专题02 一元二次方程含参问题（7种类型35道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

专题02 一元二次方程含参问题 （7种类型35道） 地 城 类型01 不解方程确定方程的根 1．关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，则方程的根是（    ） A．0 B．1， C．2， D．无法确定 【答案】C 【分析】根据关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，即可确定方程的根． 【详解】解：关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和， 方程的根为，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的特征是解题的关键． 2．若方程中，，，满足和，则方程的根是（　　） A．， B．， C．， D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，当时，，当时，，则方程的根是，． 【详解】解：根据题意，当时，，当时， ∴方程的根是，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意是解题的关键． 3．若方程中，满足和，则方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 4．下列关于的方程中，、、满足和，则方程的根分别为（    ）． A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【详解】∵，， ∴，， 故选． 5．关于的方程，其中a，b，c满足且，则该方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据已知条件可知当和当时，均成立，再由一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值即可得到答案． 【详解】解：当时，，当时，， ∵a，b，c满足且， ∴当和当时，均成立， ∴该方程的根是，， 故选：C． 6．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（    ）地 城 类型02 由一元二次方程的定义求参数 A． B． C．3 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程0是一元二次方程， 所以 ， 解得． 故选：B． 7．关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可． 【详解】解：由题意可知：，且， 所以且．所以． 故选：B． 8．关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数是解题关键．由一元二次方程的定义列方程求出即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：且， ， 故选：C． 9．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是准确掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，直接求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 题目中方程的二次项系数为，因此需满足，解得， 故选：B． 10．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 11．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ）地 城 类型03 由根的判别式求参数范围 A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，且，然后进行求解即可． 【详解】解：由关于x的一元二次方程有实数根，可知：，且， 解得：且； 故选：D． 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据关于x的一元二次方程有实数根，得，且，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得， ∴a的取值范围是且， 故选：C． 13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 14．若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，方程为一元二次方程，根的情况要通过判别式来判定． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ∴，解得， 故选：B． 15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 故选：A． 16．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ）地 城 类型04 根与系数的关系 A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围，再利用根与系数的关系表示出与，已知等式变形后代入计算即可求出的值． 此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解本题的关键． 【详解】解：、是关于的方程的两个不相等的实数根， ，，， 解得：， 代入得：， 即， 分解因式得：， 解得：不符合题意或， 则的值为． 故选：C． 17．设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 18．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（      ） A．0 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴. 故选：C 19．已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程(a≠0)的两根，则，．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系内容是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，将代数式化简，再代入，即可得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根，， ∴，， ∴． 故选：B． 20．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，利用根与系数的关系，求出，再代入计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选A． 21．若关于x的一元二次方程有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ．地 城 类型05 一元二次方程与分式方程综合 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解分式方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及分式方程的解法是解题的关键． 由“关于x的一元二次方程有解”可得，解得，求解可得，由可得，由“关于y的分式方程有非负整数解”且及可得或或或，于是即可得出满足条件的所有整数a的和． 【详解】解：关于x的一元二次方程有解， ， 解得：； ， 解得：， ， ， 关于y的分式方程有非负整数解，且，， 为非负整数，且，， ，，，， 满足条件的所有整数a的和是：， 故答案为：． 22．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合整数解可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数解， ∴，且， 即且， 解关于y的分式方程，可得； ∴或或， ∵且，，y为整数，即， ∴或或， ∴足条件的所有整数m的和为：． 故答案为：． 23．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：解方程得， ∵使得关于的分式方程有整数解， ∴或或或或1或2或5或10， ∴或9或6或5或3或2或或， 又∵， ∴， 解得， ∴或9或6或5或3或2或， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴，且， ∴ 或， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：． 24．若整数a既使关于x的分式方程的解为正数，又使关于x的一元二次方程有实数解，则符合条件的所有a的和是 ． 【答案】3 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 分式方程的解为正数， 且， 且， 方程有实数解， ， 解得：， 且， 是整数， ， 符合条件的所有a的和是． 故答案为：3． 25．已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为 ． 【答案】8 【详解】解：去分母得，， 整理得，， ， 关于y的分式方程有整数解， ，， 或3或或5， 当时，， 解得， 但是分母，即， ， 或3或5， 关于x的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 或5， 所有整数a的值之和为． 故答案为：8． 26．已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ．地 城 类型06 由一个方程的解推导另一个方程的解 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，得，再结合关于x的方程的一个根为，得出关于的方程的一个根为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于x的方程的一个根为， ∴关于的方程的一个根为， ∴， 即关于x的方程的一个根为， 故答案为： 27．关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，令，则得出，即，即可求解． 【详解】解：令，则 ∵方程有一个根为， 方程有一根为， 有一根为， 故答案为：． 28．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到是解题的难点．结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程，其中一根为， 解得：． 故答案为：． 29．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 30．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解∶对于一元二次方程，设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为∶ 31．关于的x一元二次方程的一个根是-1，则m的值是 ，方程的另一个根是 ．地 城 类型07 求参数和另一个根 【答案】 2.5. 【分析】根据一元二次方程根的定义，把x=-1代入一元二次方程，即可解得m的值；把m的值代回原方程，即可求得另一个根. 【详解】把x=-1代入，得到，解得，m=2.5；把m=2.5代入原方程，可知，，解得，x=-1或x=，即方程的另一个根是. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及一元二次方程的解法，本题也可以用“韦达定理”进行求解. 32．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b= ，另一个根是 ． 【答案】 -4 5 【详解】 把﹣1代入方程（-1）2-b﹣5=0，b=-4， x2-4x﹣5=0， x1=5,x2=-1. 另一个根是5. 33．已知是方程的一个根，则 ，另一个根为 ． 【答案】 【分析】可将该方程的已知根-1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出a值和方程的另一根． 【详解】解：设方程的也另一根为x1， 又∵x=-1是方程x2-ax+6=0的一个根， ∴ 解得x1=-6，a=-7． 故答案为:-7,-6 【点睛】此题也可先将x=-1代入方程x2-ax+6=0中求出a的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根． 34．已知方程的一个根是，则为 ，另一个根为 ． 【答案】 【分析】设另一个根为x1，则根据根与系数的关系得出x1+（-1）=-k，-x1=，求出即可． 【详解】设另一个根为x1，则x1+（-1）=-k，-x1=， 解得：x1=-，k=+1， 故答案为+1，-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得出x1+（-1）=-k，-x1=． 35．已知x=-1是方程x2+ax+6=0的一个根，则a= ，它的另一个根为 . 【答案】 7 -6 【详解】试题解析：∵x2+ax+6=0的一个根为-1， ∴（-1）2-a+6=0 ∴a=7 ∴另一个根x=6÷（-1）=-6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 专题02 (7 一元二次方程含参问题 目目 类型01 不解方程确 1.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 4a-2b+c=0,则方程的根是() A.0 B.1,-1 2.若方程ax2+bx+c=0a≠0)中，a, A.x=1,x2=0 www.zxxk.com 上好每一堂课 元二次方程含参问题 种类型35道) 类型不解方程确定方程的根 类型2由一元二次方程的定义求参数 类型坚由根的判别式求参数范围 类型4根与系数的关系 类型5一元二次方程与分式方程综合 类型6由一个方程的解推导另一个方 程的解 类型7求参数和另一个根 定方程的根 两个实数根为X,2,若a,b,C满足4a+2b+c=0和 C.2,-2 D.无法确定 b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是() B.x1=-1,x2=0 1/5 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.x=1,x2=-1 D.无法确定 3.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和4a-2b+c=0,则方程的根是() A.1,-2 B.-1,0 C.1,0 D.无法确定 4.下列关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a、b、C满足a+b+c=0和4a-2b+c=0,则方程的根分 别为(). A.1、0 B.-2、0 C.1、-2 D.-1、2 5.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a,b,c满足4a+2b+c=0且a-b+c=0,则该方程的根是() A.x=1,x2=2 B.x=1,x2=-2 C.x1=-1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2 目目 类型02 由一元二次方程的定义求参数 6.关于x的方程(m-3)x-7-x-3=0是一元二次方程，那么m的值为() A.±3 B.-3 C.3 D.以上都不对 7.关于x的方程(m+2)xm+4x-1=0是一元二次方程，则m=() A.2或-2 B.2 C.-2 D.0 8.关于x的方程(a+1)xa-3x-1=0是一元二次方程，则a的值是() A.a=±1 B.a=-1 C.a=1 D.a=0 9.若关于的方程(k-2)x2-2x+1=0是一元二次方程，则k的取值范围() A.k≠0 B.k≠2 C.k≤3且k≠2 D.k≤3 10.若关于x的方程(m-2x-2x-3=0是一元二次方程，则() A.m=2 B.m=-2 C.m=±2 D.m≠±2 目目 类型03 由根的判别式求参数范围 11.己知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是() A.m 5 B.m<且m1 4 C.m24 D.m≤ 5且m1 4 2/5 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.若关于x的一元二次方程ax2+x-2=0有实数根，则a的取值范围为() A.as-1 8 8.a=-1 8 C.nz-glle0 D.a≥- 0 13.关于x的一元二次方程(m-2)x2-x+1=0有实数根，则m的取值范围为() A.m<}且m≠2B.ms9 C.m≠2 D.ms9且m≠2 4 4 14.若关于x的方程x2-2x-k=0有实数根，则k的取值范围是() A.k≥-1且k≠0B.k≥-1 C.k≤-1 D.k≤1且k≠0 15.若关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-2=0有实数根，则k的取值范围是() A.ks 2 8.k3 C.k<3 D.k≥3 2 目目 类型04 根与系数的关系 16.己知、 文的方程x+20-3x+00的两个不相等的实数很，且满足。+81， 是() A.-3或1 B.-1或3 C.-3 D.1 17.设x,x是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则x2+x的值为() A.6 B.8 C.14 D.16 18.设a,b是方程x2+x-2025=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为() A.0 B.2025 C.2024 D.2023 19.已知a,b是方程x2-x-2024=0的两个实数根，则(a+1)b+)的值是() A.2022 B.-2022 C.-2023 D.2023 20.已知a,b是方程x2-5x+1=0的两个实数根，则a+b-2025的值是() A.-2020 B.-2024 C.-2026 D.-2030 目目 类型05 一元二次方程与分式方程综合 21.若关于x的一元二次方程x-4x+(a-)=0有解，且关于y的分式方程、a,+-1有非负整数解， y-22-y 则满足条件的所有整数a的和是一· 3/5 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22.若关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+2=0有两个不相等实数解，且关于y的分式方程 m心3少，-2有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为— y-2y-2 23.若a使得关于x的分式方程=，34有整数解，且使得关于y的一元二次方程a-2加2-3y+1=0有 x-22-x 实数根，则所有满足条件的整数Q的和为」 24.若整数既使关于x的分式方程。，+，2=2的解为正数，又使关于x的一元二次方程 Fx-22-x x2-2x+2a-5=0有实数解，则符合条件的所有a的和是 25.已知关于y的分式方程，】+四=2有整数解，且关于x的一元二次方程a-1x2+4r+1=0有实数根 y-1y-1 的所有整数a的值之和为」 目目 类型06 由一个方程的解推导另一个方程的解 26.已知关于x的方程ax2+bx-c=0的一个根为x=2025,那么关于x的方程cx2+bx-a=0的一个根 为 27.关于x的一元二次方程ax2-bx+2024=0有一个根为x20,则方程a(x-22-bx-2)+2024=0必有 一根为 28.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的其中一根为x=2026,则关于x的方程 a(x+2)2+bx+2b+c=0必有一根为 29.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的其中一根为x=2023,则关于x的方程 a(x+2)+bx+2b+c=0必有一根为_， 30.如果关于x的一元二次方程ax2+br-5=0有一个根为2000；那么方程a(x+1)+b(x+1=5必有一个根 为 目目 类型07 求参数和另一个根 31.关于的x一元二次方程2x2+mx-m+3=0的一个根是-1，则m的值是 方程的另一个根 是」 32.-1是方程x2+bx-5=0的一个根，则b= ,另一个根是 33.已知x=-1是方程x2-ax+6=0的一个根，则a=一，另一个根为 4/5 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.己知方程x2+x+√2=0的一个根是-1，则k为一， 另一个根为 35.已知x=-1是方程x2+ax+6=0的一个根，则a=一，它的另一个根为一 5/5