4.5.3 函数模型的应用导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数模型的应用，系统梳理一次、二次、指数、对数及幂函数模型的特征与适用情境，通过“审题—建模—求模—还原”四步法构建解题思维框架，前后衔接教材知识与实际问题，形成由浅入深的学习支架，助力学生从抽象概念走向现实应用。 资料亮点突出，体现数学核心素养的深度融合。以真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察变量关系，用数学思维分析问题逻辑，用数学语言表达规律本质，尤其在图表信息类题目中强化数据建模意识，提升学生的问题转化能力与理性推理水平，实现知识迁移与实践创新的统一。

第四章 指数函数与对数函数 4.5函数的应用 §4.5.3 函数模型的应用 导学目标： 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 【知识要点】 常用函数 模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原. 一次函数、二次函数模型 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意： (1)方法： 根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 分段函数模型 分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 用幂函数模型解决实际问题步骤： 确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题． 以图表信息为背景的函数应用题 1．解决这类问题的一般步骤： (1)观察图表，捕捉有效信息； (2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型； (3)求函数模型； (4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形． 一次函数 一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大； k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 幂函数型 幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数； 当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数． 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．　 对数函数应用题的基本类型和求解策略： (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　 【典型例题】 题型一 一次函数模型 【例1-1】已知某个店铺销售的某商品价格为60元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过150元的部分按照返现，超过200元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 【例1-2】某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6800元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4600元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 题型二　二次函数模型 【例2-1】某汽车制造商在2025年初公告：公司计划2025年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示： 年份 2022 2023 2024 产量(万) 8 18 30 如果我们分别将2022,2023,2024,2025年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？ 【例2-2】随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 题型三 指数函数模型的应用 【例3】(链接教材P156练习T14)从甲地到乙地的距离约为 240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的下列数据 v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型： （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式； （2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 题型四 对数型模型的应用 【例4】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v＝log3，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 题型五 以图表信息为背景的函数应用题 【例5】某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k与a是常数)的图象． (1)写出服药后y关于t的函数关系式； (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上 6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $