像与几何问题，涉及到一次函数的解析式，二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质等知识．数形结合是解题的关键． （1）①当在线段时，如图过作交于点，②当在线段上时，过作交于点，这两种情况进行分析； （2）根据函数解析式画函数图象即可，然后根据y随t的变化情况作答即可； （3）作出图像并结合图象进行作答即可． 【详解】（1）解：①当在线段时，如图过作交于点， ，，， , 由题意可得，，， , ， 的面积； ②当在线段上时，过作交于点， 由题意可得，，， ， , ， 的面积， y关于t的函数表达式为：； （2）解:画函数图像如图： 性质：当时， y随t的增大而增大；当时， y随t的增大而减小； （3）解：如图： 时x的取值范围为：． 28．如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)当时随的增大而增大 (3)当时，自变量的取值范围 【分析】（1）当时，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时， ∵， ； 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，与的函数解析式为； 函数图象如图所示； （2）解：当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 29．如图．在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为． (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线的图象与函数的图象有两个不同的交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，当时随的增大而增大；当时随的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了求函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）作于点，根据题意求出，，求出，得到，分当时，当时两种情况讨论，即可得到答案； （2）根据解析式画函数图象，得到当时随的增大而增大；当时随的增大而减小； （3）当直线的图象过点时，，得到；当直线的图象过点时，，根据题意得到的取值范围为． 【详解】（1）解：如图，作于点， ， ， ，， ， ， （秒），（秒）， ， 当时，， ； 当时，， ， ， 综上，与之间的函数关系式为； （2）解：画函数图象如下， 当时随的增大而增大；当时随的增大而减小； （3）【小问3详解】 解：当直线的图象过点时，， ， 当直线的图象过点时， ， 直线的图象与函数的图象有两个不同的交点， 的取值范围为． 30．如图，矩形中，，，动点P从点B出发，沿着折线方向运动，到达D点时停止运动，设点P运动的路程为x（其中），连接、、．记的面积为，请回答下列问题： (1)直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图2所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时x的取值范围：____________．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析，性质：当时，随增大而增大，当时，随增大而减少 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握作图技巧是关键． （1）分别列出点P在和上运动时，关于x的函数关系式即可； （2）画出（1）中解析式的图象，并从增减性上答出一条性质即可； （3）根据图象，当时x的取值范围为或． 【详解】（1）解：根据题意，当点P在上运动时，解析式为，当点P在上运动时，解析式为：， ∴， （2）解：画的图象， 列表： x ⋯ 1 4 ⋯ y ⋯ 1 4 ⋯ 描点，连线得： 画的图象， 列表： x ⋯ 4 5 ⋯ y ⋯ 4 2 ⋯ 描点，连线得： 性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （3）解：根据图象所示，两个函数的交点的横坐标估值为：． 所以，当时x的取值范围为或． 故答案为：或． 31．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】(1) (2)作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理， （1）首先根据勾股定理求出，然后求出，当两者相遇时，，然后分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质； （3）将分别代入和求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1所示，过点C作于点D， ∵ ∴ ∴当两者相遇时， ∴； 分两种情况： ①当时，点E在上，点F在上时，如图2， 由题意得，， ∴； ②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3， 由题意得，， ∴ ∴ 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 如图，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）． （3）当时，代入函数，得， 解得（负值舍去）； 当时，代入函数，得， 解得． 综上所述，当的面积为时，或． 32．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． (1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由题意知，当时，在上运动，如图，则， ∵， ∴， ∴； 当时，在上运动，如图， 则， ∴， ∴， 综上所述，y关于t的函数表达式为； （2）解：由（1）知，该函数图象经过点，，，，，，， 则函数图象如图所示： 由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：根据图象，当时，直线与该函数图象有两个不同的交点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $