2.1.2 基本不等式＆2.1.3 基本不等式的应用 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 相等关系与不等关系 2.1.2 基本不等式＆2.1.3 基本不等式的应用 基础题型训练 题型1 比较大小＆判断不等式成立 1.（2025江苏江阴调研）设 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 2.（2025安徽芜湖期中）已知实数,,满足且 ，则下列不等关系一定正确的是( ) A. B. C. D. 3.已知，均为正实数，,,， ，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 4.（2025江苏南京期中）给出下列不等式： ； ； ； ； . 其中正确的是____（写出序号即可）. 题型2 配凑定值 5.（2025甘肃兰州期中）若，则取最小值时的 是( ) A.8 B.3或 C. D.3 6. （2025湖南湘潭期末）已知，则 的最小值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 7.（2025贵州毕节检测）已知，则 的最大值为_______. 8.（2025江苏常州检测）设，则 的最小值为_________；设 ，则 的最小值为_____. 题型3 “1”的代换 9.（2025陕西榆林期中）若，，且，则 的最大值是( ) A.8 B.9 C.18 D.36 10.（2025甘肃临夏州期中）若，则 的最大值是( ) A. B.4 C.8 D.16 11.（2025兰州一中期初）已知,，且，则 的最大值为____. 12.（2025甘肃联考）已知正数，满足，则 的最小值为( ) A.7 B.9 C.8 D.10 13.（2024甘肃兰州检测）设,且，则 的最小值是__. 14.已知,，且，则 的最小值为_________. 15.（2025山东实验中学月考）已知，且,，则 的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 16.（2025辽宁省实验中学月考）设，，，则 的最小值为___________. 17.已知，，，则 的最小值为___. 题型4 其他类型求最值 18.（2025山西朔州检测）大招16已知正实数，满足，则的最大值是____； 的最小值是__. 题型5 利用基本不等式证明不等式 20.已知，， 均为正实数. （1） 求证： ； （2） 已知，，，求证： . 21.（2025四川德阳阶段练习）大招16已知，，，且 ，证明: （1） ； （2） . 题型六 利用基本不等式解决不等式恒成立问题 22.已知正数，满足，不等式恒成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 23.（2025湖南师范大学附中月考）大招15已知,，且 恒成立，则 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 题型七 利用基本不等式求解实际应用题 24.（2025辽宁锦州期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的质量浓度单位:随时间单位: 的变化关系可近似用函数 刻画.由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的质量浓度达到最大值，需经过( ) A. B. C. D. 25.（2025甘肃白银期末）某地欲修建一个面积为 的长方形休闲广场，如图所示，场地上、下两边要留空白，左、右两侧要留 空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地? 参考答案 1.D【解析】 因为,所以由基本不等式可得 . 因为, , 所以,,即 . 因为 , 所以,即 . 因此 . 2.C【解析】 且,或 . 若,则,若,则 （因此不等关系不一定正确）； ,, ； 由或,知,, ； 当时,,,从而 （由此即可知D错误）, 当时,,, . 3.B【解析】 因为,均为正实数,所以,当且仅当 时等号成立； ,所以,当且仅当 时等号成立； 由得,则,即,当且仅当 时等号成立; 由得,故,即 ,当且仅当 时等号成立. 综上,（本题用代数方法证明了基本不等式链）,当且仅当 时等号成立. 4.② 【解析】 ①不正确：当时,（事实上，当时, ;当时, ） ②正确：与同号,所以,当且仅当,即 时等号成立. ③不正确：当,时, . ④不正确：当时, . ⑤不正确：当,时, ． 5.D【解析】 由题意（一正）,则（二定）,当且仅当 ,即时取等号（三相等）,即取最小值时的 是3. 6.C【解析】 由题意得（一正）,则 （二定）,当且仅当,即时,等号成立（三相等）.故 的最小值为3. 7. 【解析】 因为,所以（一正）, ,又 （二定）,当且仅当,即 时等号成立（三相等）,所以.（也可以直接利用当 时 求解） 8. 【解析】 因为,所以,同号,则, ,则,当且仅当,即 时等号成立.所以的最小值为 . 因为,所以,则 , 当且仅当,即时等号成立.所以的最小值为 . 9.B【解析】 由于,,则,所以 , 当且仅当即 时等号成立. ,, （配凑）,当且仅当, 时取等号, 的最大值为9. 消元法.因为,所以 ,则,又 ,结合二次函数的图象可知,当 时,取得最大值9,所以 的最大值为9. 10B【解析】 因为,所以,则 , 当且仅当,即时等号成立,所以 的最大值为4. 11.25【解析】 配凑法.由,得 ,则 , 当且仅当,即,时,取等号,所以 的最大值为25. 消元法.因为,所以 ,则 ,又,则结合二次函数图象可知,当时, 取到最大值25,即 的最大值为25. 12.B【解析】 因为正数,满足 , 所以 , 当且仅当,即,时取等号,所以 的最小值为9. 13. 【解析】 由,且,可得,且 , 故 , 当且仅当,且,即, 时等号成立, 所以的最小值是 . 14. 【解析】 先设, （先换元方便后面进行“1”的代换）,得到,,而,于是 ,因此 .由 , 当且仅当时等号成立,此时解方程组可得 所以 ,当且仅当, 时等号成立,于是的最小值为 . 15.C【解析】 因为,所以 ,当且仅当,满足即 时取最小值5. 16. 【解析】 ,,,又,,当且仅当,即 时等号成立. 17.7【解析】 ,, , ,当且仅当,即 , 时取得等号.故 的最小值为7. 18. ,,,, 【解析】 ,即,当且仅当 时等号成立． 19.8【解析】 由得,则 （第一次利用基本不等式消去）,当且仅当,即 时,等号成立.（第二次利用基本不等式求最值）,当且仅当,即 时,等号成立.因此,当时, 取得最小值8. 20.（1）【答案】 根据待证不等式结构选用.因为,, 均为正实数, 所以,当且仅当 时,等号成立. 故 . （2）【答案】 根据待证不等式结构选用.因为,, ,所以,当且仅当,即 时,等号成立； 同理,,当且仅当 时,等号成立； ,当且仅当 时,等号成立. 以上三式相加得, , 当且仅当时,等号成立,所以 . 21.（1）【答案】 因为 （配凑积为定值的形式） , 当且仅当时等号成立,故,当且仅当 时等号成立,故 成立. （2）【答案】 , 由基本不等式得 , , , 故 , 当且仅当 时等号成立. 22.C【解析】 因为,,,所以,即 , 所以由基本不等式可得 （“1”的代换） , 当且仅当即 时等号成立, 所以的最小值为 . 因为不等式恒成立,所以实数的取值范围是 . 23.B【解析】 分离参数,不等式一端仅含 ,其他移至另一端,求不含参数这一端的最值即可.因 为,,则,,,又 恒成立, 即恒成立,需 小于或等于右端的最小值. 因为 （配凑定值） , 当且仅当,即时取等号,所以 . 24.C【解析】 依题意,,所以 ,所以 , 当且仅当,即 时等号成立,故由此可判断,若使被处理的污水中该药剂的质量浓度达到最大值,需经过 . 25.【答案】 设休闲广场用地的长为,则宽为 ,所以长方形用地的长 为,宽为 ,则长方形用地的面积 ,当且仅当,即时,等号成立.所以应选择的长方形用地的长为,宽为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $