4.5.3 函数模型的应用（导学案）数学人教A版2019必修第一册

4.5 函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用 导学案 (1) 能识别常见函数模型（一次、二次、指数型、对数型）的特征，说出其适用场景。 (2) 能按“审题→建模→求解→验证”步骤建立函数模型解决实际问题（如人口预测、投资决策）。 (3) 能通过散点图或数据趋势选择合适模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性。 (4) 体会数学建模的严谨性，发展数据分析和数学建模素养。 教学重点:1.识别不同函数模型的特征，根据实际问题选择合适模型;2.掌握建立函数模型解决实际问题的步骤（审题→建模→求解→验证）。 教学难点：1.从实际问题中抽象出变量关系，确定函数模型的类型;2.模型参数的确定及结果的实际意义解释（如增长率、衰减率的合理性）。 导入1：奶茶店的“甜蜜陷阱” 【情境】某奶茶店推出“第二杯半价”活动，小明发现：买1杯花15元，买2杯花22.5元，买3杯花30元……他惊呼：“买得越多越划算！” 【追问】“划算”的规律是线性的吗？若每天销量翻倍，5天后日收入会爆炸式增长吗？ 【设计意图】用消费场景引出“线性vs指数”的认知冲突，暗示模型选择的重要性。 【教学建议】让学生计算前5天的收入，对比线性模型（y=15x）与指数模型（y=15×2ⁿ⁻¹）的差异。 导入2：考古学家的“穿越密码” 【情境】展示良渚古城碳14检测报告：“草茎遗存碳14剩余量55.2%”。 【追问】如何从55.2%推断出“公元前2902年”？这里藏着什么数学秘密？ 【设计意图】以考古悬念激发兴趣，自然过渡到指数衰减模型。 【教学建议】让学生猜测“半衰期”的含义，再揭示数学模型（y=0.5^(t/5730)）。 1. 问题串引入： · 展示三组数据： · ① 某工厂月产量：100, 200, 300, 400...（均匀增长）； · ② 某病毒感染人数：1, 2, 4, 8, 16...（快速增长）； · ③ 某学生单词记忆量：5, 8, 10, 11, 12...（增长趋缓）。 · 提问：“分别适合用什么函数模型刻画？”（一次函数、指数函数、对数函数）。 1. 引出主题：“如何选择和应用函数模型解决实际问题？”导入本节课。 设计意图：通过直观数据对比，让学生初步感知不同模型的增长特征，为模型选择铺垫。 阅读课本148-150页，思考并完成以下问题 1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？ 2. 解决实际问题的基本过程是什么？ 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 问题1　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型 ， 其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率． 尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？ 表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料： 表4.5-4 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量和年平均增长率． 解：（1）设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为．由 ， 可得1951年的人口增长率． 同理可得，，，，，，，，． 于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为 ． 令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 ． 根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数的图象（图4.5-6）． 由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合． （2）将代入 ， 由计算工具得． 所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿． 思考 事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． 在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件． 【变式1】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的变化可直接判断. 【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且. 故选：B. 下面来解决章引言中的问题． 例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（，且；，且）建立数学模型． 解：设样本中碳14的初始量为，衰减率为，经过年后，残余量为．根据问题的实际意义，可选择如下模型： （，且；，）． 由碳14的半衰期为5730年，得 ． 于是 ， 所以 ． 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知， ， 即 ． 解得 ． 由计算工具得 ． 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的． 【变式2】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 【答案】B 【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案. 【详解】由题知，，， ， ， ， ， . 故选：B. 在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决． 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据． 1 问题中涉及哪些数量关系？ 投资天数、回报金额 2 如何用函数描述这些数量关系？ 分析 ： 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 ， 再通过比较它们的增长情况 ， 为选择投资方案提供依据 解：设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数 进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析． 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（表4.5-5）． 表4.5-5 方案一 方案二 方案三 增加量/元 增加量/元 增加量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 …… …… …… …… …… …… …… 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 再画出三个函数的图象(图4．5-7）． 函数图像是分析问题的好帮手．为了便于观察，用虚线连接离散的点． 由表4.5-5和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元． 下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下（表4.5-6）． 表4.5-6 方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三． 上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异． 根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？ 【变式3】某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ） A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱 B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合给定的函数关系的图象，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值， 故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，所以A正确； 对于B中，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元， 故乘客选择甲、乙方案均可，所以B正确； 对于C中，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元）， 乙方案每千米增加的费用为（元）， 故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，所以C正确； 对于D中，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），所以D错误. 故选：ABC. 例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即． 不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果． 解：借助信息技术画出函数，，，的图象（图4.5-8）．观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求． 下面通过计算确认上述判断． 先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元． 对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求； 对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求； 对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有，即成立． 令，，利用信息技术画出它的图象（图4.5-9）． 由图象可知函数在区间上单调递减，因此 ， 即 ． 所以，当时，，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%． 综上所述，模型确实能符合公司要求． 【变式4】有一组实验数据如表所示： 则下列所给函数模型较不适合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】坐标系中画出试验数据的对应点，根据点的变化趋势及各选项函数的变化趋势判断不合适的模型即可. 【详解】由实验数据可得如下图，    ∴根据点的变化趋势：随着x的增大y的增速变快，结合各选项的函数性质知：A、B、D不合适，只有C合适. 故选：ABD. 归纳 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等． 1.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型，为增分转化系数，为“百日冲刺”后的一模总分，.已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（    ） （参考数据：，结果保留整数） A．658 B．668 C．678 D．688 【答案】B 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据所给函数模型，代入得的值，即可代入求解. 【详解】因为，所以，解得， ， 所以估计此学生在高考中可能取得的总分为分. 故选：B. 2.（2025高三·全国·专题练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（    ） A．442 B．452 C．462 D．472 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】将代入，求出，再将代入求解即可. 【详解】由题意得， ， ， 该学生在高考中可能取得的总分约为. 故选：C. 3.（2025高三·全国·专题练习）目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】分别设里氏8.0级地震和里氏6.0级地震所释放出来的能量为和，通过给定的式子求出和，再求比值可得答案. 【详解】设里氏8.0级地震所释放出来的能量为，里氏6.0级地震所释放出来的能量为， 则，；，． 故选：C 4.（25-26高三上·北京·开学考试）在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得，化简即可求解. 【详解】由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB， 可得：，解得：， 由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到 所以，则，解得， 故选：C 5.（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 【答案】B 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式. 【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是，则第年投入的研发资金为， 则，即， 所以， 所以. 所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 故选：B 6.（24-25高一下·云南昭通·期末）抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中为抗生素的残留系数，当时，，则的值约为（   ）（参考值：） A．0.54 B．0.34 C．0.24 D．0.14 【答案】D 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据公式代值计算即可. 【详解】由题可知：，将，代入上式， 所以. 故选：D 7.（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 【答案】C 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意可得，即可利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，代入公式可得， 所以所以，所以至少需要14年， 故选：C 8.（24-25高一上·江苏南京·期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，由题意列方程求解即可； 【详解】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 则，解得或（舍去）， 所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 故选：D. 9.（23-24高二下·江西·阶段练习）银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为（    ） A．48027元 B．48351元 C．48574元 D．48744元 【答案】B 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】计算出利息和，得到今年12月底的本利和. 【详解】所有利息的和为元， 故到12月底的本利和为元． 故选：B 10.（25-26高一上·全国·课后作业）在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可． 【详解】由题意可知，， 则当时，，当时，， 即，解得， 故， 当时，的最大值为； 当时，， 此时的最大值为． 因为，所以，． 故选：A. 1.（24-25高三上·贵州贵阳·期末）随着环保法的深入实施，生态环境持续改善，据统计，第年某公园鸟类数量（只）近似满足，观测发现第2年有鸟类共500只，估计第5年有鸟类（   ） A．765只 B．818只 C．915只 D．965只 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据已知条件可知当代入解析式求出的值，然后把代入解析式通过对数运算的性质化简即可. 【详解】由题意当，得：，解得：，所以时，， 故选B． 2.（24-25高一上·云南曲靖·期末）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，经过相关数学小组成员的模拟实验及其数据记录与分析得到剩余的细沙量与时间满足（为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，解得，进而得出结果． 【详解】根据题意，则，故， 当要使沙漏上方细沙是开始时的， 则，解得. 故选：B. 3.（24-25高一上·江西·期末）大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用速度差为结合对数的运算性质可得结果. 【详解】设鲑鱼的游速为时的耗氧量的单位数为，游速为时的耗氧量的单位数为. 由，得，整理得. 故选：D. 4.（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意可知当时，，代入函数中可求出的值，当时，，代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，然后将代入函数求出即可. 【详解】由题意可知当时，，所以，得， 所以， 当时，，则， 所以，得， 所以，，得， 所以， 当时，， 得，所以， ，得， 所以所求时间的最小整数值为8. 故选：C 1．知识清单： (1)应用已知函数模型解决实际问题． (2)指数型函数模型． (3)对数型函数模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论． 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 课本P154的1−−2题，P156习题4.5的11、12、14题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用 导学案 (1) 能识别常见函数模型（一次、二次、指数型、对数型）的特征，说出其适用场景。 (2) 能按“审题→建模→求解→验证”步骤建立函数模型解决实际问题（如人口预测、投资决策）。 (3) 能通过散点图或数据趋势选择合适模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性。 (4) 体会数学建模的严谨性，发展数据分析和数学建模素养。 教学重点:1.识别不同函数模型的特征，根据实际问题选择合适模型;2.掌握建立函数模型解决实际问题的步骤（审题→建模→求解→验证）。 教学难点：1.从实际问题中抽象出变量关系，确定函数模型的类型;2.模型参数的确定及结果的实际意义解释（如增长率、衰减率的合理性）。 导入1：奶茶店的“甜蜜陷阱” 【情境】某奶茶店推出“第二杯半价”活动，小明发现：买1杯花15元，买2杯花22.5元，买3杯花30元……他惊呼：“买得越多越划算！” 【追问】“划算”的规律是线性的吗？若每天销量翻倍，5天后日收入会爆炸式增长吗？ 导入2：考古学家的“穿越密码” 【情境】展示良渚古城碳14检测报告：“草茎遗存碳14剩余量55.2%”。 【追问】如何从55.2%推断出“公元前2902年”？这里藏着什么数学秘密？ 1. 问题串引入： · 展示三组数据： · ① 某工厂月产量：100, 200, 300, 400...（均匀增长）； · ② 某病毒感染人数：1, 2, 4, 8, 16...（快速增长）； · ③ 某学生单词记忆量：5, 8, 10, 11, 12...（增长趋缓）。 · 提问：“分别适合用什么函数模型刻画？”（一次函数、指数函数、对数函数）。 1. 引出主题：“如何选择和应用函数模型解决实际问题？”导入本节课。 设计意图：通过直观数据对比，让学生初步感知不同模型的增长特征，为模型选择铺垫。 阅读课本148-150页，思考并完成以下问题 1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？ 2. 解决实际问题的基本过程是什么？ 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 问题1　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型 ， 其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率． 尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？ 表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料： 表4.5-4 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 思考 事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． 在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件． 【变式1】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（） A． B． C． D． 下面来解决章引言中的问题． 例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 【变式2】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决． 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异． 根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？ 【变式3】某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ） A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱 B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元 例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ 【变式4】有一组实验数据如表所示： 则下列所给函数模型较不适合的有（    ） A． B． C． D． 归纳 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等． 1.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型，为增分转化系数，为“百日冲刺”后的一模总分，.已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（    ） （参考数据：，结果保留整数） A．658 B．668 C．678 D．688 2.（2025高三·全国·专题练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（    ） A．442 B．452 C．462 D．472 3.（2025高三·全国·专题练习）目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 4.（25-26高三上·北京·开学考试）在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（    ） A．5 B．6 C． D． 5.（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 6.（24-25高一下·云南昭通·期末）抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中为抗生素的残留系数，当时，，则的值约为（   ）（参考值：） A．0.54 B．0.34 C．0.24 D．0.14 7.（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 8.（24-25高一上·江苏南京·期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 9.（23-24高二下·江西·阶段练习）银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为（    ） A．48027元 B．48351元 C．48574元 D．48744元 10.（25-26高一上·全国·课后作业）在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高三上·贵州贵阳·期末）随着环保法的深入实施，生态环境持续改善，据统计，第年某公园鸟类数量（只）近似满足，观测发现第2年有鸟类共500只，估计第5年有鸟类（   ） A．765只 B．818只 C．915只 D．965只 2.（24-25高一上·云南曲靖·期末）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，经过相关数学小组成员的模拟实验及其数据记录与分析得到剩余的细沙量与时间满足（为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·江西·期末）大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 4.（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 1．知识清单： (1)应用已知函数模型解决实际问题． (2)指数型函数模型． (3)对数型函数模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论． 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 课本P154的1−−2题，P156习题4.5的11、12、14题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $