专题04 二次函数存在性问题三角形相关（4种类型32道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

专题04 二次函数存在性问题三角形相关 （4种类型32道） 地 城 类型01 等腰三角形相关存在性问题 1．小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接． (1)求抛物线的对称轴及b，c的值； (2)当四边形的面积等于11时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 8．综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．地 城 类型02 直角三角形相关存在性问题 (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与轴另一交点坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上直线上方一点，过点P作轴，交于点Q，过点A作直线轴，过点P作于点K，求的最大值及点的坐标． (3)在（2）取得最大值情况下得到点P坐标，把原抛物线向左平移个单位后的新抛物线上的对称轴上有一点M，是否存在一点M使得以P、O、M构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标（并写出求点M的过程的一种情况）；若不存在，说明理由． 11．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 12．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 13．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 14．综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、．地 城 类型03 等边三角形相关存在性问题 (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 18．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 19．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 20．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 22．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 24．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ=AP时，求t的值； (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．    25．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是对称轴上的一个动点．地 城 类型04 等腰直角三角形相关存在性问题 (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 26．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 27．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且． (1)求点B、D的坐标； (2)在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得的面积是面积的倍． ①求直线的函数表达式； ②设直线交y轴于点M，点P在线段上运动，点Q在射线上运动，是否存在这样的点P、Q，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)当时，求y的取值范围； (2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 30．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数存在性问题三角形相关 （4种类型32道） 地 城 类型01 等腰三角形相关存在性问题 1．小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可； （2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值； （3）根据题意，设，分三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或． 2．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式，进而得到，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，再用m表示出，然后结合二次函数的性质求解即可； （3）设，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【分析】（1）把点和代入抛物线解析式中，解方程组即可得解； （2）根据抛物线的解析式可知点的坐标，从而利用待定系数法求出直线的解析式，进而可设，则，得到，根据二次函数图象的增减性求出的最大值，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到结论； （3）过点作轴于点，则，可推出，即可得到直线和直线关于直线对称，从而可求得直线的解析式，进而得到点的坐标，设，分别表示出，，，分：当，当，当三种情况讨论，求解出符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：把点和代入抛物线， 得：，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：四边形是平行四边形．理由如下： 抛物线， 当时，， ，， 设直线的解析式为， 把、代入， 得：，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， 有最大值，当时，的最大值为，此时，， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 理由如下：是的中点， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，则， ， ， ， 直线和直线关于直线对称， 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ， 设， ∴， ， ， 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， ； 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， 或； 当，即时，为等腰三角形， 则：，化简得：， ， 方程无解， 即在轴上不存在点，使， 综上所述，在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、 二次函数的图象与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 ． 4．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接． (1)求抛物线的对称轴及b，c的值； (2)当四边形的面积等于11时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)对称轴是直线，b的值是，c的值是 (2) (3)存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或 【分析】（1）将A，B点的坐标代入中即可求出二次函数表达式，即可得抛物线的对称轴及b，c的值； （2）设，根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由题意得出，即可得点P的横坐标，代入即可求解； （3）设，根据勾股定理可表示出，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴对称轴是直线，b的值是，c的值是； （2）解：存在．设 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴， 整理得：，解得：， ∵点P在对称轴的右侧，x轴的下方， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在， 设， 则， ， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况， ①当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②当时， 解得：， ∴点M的坐标为或； ③当时， 解得：， ∴点M的坐标为； ∴存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质和判定，面积的计算等知识点，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题． 5．如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能， ； (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2），而直线和x轴的夹角为，则，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：能，理由： 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为， 设点，则点， 则， ∵直线和轴的夹角为，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，理由： 设点，而点， 则，，， 当时， 则， 解得：； 当或时， 同理可得或， 解得：（舍去）或6或或， 即点的坐标为：或或或． 6．如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点，则点，利用水平宽乘以铅垂高除以2的方法表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）分、两种情况，利用等腰三角形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意得抛物线的表达式为， ∴，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 故直线的表达式为 设点，则点， ， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为，此时点； （3）存在，理由： 由（2）知，若设点， 则点，，且知点， ①当时，则点C在的中垂线上， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点； ②当时，由，易得， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，在第（3）问注意分类求解即可． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 8．综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，，， 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由一次函数解析式确定，再由待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）根据题意得出∴，设点P的横坐标为，得出，，，作轴于点，交于点，然后表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出对称轴为， 设，根据等腰三角形的性质及勾股定理分情况求解即可． 【详解】（1）解：直线，当时，， 当时，， 解得， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：对于， 又∵， ∴， ∴， 设点P的横坐标为， ，，， 如图2，作轴于点，交于点，   ， ∴， 即， ∴当时，取得最大值为， ， ∴四边形面积的最大值为：； （3）解：存在， ∵, ∴对称轴为， ∵点G在对称轴上， ∴设， ∵， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为； 综上可得，点G的坐标为，，，，． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．地 城 类型02 直角三角形相关存在性问题 (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 10．如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与轴另一交点坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上直线上方一点，过点P作轴，交于点Q，过点A作直线轴，过点P作于点K，求的最大值及点的坐标． (3)在（2）取得最大值情况下得到点P坐标，把原抛物线向左平移个单位后的新抛物线上的对称轴上有一点M，是否存在一点M使得以P、O、M构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标（并写出求点M的过程的一种情况）；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，直角三角形的存在性问题，最值问题等知识点． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出，再由待定系数法可求直线，设，则，则，再由二次函数的性质求解最值即可； （3）先求出向左平移个单位后的新抛物线为，设，则表示出，，，然后分类讨论，利用勾股定理以及两点间距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：对于，当， 则， 解得：或， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 设， ∴由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∵，， ∴当时，取得最大值为， 此时； （3）解：存在，理由如下： 将配方可得， ∴向左平移个单位后的新抛物线为：， ∴新抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时，则， ∴ 解得：， ∴； 当时，则， ∴ 整理得，， ， ∴此种情况不存在； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 综上：存在，点M的坐标为或． 11．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 12．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)点N的坐标为或或或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出：，：，令，即可求出M点坐标即可； （3）①若，则，②若，则，③若，则，分别求出N点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 如图1，当时， ， 由（1）可得抛物线， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴：， ∵，∴：， ∴， ∴（舍）， ， ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ①如图2，若，则，即， ∴， ∴解得：， ∴点N的坐标为或； ②若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； ③若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 综上，点N的坐标为或或或． 13．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，的面积最大，最大面积为 (3)或或或． 【分析】（1）由，，得．将，代入即可求得抛物线的表达式，进而可求得点的坐标，即可用待定系数法求直线的表达式； （2）用表示点的坐标为，可得，根据即可得出关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解； （3）设点的坐标为．可得，，．分三种情况： ①当为斜边时，，②当为斜边时，，③当为斜边时，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 将，代入得解得 二次函数的表达式为． 在二次函数的图象上， ，D． 设直线的表达式为， 把，代入得 解得， 直线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴的平行线交于点． 点的横坐标为， 点的坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． （3）解：存在，点的坐标为或或或． ， 对称轴为直线，点的坐标为，设点的坐标为． ，，． 分三种情况： ①当为斜边时，，即． 解得，， 点的坐标为或． ②当为斜边时，，，解得， 点的坐标为． ③当为斜边时，， ，解得， 点的坐标为． 综上所述，存在点使得为直角三角形，且点的坐标为或或或． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形存在性质问题等，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 15．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 16．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为 (3)， (4)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标； （4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为； （3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N， 此时的值最小，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 则直线的解析式为， 令， 解得：， 此时点； （4）解：设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， 解得：； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：点的坐标为或或或． 17．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、．地 城 类型03 等边三角形相关存在性问题 (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 【答案】(1)顶点D的坐标 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）由折叠可知，，在中，，在中，，解得，即可得； （3）由（2）可知是等边三角形，证明，可得，在中，，，可求，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为G． 【详解】（1）解：将点，代入, ∴， 解得， ∴； ∵， ∴顶点D的坐标； （2）解：由折叠结合抛物线的对称性可知，， 当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设直线与对称轴的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 18．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 19．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为，得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式，根据重合后的抛物线的顶点为，求出，，即可得平移前的抛物线的解析式为，将点代入求出即可解答． （2）①根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为，将代入解析式即可求解． ②根据是等边三角形，得出，则，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 20．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积取得最大值为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出正比例函数解析式，再联立，，求出A，过点P作轴，交于C，设点P的坐标为，则，根据，利用二次函数的最值求解即可． （3）先证明，得，然后设，则，设，则，，再根据等边三角形的定义得，所以，化简得：，求解即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：把，顶点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 联立，得， 解得：，， ∴， 过点P作轴，交于C，如图， 设点P的坐标为，则， ∴ ∵ ∴当时，值最大，最大值为． （3）解：如图， 对于抛物线， 令，则， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴，即 在与中， ∴ ∴， ∴设，则， 设， ∴，， 当为等边三角形时， ∴， ∴， 化简得： 解得：，， 当时，则， ∴， 当时，则 ∴　 ∴存在点M，使得为等边三角形，点M的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线与一次函数交点，抛物线的图象性质，抛物线的最值，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．此题属抛物线综合题目，熟练掌握相关知识及灵活运用是解题的关键． 21．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)或 【分析】(1)将点代入即可； (2)找到A点关于对称轴对称的对称点B，连交对称轴于E点，进而求出此时三角形的周长即可得解； (3)利用是等边三角形和A，B两点的坐标，确定的外心，利用圆周角定理确定直线与x轴的夹角，进而即可得解． 【详解】（1）将点代入得 解得， ∴抛物线表达式为 （2）如图，连交对称轴与点E，连， 由(1)知， ∴ ∴对称轴为：直线 ∴令得 ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得 ∴直线的解析式为 ∴当时 ∴ ∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质， ∴周长最小值 （3）∵，是等边三角形 ∴ ∵与关于对称轴对称 ∴ ∴ ∴Q点是的外心 ∴根据圆周角定理得 设过A,P的直线解析式为 ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵代入解析得 ∴当P点在x轴的上方时，解析式为 ∴当P点在x轴的下方时，解析式为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，勾股定理，圆的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 22．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)见解析 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点A代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设P ， ∵F， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴； （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(，)   【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可． （3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）． ∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3）， ∴D（2，3）， ∵B（3，0）， ∴T（，），BD＝， ∵∠BPD＝90°，DT＝TB， ∴PT＝BD＝， ∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2， 解得m＝1或2， ∴P（1，1），或（1，2）． （3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E． ∵△BMN是等边三角形， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∵∠NBT＝90°， ∴∠MBT＝30°，BT＝BN， ∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°， ∴∠MBT＝∠BTM＝30°， ∴MB＝MT＝MN， ∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°， ∴∠NBE＝∠BTJ， ∵∠BEN＝∠TJB＝90°， ∴△BEN∽△TJB， ∴＝， ∴BJ＝t，TJ＝2， ∴T（3＋t，2）， ∵NM＝MT， ∴M（，）， ∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上， ∴＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0， 解得t＝﹣2（舍弃）或， ∴M（，）． 如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T． 同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，）， 则有＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0， 解得n＝或（舍去）， ∴M（， ）， 综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键． 24．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ=AP时，求t的值； (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2 ；(2) t=或6时，BQ=AP；(3) 当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)． 【分析】（1）利用代入系数法，将3点坐标代入可求得； （2）存在2种情况，点Q在点B的下方和上方，利用BQ=AP易求得t的值； （3）先证△AOQ≌△BOP，得到△OPQ为等腰直角三角形，得M点必在PQ的垂直平分线上，即M在y=x上，联立点M在抛物线上的方程，解得M有2种情况，最后利用△MPQ为等边三角形的几何性质分析求解即可． 【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点， ∴， 解得， ∴y=x2x+2． (2)∵AQ⊥PB，BO⊥AP， ∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO， ∵AO=BO=2， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OQ=OP=t． ①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．    ∵BQ=AP， ∴2﹣t= (2+t)， ∴t=． ②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．    ∵BQ=AP， ∴t﹣2= (2+t)， ∴t=6． 综上所述，t=或6时，BQ=AP． (3)当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)． 分析如下： ∵AQ⊥BP， ∴∠QAO+∠BPO=90°， ∵∠QAO+∠AQO=90°， ∴∠AQO=∠BPO． 在△AOQ和△BOP中， ， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OP=OQ， ∴△OPQ为等腰直角三角形， ∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上， ∵直线y=x垂直平分PQ， ∴M在y=x上，设M(x，y)， ∴， 解得或， ∴M点可能为(1，1)或(﹣3，﹣3)． ①如图3，当M的坐标为(1，1)时，作MD⊥x轴于D，    则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， ∴t2+2t﹣2=0， ∴t=﹣1+，t=﹣1﹣ (负值舍去)． ②如图4，当M的坐标为(﹣3，﹣3)时，作ME⊥x轴于E，    则有PE=3+t，ME=3， ∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， ∴t2﹣6t﹣18=0， ∴t=3+3，t=3﹣3 (负值舍去)． 综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M(1，1)，或当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)，使得△MPQ为等边三角形． 25．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是对称轴上的一个动点．地 城 类型04 等腰直角三角形相关存在性问题 (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为：或或或 【分析】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及解一元二次方程，分类讨论是解题关键． （1）把、两点坐标代入，解方程组求出、的值即可求得答案； （2）根据解析式得出对称轴为直线，设，对称轴交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，则，进而可得，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）设，，分四种情况：①点在对称轴右侧且在轴上方；②点在对称轴右侧且在轴下方；③点在对称轴左侧且在轴下方；④点在对称轴左侧且在轴上方；利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质，构建方程进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 如图，设，对称轴交于点，设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：设，， ①当点在对称轴右侧且在轴上方时，过点作对称轴的垂线，垂足为，过点作于点， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，(舍去)， ∴, ∴． ②当点在对称轴右侧且在轴下方时，过点作轴于，过作于， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ③当点在对称轴左侧且在轴下方时， 同理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ④当点在对称轴左侧且在轴上方时， 同理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 综上所述：存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，点坐标为或或或． 26．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1)；顶点Q坐标为 (2)或1 (3)存在；或 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式即可； （2）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出m的值； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点Q坐标为：． （2）解：联立， 解得：，， ∴点的坐标为， 如图1，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点， ∴， 解得：或1． （3）解：存在； 设点，点，，而点， ①当时，如图2，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得：或， 当时，，解得，（舍去） ∴点； ②当时，如图3所示， 此时，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即垂直抛物线的对称轴，而对称轴与x轴垂直，故轴，则， 同理可得，（舍去）， 故点坐标为． ③当时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时，如图所示： 点P在AD下方，与题意不符，故舍去； （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时，同理可得， 解得：（舍去），， 点； 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、二次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握这些性质、判定，二次函数的图像和性质是解决本题的关键． 27．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且． (1)求点B、D的坐标； (2)在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得的面积是面积的倍． ①求直线的函数表达式； ②设直线交y轴于点M，点P在线段上运动，点Q在射线上运动，是否存在这样的点P、Q，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②存在， 【分析】（1）由题意，再由，可得，把B代入二次函数解析式得到关于a的一元二次方程，解方程得到a值，即可算出抛物线的解析式，由此即可解决问题． （2）①如图1中，设，作，，连接，．想办法构建方程，求出点E的坐标即可解决问题． ②存在．如图2中，设．作于H，于E．由，可知， ，推出，把点Q坐标代入直线的解析式为，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意， ∴， ∵， ∴， ∴得， 解得或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为， ∴，． （2） 解：①如图1中，设，作，，连接，． 由（1）可知，，， ∴ 由题知， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∴ 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． ②存在．如图2中，设．作于H，于E． ∵， ， ∴直线的解析式为， ∵是等腰直角三角形， ∴，，则， ∴， ， 易知， 把点Q坐标代入直线的解析式为，得到， 解得． 此时点P坐标． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用此方法构建方程解决问题，属于中考压轴题． 28．如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形 (3)存在，E的坐标为或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形及等腰直角三角形的性质及判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式；直线的解析式； （2）由二次函数表达式求出顶点，即可得，故是直角三角形； （3）设，可得，分三种情况：①若为斜边，则，此时，不符合题意；②若为斜边，，此时，为等腰直角三角形，；③若为斜边，可得或，即知． 【详解】（1）解：由抛物线经过点设解析式为， 把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴顶点， ∵， ∴，，， ∴， ∴，即是直角三角形； （3）存在一点E，使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， ∵， ∴， ①若为斜边，则， 解得， 此时，不符合题意； ②若为斜边，， 解得， 此时， ∴为等腰直角三角形， 即满足条件，； ③若为斜边，则， 解得或， 当时，，此时为等腰直角三角形， ∴满足条件，， 当时，不符合题意； 综上所述，E的坐标为或． 29．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)当时，求y的取值范围； (2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围； （2）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、B两点，且对称轴为， ． ∵抛物线与x轴交于两点， ． ．． ． ∴当时，． ∵当时，， 当时，． 故的取值范围为； （2）证明：分别过、作直线的垂线，垂直为、． 则． ． 又为等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ，， ，． ． ∵，， ∴． ． ． 为定值． 30．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键． （1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论． （2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论； ②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，点， 抛物线的表达式为； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ， 直线的表达式为， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设， ①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则， 当时，即，的值取最大，最大值为 ②存在， 由题意可知， 若是等腰直角三角形，则， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设，， ， 轴， ， ， ， 解得 舍去或或或 舍去， 当是等腰直角三角形时，点的坐标为或． 31．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为； (2)的面积的最大值为8，； (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的面积综合，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、分别代入，进行计算，得抛物线的解析式为，再结合直线，列方程计算，即可作答． （2）先表示，，得出，故，当时，的面积的最大值为8，此时，即可作答． （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为与直线交于B、D两点， ∴， 解得 ∴把代入，得， ∴点D的坐标为， （2）解：如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， ∵轴于H， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知， ∴点H的坐标为， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或. 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 (3)或或 (4)存在，或 【详解】（1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $