2.1.2 基本不等式＆2.1.3 基本不等式的应用 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式

2.1 相等关系与不等关系

2.1.2 基本不等式＆2.1.3 基本不等式的应用

基础题型训练

题型1 比较大小＆判断不等式成立

1.（2025江苏江阴调研）设 ，则下列不等式成立的是(     )

A.                     B.

C.                     D.

2.（2025安徽芜湖期中）已知实数,,满足且 ，则下列不等关系一定正确的是(     )

A.         B.         C.         D.

3.已知，均为正实数，,,， ，则下列不等式正确的是(     )

A.        B.        C.        D.

4.（2025江苏南京期中）给出下列不等式：

； ； ；

； .

其中正确的是____（写出序号即可）.

 

题型2 配凑定值

5.（2025甘肃兰州期中）若，则取最小值时的 是(     )

A.8         B.3或         C.          D.3

6. （2025湖南湘潭期末）已知，则 的最小值为(     )

A.5                  B.4                  C.3                  D.2

7.（2025贵州毕节检测）已知，则 的最大值为_______.

8.（2025江苏常州检测）设，则 的最小值为_________；设 ，则 的最小值为_____.

题型3 “1”的代换

9.（2025陕西榆林期中）若，，且，则 的最大值是(  )

A.8                  B.9                  C.18                  D.36

10.（2025甘肃临夏州期中）若，则 的最大值是(     )

A.               B.4                 C.8                D.16

11.（2025兰州一中期初）已知,，且，则 的最大值为____.

12.（2025甘肃联考）已知正数，满足，则 的最小值为(  )

A.7                  B.9                  C.8                  D.10

13.（2024甘肃兰州检测）设,且，则 的最小值是__.

14.已知,，且，则 的最小值为_________.

15.（2025山东实验中学月考）已知，且,，则 的最小值为 (     )

A.3                  B.4                  C.5                  D.6

16.（2025辽宁省实验中学月考）设，，，则 的最小值为___________.

17.已知，，，则 的最小值为___.

题型4 其他类型求最值

18.（2025山西朔州检测）大招16已知正实数，满足，则的最大值是____； 的最小值是__.

题型5 利用基本不等式证明不等式

20.已知，， 均为正实数.

（1） 求证： ；

 

 

所以的最小值为 .

因为不等式恒成立,所以实数的取值范围是 .

23.B【解析】 分离参数,不等式一端仅含 ,其他移至另一端,求不含参数这一端的最值即可.因

为,,则,,,又 恒成立,

即恒成立,需 小于或等于右端的最小值.

因为 （配凑定值）

,

当且仅当,即时取等号,所以 .

24.C【解析】 依题意,,所以 ,所以

,

当且仅当,即 时等号成立,故由此可判断,若使被处理的污水中该药剂的质量浓度达到最大值,需经过 .

25.【答案】   设休闲广场用地的长为,则宽为 ,所以长方形用地的长

为,宽为 ,则长方形用地的面积 ,当且仅当,即时,等号成立.所以应选择的长方形用地的长为,宽为 .