2.1.2 基本不等式 2.1.3 基本不等式的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

2.1.2　基本不等式 2.1.3　基本不等式的应用 基础过关练 题组一　对基本不等式及其推论的理解 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　　) A.ab>0　　　　B.ab<0 C.a>0,b>0　　　　D.a<0,b<0 2.数学里有一种证明方法叫作无字证明,是指仅用图而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2,其中四边形ABCD为矩形,三角形BCE为等腰直角三角形,设AB=,BC=(a>0,b>0),则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是(　　) A.≥(a>0,b>0) B.≤(a>0,b>0) C.≤(a>0,b>0) D.a2+b2≥2(a>0,b>0) 题组二　利用基本不等式比较大小 3.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a>　　　　 B.b>>>a C.b>>>a　　　　 D.b>a>> 4.若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是(　　) A.≤　　　　B.+≥1 C.≥2　　　　D.≥1 5.若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　.  题组三　利用基本不等式求最值(取值范围) 6.已知实数x,y>0,则x+y++的最小值为(　　) A.4　　　　B.6　　 C.2　　　　D.3 7.若对任意的x∈(0,+∞),都有x+≥a,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2]　　　　B.(-∞,2) C.(2,+∞)　　　　D.[2,+∞) 8.已知函数y=x+(x>1),则函数的最小值等于(　　) A.4　　　　B.4+1 C.5　　　　D.9 9.已知x,y均为正实数,且4x+y=1,则+的最小值是　　　　.  题组四　利用基本不等式证明不等式 10.已知a,b,c是三个不全相等的正数. 求证:++>3. 11.已知a,b均为正实数,求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1). 题组五　利用基本不等式解决实际问题 12.某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为(　　) A.20 m　　B.50 m　　C.10 m　　D.100 m 13.某社区为了宣传冬奥会,决定在办公楼外墙建一个面积为8 m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上下各空0.25 m,左右各空0.25 m,相邻宣传栏之间也空0.25 m.设三个宣传栏的面积之和为S(单位:m2),则S的最大值为　　　　.  14.若市财政下拨专款100百万元,分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位:百万元)的函数y1(单位:百万元):y1=,处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位:百万元)的函数y2(单位:百万元):y2=0.2x. (1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(单位:百万元),两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y(单位:百万元),试将y表示成关于x的函数; (2)试求出y的最大值,并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少. 能力提升练 题组一　利用基本不等式求最值 1.设正数x,y满足x2+=1,则x的最大值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.当x>0时,下列函数的最小值为2的是(　　) A.y=x(2-x) B.y= C.y=x2+-1 D.y=+ 3.(多选)已知正数a,b满足2a+b=1,则(　　) A.ab的最大值为 B.4a2+b2的最小值为 C.+的最小值为4 D.ab+的最小值为2 4.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则x+y 的最小值为　　　　.  5.已知正实数a,b满足+=1,则a+b的最小值为　　　　.  6.已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值是　　　　,的最小值是　　　　.  题组二　利用基本不等式证明不等式 7.已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)++≥8; (2)≥9. 题组三　基本不等式在实际问题中的应用 8.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N+)层,则每平方米的平均建筑费用s=3 000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少? 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.ACD　根据基本不等式的条件知>0,>0,因此a,b同号即可. 2.A　由四边形ABCD为矩形,三角形BCE为等腰直角三角形,可推出三角形ABF也为等腰直角三角形,所以题图1的阴影部分面积S1=S△ABF+S△BCE= ·+ ·=,题图2的阴影部分面积S2=S矩形ABCD=·=. 由两图阴影部分面积关系直观得出S1≥S2,即≥,当且仅当a=b时,等号成立.故选A. 3.C　∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>>. ∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a. 故b>>>a. 4.B　∵0<x+y≤4,∴≥,故A不成立; ∵4≥x+y≥2,∴≤2(当且仅当x=y时,等号成立),故C不成立; 又0<xy≤4,∴≥,故D不成立; +=≥=,∵0<≤2,∴≥,∴+≥1(当且仅当x=y时,等号成立),故B成立.故选B. 一题多解 本题还可以用取特殊值的方法快速得到答案.例如,取x=1,y=2时,满足x+y≤4,但可排除A、C、D.故选B. 5.答案　≥ 解析　因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立. 6.B　∵x,y>0,∴x+y++≥2+2=4+2=6,当且仅当x=且y=,即x=2,y=1时等号成立. 故选B. 7.A　因为x∈(0,+∞), 所以x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=1时,等号成立, 所以a≤2.故选A. 8.C　因为x>1,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=5, 当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.故选C. 9.答案　9 解析　+=(4x+y)=4+1++≥5+2=9,当且仅当=,且4x+y=1,即x=,y=时,等号成立.故+的最小值是9. 10.证明　∵a,b,c是三个不全相等的正数, ∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2的等号不能同时成立, 则+++++>6, ∴+++-1>3, 即++>3. 11.证明　由基本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,b2+a2≥2ab, 三式两边分别相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1). 所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1)(当且仅当a=b时等号成立). 12.B　设BC=x m,则CD= m, 所以=(x+10)=1 040+4x+≥1 040+2=1 440, 当且仅当4x=,即x=50时,等号成立, 所以当BC的长度为50 m时,整个项目A1B1C1D1占地面积最小.故选B. 13.答案　4.5 m2 解析　设矩形展示区的长为x m(x>0),则宽为 m, 由题意可得S=(x-0.25×4)=8.5-0.5x-≤8.5-2=4.5, 当且仅当0.5x=,即x=4时等号成立, 所以S的最大值为4.5 m2. 14.解析　(1)由已知可得y=+0.2×(100-x),整理得y=-+20,其中0≤x≤100. (2)由(1)得y=-+20=72-≤72-2=52, 当且仅当=,即x=40时等号成立. 所以分配给植绿护绿项目的资金为40百万元,处理污染项目的资金为60百万元时,y最大,为52百万元. 能力提升练 1.D　∵正数x,y满足x2+=1,∴2x2+y2=2, ∴x=×x×≤×=×=, 当且仅当即时取等号, ∴x的最大值为. 2.B　对于A,当x>2时,2-x<0,此时y<0,不符合题意; 对于B,当x>0时,可得y==x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,∴y=的最小值为2,符合题意; 对于C,y=x2+-1=x2+2+-3≥2-3=1,当且仅当x2+2=,即x=0时等号成立,不符合题意; 对于D,y=+≥2=2,当且仅当=时取等号,此时x的值不存在,不符合题意. 3.AB　∵a,b为正数,2a+b=1, ∴1=2a+b≥2,即ab≤,当且仅当2a=b且2a+b=1,即a=,b=时等号成立,∴ab的最大值为,故A正确; 1=(2a+b)2=4a2+b2+4ab≤4a2+b2+(2a)2+b2=8a2+2b2, ∴4a2+b2≥,当且仅当2a=b,即a=,b=时等号成立,∴4a2+b2的最小值为,故B正确; ∵2a+b=1,∴+=(2a+b)=2+++2≥4+2=8,当且仅当2a=b,即a=,b=时等号成立,∴+的最小值为8,故C错误;ab+≥2,当且仅当ab=1时,等号成立,∵ab≤,∴等号不能取到,∴ab+>2,故D错误.故选AB. 4.答案　9 解析　∵x>0,y>0,x+4y-xy=0, ∴x+4y=xy,两边同除以xy,得+=1, ∴x+y=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当x=2y且x+4y-xy=0,即x=6,y=3时,等号成立. ∴x+y的最小值为9. 5.答案　 解析　令x=2a+b,y=a+2b,则+=1,且x>0,y>0, 所以a+b=(x+y)=(x+y)=≥=, 当且仅当=,即a=b=时,等号成立, 所以a+b的最小值为. 6.答案　;2+2 解析　因为a>0,b>0,a+b=1,所以(a+2)+(b+2)=5,于是+=[(a+2)+(b+2)]=≥2+2=,当且仅当=且a+b=1,即a=b=时取“=”, 所以+的最小值是. 因为a>0,b>0,a+b=1,所以====++2≥2+2=2+2, 当且仅当=且a+b=1,即a=2-,b=-1时取“=”, 所以的最小值是2+2. 7.证明　(1)∵a+b=1,a>0,b>0, ∴++=++=2, 又∵+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立, ∴++≥8. (2)证法一:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1+=1+=2+, 同理,1+=2+, ∴= =5+2≥5+4=9,当且仅当a=b=时等号成立, ∴≥9. 证法二:由(1)知,++≥8, 故=1+++≥9,当且仅当a=b=时,等号成立. 8.解析　设楼房每平方米的平均综合费用为y元. 依题意得y=s+=50x++3 000(x≥12,x∈N+). 因为50x++3 000 ≥2×+3 000=5 000, 当且仅当50x=,即x=20时,等号成立, 所以当x=20时,y取得最小值5 000. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $$