2.1.3 基本不等式的应用 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

2.1.3　基本不等式的应用 一、基础巩固 1.设实数x满足x>0,则2+3x+的最小值为(　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 2.已知a<0,b<0,a+b=-2,则的最大值为(　　) A.-1 B.- C.-4 D.-2 3.(多选题)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则(　　) A.a+b≤ B.a+b≤ C.a+b> D.≥4 4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　 h.  5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为　　　　　.  6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值. 二、能力提升 7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 8.(2025甘肃兰州高二期末)设正数a,b满足=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞) 9.(2025甘肃天水高一期末)已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是(　　) A.12 B.14 C.16 D.18 10.(多选题)(2025甘肃庆阳高一月考)设正实数x,y满足2x+y=1,则下列说法错误的有(　　) A.xy的最大值是 B.的最小值是8 C.4x2+y2的最小值为 D.的最大值为2 11.已知函数y=x2+ax+1.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则实数a的最小值为　　　　　.  12.已知代数式x+(a>0). (1)若a=1,求当x>0时,x+的最小值为　　　　　;  (2)当x>2时,x+存在最小值,则满足条件的一个a的值为　　　　　.  13.对任意m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为　 . 答案 1.A　∵x>0,∴x+1>0,∴2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2-1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1>0时等号成立,∴2+3x+的最小值为4-1.故选A. 2.D　∵a<0,b<0,a+b=-2,∴=-)(a+b)=-(2+)≤-(2+2)=-2,当且仅当a=b=-1时等号成立,故的最大值为-2,故选D. 3.AD　因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2,又a>0,b>0,则a+b≤,故A正确;=1++1≥2+2=2+2=4,当且仅当,即a=b=时等号成立,故D正确.故选AD. 4.10　当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶 h,最后一辆车驶完全程共需要 h,所以一共需要()h,由基本不等式,得≥2=10,当且仅当v=80时等式成立,故最少需要10 h. 5.3　a,b都是正数,满足2a+b=3, 则(2a+b()=(5+)≥(5+4)=3,当且仅当且2a+b=3,即a=b=1时取得最小值3. 6.解x+y=(x+y)=a++b=10+. 因为x,y>0,a,b>0, 所以x+y≥10+2=18,即=4. 当且仅当时等号成立. 又a+b=10,所以 7.B　=()(2a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=b=时等号成立. 所以的最小值为9.又因为≥m恒成立,所以m≤9,即m的最大值为9. 8.D　因为正数a,b满足=1,则a+b=(a+b)()=1+9+≥10+2=16,当且仅当=1,即a=4,b=12时等号成立.因为不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,即(a+b)min≥-x2+4x+18-m恒成立,(a+b)min=16,所以16≥-x2+4x+18-m,即m≥-x2+4x+2对任意实数x恒成立.令y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,因为-(x-2)2≤0,所以y=-(x-2)2+6≤6.所以m≥6.故选D. 9.C　设直角三角形两直角边分别为a,b,则a2+b2=64≥2ab⇒ab≤32,当且仅当a=b=4时等号成立,故其面积的最大值是×32=16.故选C. 10.ABD　正实数x,y满足2x+y=1,1=2x+y≥2,当且仅当y=2x且2x+y=1,即y=,x=时等号成立,解得xy≤,故A错误;=5+≥5+2=9,当且仅当x=y=时等号成立,故B错误;4x2+y2≥2×()2=,当且仅当x=,y=时等号成立,故C正确;()2≤,当且仅当x=,y=时等号成立,故,故D错误.故选ABD. 11.-2　不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,即为-a≤x+对一切x∈(0,1]恒成立.又x+≥2(当且仅当x=1时等号成立),所以-a≤2,即a≥-2,所以a的最小值为-2. 12.(1)2　(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)　(1)当a=1时,由基本不等式得x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,故最小值为2. (2)由基本不等式得x+≥2=2,当且仅当x=,x=时等号成立,故>2,即a>4.填a>4的任意一个a都符合题意. 13.2　∵m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0, ∴m2+2n2≥amn,即a≤恒成立. ∵≥2=2,当且仅当m=n时等号成立, ∴a≤2,即最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$