4.5.3 函数模型的应用导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

常用函数

模型

解决函数应用问题的步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.

一次函数、二次函数模型

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意：

(1)方法：

根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.

(2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

分段函数模型

分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．

用幂函数模型解决实际问题步骤：

确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题．

以图表信息为背景

1．解决这类问题的一般步骤：

(1)观察图表，捕捉有效信息；

的函数应用题

(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；

(3)求函数模型；

(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．

一次函数

一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；

k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．

幂函数型

幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；

当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．

指数函数模型的应用

1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．

2．解答数学应用题应过的三关

(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么．

(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．

(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．　

 对数函数应用题的基本类型和求解策略：

(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；

(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．