4.5.3函数模型的应用导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.3　函数模型的应用

1. 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情景中，会选择合适的函数类型来刻画现实问题的变化规律．

2. 结合现实情景中的具体问题，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．

3. 培养应用数学方法分析问题、探索问题、解决问题的能力．

活动一  利用已知函数模型求解实际问题

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

例1　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，其中t 表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．

(1)  根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型；

(2)  利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符；

(3)  以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？

 

 

 

 

 

 

 

思考►►►

事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？

 

 

在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．

物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0（单位：℃），经过一定时间t（单位：min）后的温度是T（单位：℃），则T－Tα＝(T0－Tα)·，其中Tα（单位：℃）表示环境温度，h（单位：min）称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？（结果精确到0.1）

 

 

 

 

 

 

 

活动二  自建函数模型解决实际问题

例2　2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥） 上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

　建立数学模型应注意的问题

用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，将实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：

(1) 事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．

(2) 文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表

达文字关系．

(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．

一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1) 求每年砍伐面积的百分比；

(2) 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3) 今后最多还能砍伐多少年？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

活动三  函数模型的选择问题

例3　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？